新高考数学一轮复习讲与练第12讲 三角函数恒等变换（讲）（解析版）

第02讲三角恒等变换本讲为高考命题热点，分值10分，题型以选择题为主，多出现于高考前六题选择题中，平面向量主要考察线性运算，坐标运算与数量积运算，近几年多考察拓展类，例如平面向量中的范围最值，平面向量与三角函数结合等内容；复数主要考察复数的概念，四则运算与复数的模与几何意义，考察逻辑推理能力，运算求解能力.考点一同角三角函数的基本关系是与诱导公式1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：eq\f(sinα,cosα)＝tan__α.2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sin__α－sin__αsin__αcos__αcos__α余弦cosα－cos__αcos__α－cos__αsin__α－sin__α正切tanαtan__α－tan__α－tan__α口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限3.同角三角函数关系式的常用变形(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα；sinα＝tanα·cosα.3.诱导公式的记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指eq\f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.4.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.考点二三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β.cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β.tan(α±β)＝eq\f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sin__αcos__α.cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).3.函数f(α)＝asinα＋bcosα(a，b为常数)，可以化为f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq\r(a2＋b2)·cos(α－φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanφ＝\f(a,b))).4.tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ).5.cos2α＝eq\f(1＋cos2α,2)，sin2α＝eq\f(1－cos2α,2).6.1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2，1－sin2α＝(sinα－cosα)2，sinα±cosα＝eq\r(2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α±\f(π,4))).高频考点一诱导公式的应用【例1】化简eq\f(cos（π＋α）cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,2)－α)),cos（π－α）sin（－π－α）sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,2)＋α)))的结果是()A.－1 B.1C.tanα D.－tanα【答案】C【解析】由诱导公式，得原式＝eq\f(－cosα·（－sinα）·cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α)),－cosα·sinα·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))＝eq\f(－sin2α·cosα,－sinα·cos2α)＝tanα，故选C.【例2】2.(2021·长春模拟)已知α为锐角，且eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))))＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))，则角α＝()A.eq\f(π,12) B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4) D.eq\f(π,3)【答案】C【解析】由条件得eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3))))，又因为α为锐角，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))))，所以有α－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))，解得α＝eq\f(π,4)，故选C.【方法技巧】1.诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了.2.含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.高频考点二共线定理及其应用【例3】(1)已知α是第四象限角，tanα＝－eq\f(8,15)，则sinα等于()A.eq\f(15,17) B.－eq\f(15,17)C.eq\f(8,17) D.－eq\f(8,17)(2)已知曲线f(x)＝eq\f(2,3)x3在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为α，则eq\f(sin2α－cos2α,2sinαcosα＋cos2α)＝()A.eq\f(1,2) B.2C.eq\f(3,5) D.－eq\f(3,8)【答案】(1)D(2)C【解析】(1)因为tanα＝－eq\f(8,15)，所以eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(8,15)，所以cosα＝－eq\f(15,8)sinα，代入sin2α＋cos2α＝1，得sin2α＝eq\f(64,289)，又α是第四象限角，所以sinα＝－eq\f(8,17).(2)由f′(x)＝2x2，得tanα＝f′(1)＝2，故eq\f(sin2α－cos2α,2sinαcosα＋cos2α)＝eq\f(tan2α－1,2tanα＋1)＝eq\f(3,5).故选C.【例4】(2022·东北三省三校联考)若sinθ－cosθ＝eq\f(4,3)，且θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π，π))，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝()A.－eq\f(\r(2),3) B.eq\f(\r(2),3)C.－eq\f(4,3) D.eq\f(4,3)【答案】A【解析】由sinθ－cosθ＝eq\f(4,3)得1－2sinθcosθ＝eq\f(16,9)，即2sinθcosθ＝－eq\f(7,9)，∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(2,9)，又θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)π，π))，∴sinθ＋cosθ<0，∴sinθ＋cosθ＝－eq\f(\r(2),3)，则sin(π－θ)－cos(π－θ)＝sinθ＋cosθ＝－eq\f(\r(2),3)，故选A.【方法技巧】1.(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用eq\f(sinα,cosα)＝tanα可以实现角α的弦切互化.(2)形如eq\f(asinx＋bcosx,csinx＋dcosx)，asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x等类型可进行弦化切.2.注意公式的逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.3.应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.【变式训练】1.已知α是第四象限角，sinα＝－eq\f(12,13)，则tan(π＋α)等于()A.－eq\f(5,13) B.eq\f(5,13)C.－eq\f(12,5) D.eq\f(12,5)【答案】C【解析】因为α是第四象限角，sinα＝－eq\f(12,13)，所以cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(5,13)，故tan(π＋α)＝tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(12,5).2.(2021·兰州诊断)已知sinα＋cosα＝eq\f(7,5)，则tanα＝________.【答案】eq\f(4,3)或eq\f(3,4)【解析】将sinα＋cosα＝eq\f(7,5)两边平方得1＋2sinαcosα＝eq\f(49,25)，∴sinαcosα＝eq\f(12,25)，∴eq\f(sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tanα,tan2α＋1)＝eq\f(12,25)，整理得12tan2α－25tanα＋12＝0，解得tanα＝eq\f(4,3)或tanα＝eq\f(3,4).高频考点三同角三角函数的基本关系与诱导公式综合应用【例5】(1)(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cos2α－8cosα＝5，则sinα＝()A.eq\f(\r(5),3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(\r(5),9)(2)已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(\r(3),3)，则taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝________.(3)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a(|a|≤1)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))的值是________.【答案】(1)A(2)－eq\f(\r(3),3)(3)0【解析】(1)由3cos2α－8cosα＝5，得3(2cos2α－1)－8cosα＝5，即3cos2α－4cosα－4＝0，解得cosα＝－eq\f(2,3)或cosα＝2(舍去).又因为α∈(0，π)，所以sinα＝eq\r(1－cos2α)＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),3).故选A.(2)∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝π，∴taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋α))＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(\r(3),3).(3)∵coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝－a，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－θ))＝a，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,6)＋θ))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－θ))＝0.【方法技巧】1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.注意角的范围对三角函数值符号的影响.2.用诱导公式求值时，要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有eq\f(π,3)－α与eq\f(π,6)＋α，eq\f(π,3)＋α与eq\f(π,6)－α，eq\f(π,4)＋α与eq\f(π,4)－α等，常见的互补关系有eq\f(π,6)－θ与eq\f(5π,6)＋θ，eq\f(π,3)＋θ与eq\f(2π,3)－θ，eq\f(π,4)＋θ与eq\f(3π,4)－θ等.【变式训练】1.已知α是第四象限角，且3sin2α＝8cosα，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2021π,2)))＝()A.－eq\f(2\r(2),3) B.－eq\f(1,3)C.eq\f(2\r(2),3) D.eq\f(1,3)【答案】C【解析】∵3sin2α＝8cosα，∴sin2α＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3sin2α,8)))eq\s\up12(2)＝1，整理可得9sin4α＋64sin2α－64＝0，解得sin2α＝eq\f(8,9)或sin2α＝－8(舍去)，又∵α是第四象限角，∴sinα＝－eq\f(2\r(2),3)，∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2021π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋1010π＋\f(π,2)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))＝－sinα＝eq\f(2\r(2),3)，故选C.2.(2022·九江模拟)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(2,3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋2α))＝________.【答案】－eq\f(1,9)【解析】因为2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＋eq\f(π,6)＋2α＝eq\f(π,2)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋2α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))－1＝2×eq\f(4,9)－1＝－eq\f(1,9).高频考点四公式的变形及应用【例6】(1)下列式子化简正确的是()A.cos82°sin52°－sin82°cos52°＝eq\f(1,2)B.sin15°sin30°sin75°＝eq\f(1,4)C.eq\f(tan48°＋tan72°,1－tan48°tan72°)＝eq\r(3)D.cos215°－sin215°＝eq\f(\r(3),2)(2)(2021·杭州模拟)函数f(x)＝cosx－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,6)))在[0，π]的值域为()A.[－1，1] B.[－2，1]C.[－2，2] D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))(3)(1＋tan17°)·(1＋tan28°)的值为________.【答案】(1)D(2)B(3)2【解析】(1)选项A中，cos82°sin52°－sin82°cos52°＝sin(52°－82°)＝sin(－30°)＝－sin30°＝－eq\f(1,2)，故A错误；选项B中，sin15°sin30°sin75°＝eq\f(1,2)sin15°cos15°＝eq\f(1,4)sin30°＝eq\f(1,8)，故B错误；选项C中，eq\f(tan48°＋tan72°,1－tan48°tan72°)＝tan(48°＋72°)＝tan120°＝－eq\r(3)，故C错误；选项D中，cos215°－sin215°＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，故D正确.(2)f(x)＝cosx－eq\f(\r(3),2)sinx－eq\f(1,2)cosx－eq\f(\r(3),2)sinx＋eq\f(1,2)cosx＝cosx－eq\r(3)sinx＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).∵0≤x≤π，∴eq\f(π,3)≤x＋eq\f(π,3)≤eq\f(4π,3)，则当x＋eq\f(π,3)＝π时，函数取得最小值2cosπ＝－2，当x＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,3)时，函数取得最大值2coseq\f(π,3)＝2×eq\f(1,2)＝1，即函数的值域为[－2，1].故选B.(3)原式＝1＋tan17°＋tan28°＋tan17°·tan28°＝1＋tan45°(1－tan17°·tan28°)＋tan17°·tan28°＝1＋1＝2.【方法技巧】运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力.【变式训练】1.下列选项中，值为eq\f(1,4)的是()A.2sineq\f(π,12)sineq\f(5π,12) B.eq\f(1,3)－eq\f(2,3)cos215°C.eq\f(1,sin50°)＋eq\f(\r(3),cos50°) D.cos72°·cos36°【答案】D【解析】对于A，2sineq\f(π,12)sineq\f(5π,12)＝2sineq\f(π,12)coseq\f(π,12)＝sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，故A错误；对于B，eq\f(1,3)－eq\f(2,3)cos215°＝－eq\f(1,3)(2cos215°－1)＝－eq\f(1,3)cos30°＝－eq\f(\r(3),6)，故B错误；对于C，原式＝eq\f(cos50°＋\r(3)sin50°,sin50°cos50°)＝eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sin50°＋\f(1,2)cos50°)),\f(1,2)sin100°)＝eq\f(2sin80°,\f(1,2)sin100°)＝eq\f(2sin80°,\f(1,2)sin80°)＝4，故C错误；对于D，cos36°·cos72°＝eq\f(2sin36°·cos36°·cos72°,2sin36°)＝eq\f(2sin72°·cos72°,4sin36°)＝eq\f(sin144°,4sin36°)＝eq\f(1,4)，故D正确.2.若α＋β＝eq\f(2π,3)，则eq\r(3)tanαtanβ－tanα－tanβ的值为________.【答案】eq\r(3)【解析】∵α＋β＝eq\f(2π,3)，∴tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,3)))＝－eq\r(3)，可得tanα＋tanβ＝－eq\r(3)(1－tanαtanβ)，∴eq\r(3)tanα·tanβ－tanα－tanβ＝eq\r(3)tanαtanβ－(tanα＋tanβ)＝eq\r(3)tanαtanβ＋eq\r(3)－eq\r(3)tanαtanβ＝eq\r(3).高频考点五角的变换【例7】(1)(2020·全国Ⅲ卷)已知sinθ＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝1，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(2,3) D.eq\f(\r(2),2)(2)若0<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<β<0，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(1,3)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(\r(3),3)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))等于()A.eq\f(\r(3),3) B.－eq\f(\r(3),3)C.eq\f(5\r(3),9) D.eq\f(－\r(6),9)(3)(2022·长春质量监测)若sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,8)))＝eq\f(1,3)，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,4)))＝________.【答案】(1)B(2)C(3)－eq\f(7,9)【解析】(1)因为sinθ＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)－\f(π,6)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))coseq\f(π,6)－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))sineq\f(π,6)＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))coseq\f(π,6)＋coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))sineq\f(π,6)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))coseq\f(π,6)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝1，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,6)))＝eq\f(\r(3),3).故选B.(2)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＋sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2))).∵0<α<eq\f(π,2)，则eq\f(π,4)<eq\f(π,4)＋α<eq\f(3π,4)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))＝eq\f(2\r(2),3).又－eq\f(π,2)<β<0，则eq\f(π,4)<eq\f(π,4)－eq\f(β,2)<eq\f(π,2)，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(β,2)))＝eq\f(\r(6),3).故coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),3)＋eq\f(2\r(2),3)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(5\r(3),9).故选C.(3)法一因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,8)))))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,8)))＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(7,9)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－2θ))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,4)))＝eq\f(7,9)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,4)))＝－eq\f(7,9).法二因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,8)))))＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,8)))＝1－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(7,9)，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)(cos2θ－sin2θ)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)(sin2θ－cos2θ)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ－\f(π,4)))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))＝－eq\f(7,9).【方法技巧】1.求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示.(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.2.常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)，α＝eq\f(α＋β,2)＋eq\f(α－β,2)，eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β))等.【变式训练】1.(2022·南昌三模)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，则eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,6))),tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)))＝________.【答案】－eq\f(1,3)【解析】因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝eq\f(1,3)，所以eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,6))),tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)))＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(5π,6)))·cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－α)))＝eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)－π))·cos\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))))),sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))))))＝eq\f(－cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))·sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＝－eq\f(1,3).2.(2021·重庆调研改编)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－\f(π,4)))＝eq\f(\r(3),3)，则cos2α＝________.【答案】eq\f(7,9)【解析】法一因为sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－\f(π,4)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(α,2)))＝eq\f(\r(3),3)，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(α,2)))＝－eq\f(\r(3),3)，又sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(α,2)))＋cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(α,2)))＝1，所以cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(α,2)))＝eq\f(2,3)，coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(α,2)))))＝sinα＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(α,2)))－1＝eq\f(1,3)，所以cos2α＝1－2sin2α＝eq\f(7,9).法二因为coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－\f(π,4)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,2)))＝sinα＝1－2sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－\f(π,4)))＝eq\f(1,3)，所以cos2α＝1－2sin2α＝eq\f(7,9).高频考点六三角函数式的化简【例8】eq\f(sin（180°＋2α）,1＋cos2α)·eq\f(cos2α,cos（90°＋α）)等于()A.－sinα B.－cosαC.sinα D.cosα【答案】D【解析】原式＝eq\f(－sin2α·cos2α,2cos2α（－sinα）)＝eq\f(－2sinαcosα·cos2α,2cos2α（－sinα）)＝cosα.【例9】化简：eq\f(2cos4x－2cos2x＋\f(1,2),2tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x)))＝________.【答案】eq\f(1,2)cos2x【解析】原式＝eq\f(\f(1,2)（4cos4x－4cos2x＋1）,2·\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)))·cos2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)))＝eq\f(（2cos2x－1）2,4sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x)))＝eq\f(cos22x,2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2x)))＝eq\f(cos22x,2cos2x)＝eq\f(1,2)cos2x.【例10】化简：(eq\f(1,tan\f(α,2))－taneq\f(α,2))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋tanα·tan\f(α,2)))＝________.【答案】eq\f(2,sinα)【解析】(eq\f(1,tan\f(α,2))－taneq\f(α,2))·(1＋tanα·taneq\f(α,2))＝(eq\f(cos\f(α,2),sin\f(α,2))－eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)))·(1＋eq\f(sinα,cosα)·eq\f(sin\f(α,2),cos\f(α,2)))＝eq\f(cos2\f(α,2)－sin2\f(α,2),sin\f(α,2)cos\f(α,2))·eq\f(cosαcos\f(α,2)＋sinαsin\f(α,2),cosαcos\f(α,2))＝eq\f(2cosα,sinα)·eq\f(cos\f(α,2),cosαcos\f(α,2))＝eq\f(2,sinα).【方法技巧】1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.高频考点七三角函数式求值【例11】(1)(2022·武汉检测)已知eq\f(sin4x＋\r(3)cos4x,sin2x－\r(3)cos2x)＝－eq\f(1,2)，则coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(2π,3)))＝()A.eq\f(5,8) B.－eq\f(7,8)C.－eq\f(5,8) D.eq\f(1,4)(2)(2022·潍坊模拟)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(\r(5),5)，则tanα＝________.【答案】(1)B(2)3【解析】(1)eq\f(sin4x＋\r(3)cos4x,sin2x－\r(3)cos2x)＝eq\f(2sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x＋\f(π,3))),－2cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6))))＝－2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＝－eq\f(1,2)，故sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＝eq\f(1,4).而sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))＝eq\f(1,4)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4x－\f(2π,3)))＝2cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))－1＝eq\f(1,8)－1＝－eq\f(7,8).故选B.(2)因为α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以α－eq\f(π,4)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))，故coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))>0，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))\s\up12(2))＝eq\f(2\r(5),5)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))＝eq\f(1,2).所以tanα＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＋\f(π,4)))＝eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＋tan\f(π,4),1－tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))tan\f(π,4))＝eq\f(\f(1,2)＋1,1－\f(1,2)×1)＝3.【例12】求下列各式的值：(1)coseq\f(π,9)coseq\f(2π,9)coseq\f(3π,9)coseq\f(4π,9)；(2)eq\f(sin235°－\f(1,2),cos10°·cos80°)；(3)sin50°(1＋eq\r(3)tan10°).【解析】(1)coseq\f(π,9)coseq\f(2π,9)coseq\f(3π,9)coseq\f(4π,9)＝eq\f(1,2)coseq\f(π,9)coseq\f(2π,9)coseq\f(4π,9)＝eq\f(1,2)·eq\f(8sin\f(π,9)cos\f(π,9)cos\f(2π,9)cos\f(4π,9),8sin\f(π,9))＝eq\f(1,2)·eq\f(4sin\f(2π,9)cos\f(2π,9)cos\f(4π,9),8sin\f(π,9))＝eq\f(1,2)·eq\f(2sin\f(4π,9)cos\f(4π,9),8sin\f(π,9))＝eq\f(1,2)·eq\f(sin\f(8π,9),8sin\f(π,9))＝eq\f(1,2)·eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π－\f(π,9))),8sin\f(π,9))＝eq\f(1,2)·eq\f(sin\f(π,9),8sin\f(π,9))＝eq\f(1,16).(2)eq\f(sin235°－\f(1,2),cos10°·cos80°)＝eq\f(\f(1－cos70°,2)－\f(1,2),cos10°·sin10°)＝－eq\f(cos70°,2sin10°·cos10°)＝－eq\f(sin20°,sin20°)＝－1.(3)sin50°(1＋eq\r(3)tan10°)＝sin50°·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\r(3)·\f(sin10°,cos10°)))＝sin50°·eq\f(cos10°＋\r(3)sin10°,cos10°)＝sin50°·eq\f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)cos10°＋\f(\r(3),2)sin10°)),cos10°)＝eq\f(2sin50°·cos50°,cos10°)＝eq\f(sin100°,cos10°)＝eq\f(cos10°,cos10°)＝1.【例13】(1)已知cosα＝eq\f(1,7)，cos(α－β)＝eq\f(13,14)，且0<β<α<eq\f(π,2)，则β＝________.(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝eq\f(1,2)，tanβ＝－eq\f(1,7)，则2α－β的值为________.【答案】(1)eq\f(π,3)(2)－eq\f(3π,4)【解析】(1)∵0<β<α<eq\f(π,2)，∴0<α－β<eq\f(π,2)，sinα＝eq\f(4\r(3),7).又cos(α－β)＝eq\f(13,14)，∴sin(α－β)＝eq\r(1－cos2（α－β）)＝eq\f(3\r(3),14).∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(1,7)×eq\f(13,14)＋eq\f(4\r(3),7)×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(1,2).又0<β<eq\f(π,2)，∴β＝eq\f(π,3).(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝eq\f(tan（α－β）＋tanβ,1－tan（α－β）tanβ)＝eq\f(\f(1,2)－\f(1,7),1＋\f(1,2)×\f(1,7))＝eq\f(1,3)>0，又α∈(0，π)，∴0<α<eq\f(π,2)，又∵tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\f(1,3),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))\s\up12(2))＝eq\f(3,4)>0，∴0<2α<eq\f(π,2)，∴tan(2α－β)＝eq\f(tan2α－tanβ,1＋tan2αtanβ)＝eq\f(\f(3,4)＋\f(1,7),1－\f(3,4)×\f(1,7))＝1.∵tanβ＝－eq\f(1,7)<0，∴eq\f(π,2)<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－eq\f(3π,4).【方法技巧】1.给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可.2.给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解.3.给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，选正、余弦皆可；(2)若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，选正弦较好.【变式训练】1.已知taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2)，则eq\f(\r(3)sinα＋cosα,\r(3)cosα－sinα)＝()A.eq\f(1,9) B.eq\f(\r(3),9)C.eq\f(1,3) D.eq\f(\r(3),3)【答案】B【解析】因为taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(\r(3),2)，所以tanα＝taneq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－\f(π,3)))＝eq\f(tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))－tan\f(π,3),1＋tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))tan\f(π,3))＝eq\f(\f(\r(3),2)－\r(3),1＋\f(\r(3),2)×\r(3))＝－eq\f(\r(3),5).所以eq\f(\r(3)sinα＋cosα,\r(3)cosα－sinα)＝eq\f(\r(3)tanα＋1,\r(3)－tanα)＝eq\f(\r(3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),5)))＋1,\r(3)＋\f(\r(3),5))＝eq\f(\r(3),9).2.(2022·石家庄综合训练)若cosα(1＋eq\r(3)tan10°)＝1，则α的一个可能值为()A.70° B.50°C.40° D.10°【答案】C【解析】cosα(1＋eq\r(3)tan10°)＝cosαeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(3)sin10°,cos10°)))＝cosα·eq\f(cos10°＋\r(3)sin10°,cos10°)＝cosα·eq\f(2sin（10°＋30°）,cos10°)＝1，即2sin40°cosα＝cos10°＝sin80°＝2sin40°cos40°，所以cosα＝cos40°，则α的一个可能值为40°，故选C.高频考点八角的变换【例14】