历年高考数学真题精 编06 解三角形

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页历年高考数学真题精编06解三角形一、单选题1．（2013·天津）在△ABC中，，则sin∠BAC=（）A． B． C． D．2．（2012·陕西）在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为A． B． C． D．3．（2013·辽宁）在中，内角的对边分别为.若，且，则A． B． C． D．4．（2013·全国）已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b等于()A．10 B．9 C．8 D．55．（2016·山东）中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知,则A=A． B． C． D．6．（2011·辽宁）ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB+bcos2A=，则（）A． B． C． D．7．（2012·上海）在中，若,则的形状是（）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定8．（2011·浙江）在中，角所对的边分．若，则A．- B． C．-1 D．19．（2019·全国）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=A．6 B．5 C．4 D．310．（2014·江西）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若，则的值为（

）A． B． C．1 D．11．（2023·北京）在中，，则（

）A． B． C． D．12．（2017·山东）在中，角的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是A． B． C． D．13．（2014·江西）在中，内角A,B,C所对应的边分别为，若则的面积A．3 B． C． D．14．（2017·全国）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=A． B． C． D．15．（2011·四川）在ABC中，．则的取值范围是（）A．（0，] B．[，） C．（0，] D．[，）16．（2016·全国）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b=A． B． C．2 D．317．（2008·福建）在中，角，，的对边分别为，b，，若，则角的值为（

）．A． B．C．或 D．或18．（2020·山东）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且，则等于（

）A．3 B． C．3或 D．-3或19．（2023·全国）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（

）A． B． C． D．20．（2023·全国）在中，内角的对边分别是，若，且，则（

）A． B． C． D．二、填空题21．（2014·福建）在中，,则的面积等于22．（2014·山东）在中，已知，当时，的面积为________.23．（2015·天津）在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，，则的值为．24．（2021·全国）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则．25．（2014·广东）在中，角、、所对应的边分别为、、，已知，则.26．（2014·全国）已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为．27．（2015·北京）在中，，，，则．28．（2015·重庆）在中，，，的角平分线，则.29．（2015·重庆）设的内角的对边分别为，且，则．30．（2016·全国）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=.31．（2017·全国）的内角的对边分别为，若，则．32．（2007·江苏）在平面直角坐标系中，已知的顶点，顶点在椭圆上，33．（2018·全国）△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为．34．（2018·北京）若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=；的取值范围是.35．（2012·福建）已知△ABC得三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为.36．（2011·上海）在相距2千米的、两点处测量目标，若，则、两点之间的距离是千米．37．（2019·浙江）在中，，，，点在线段上，若，则；.38．（2019·全国）的内角的对边分别为.若，则的面积为.39．（2019·全国）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=.40．（2022·全国）已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，．三、解答题41．（2012·浙江）在△ABC中，内角A,B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，求a，c的值42．（2014·陕西）的内角所对的边分别为.（1）若成等差数列，证明：；（2）若成等比数列，且，求的值.43．（2022·全国）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)证明：44．（2007·浙江）已知的周长为，且.(1)求边的长；(2)若的面积为，求角的度数.45．（2022·天津）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.46．（2004·浙江）在中，角、、所对的边分别为、、，且．(1)求的值；(2)若，求的最大值．47．（2013·湖北）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．48．（2010·浙江）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求的最大值．49．（2010·辽宁）在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求的最大值.50．（2015·陕西）的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求的面积．51．（2013·全国）△ABC在内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知a=bcosC+csinB．（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=2，求△ABC面积的最大值.52．（2011·湖南）在中，角所对的边分别为且满足（1）求角的大小；（2）求的最大值，并求取得最大值时角的大小．53．（2013·江西）在中，角所对的边分别为，已知．（1）求角的大小；（2）若，求的取值范围．54．（2020·江苏）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．55．（2020·山东）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________?注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．56．（2020·北京）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（Ⅰ）a的值：（Ⅱ）和的面积．条件①：；条件②：．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．57．（2021·全国）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.58．（2006·江西）在锐角中，角A､B，C所对的边分别为a､b､c，已知.(1)求的值；(2)若，求b的值.59．（2023·全国）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．60．（2023·全国）记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求面积．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页参考答案：1．C【解析】∵∠ABC=，AB=，BC=3，∴由余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=2+9﹣6=5，∴AC=，则由正弦定理=得：sin∠BAC==．故选C2．C【解析】，由余弦定理得,当且仅当时取“”，的最小值为，选C.3．A【解析】边换角后约去sinB，得sin(A＋C)＝，所以sinB＝，但∠B非最大角，所以∠B＝.4．D【解析】由题意知,23cos2A+2cos2A-1=0,即cos2A=,又因△ABC为锐角三角形,所以cosA=.△ABC中由余弦定理知72=b2+62-2b×6×,即b2-b-13=0,即b=5或b=-(舍去),故选D.5．C【解析】试题分析：由余弦定理得：，因为，所以，因为，所以，因为，所以，故选C.6．D【解析】∵△ABC中，asinAsinB+bcos2A＝a，∴根据正弦定理，得sin2AsinB+sinBcos2A＝sinA，可得sinB（sin2A+cos2A）＝sinA，∵sin2A+cos2A＝1，∴sinB＝sinA，得b＝a，可得＝．故选D．7．C【解析】由正弦定理得，则，角C为钝角，故选C.8．D【解析】试题分析：由得9．A【解析】由已知及正弦定理可得，由余弦定理推论可得，故选A．10．D【解析】由正弦定理有.又,故.故选：D11．B【解析】因为，所以由正弦定理得，即，则，故，又，所以.故选：B.12．A【解析】所以，选A.13．C【解析】试题分析：因为所以由余弦定理得：，即，因此的面积为选C.14．B【解析】sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0，∴cosAsinC+sinAsinC=0，∵sinC≠0，∴cosA=﹣sinA，∴tanA=﹣1，∵＜A＜π，∴A=，由正弦定理可得，∵a=2，c=，∴sinC==，∵a＞c，∴C=，故选B．15．C【解析】试题分析：由于，根据正弦定理可知，故．又，则的范围为.故本题正确答案为C.16．D【解析】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.7．D【解析】解：，，即，且有意义即，，在中，为或，故选：．18．A【解析】，，，，，，，，故选：A.19．C【解析】法一：连结交于，连结，则为的中点，如图，因为底面为正方形，，所以，则，又，，所以，则，又，，所以，则，在中，，则由余弦定理可得，故，则，故在中，，所以，又，所以，所以的面积为.法二：连结交于，连结，则为的中点，如图，因为底面为正方形，，所以，在中，，则由余弦定理可得，故，所以，则，不妨记，因为，所以，即，则，整理得①，又在中，，即，则②，两式相加得，故，故在中，，所以，又，所以，所以的面积为.故选：C.20．C【解析】由题意结合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，据此可得，则.故选：C.21．【解析】由正弦定理可得.所以的面积等于.22．【解析】由得，，所以，.23．【解析】因,故,由题设可得,即,所以,所以,应填.24．【解析】由题意，，所以，所以，解得（负值舍去）.故答案为：.25．.【解析】，由边角互化得，即，即，所以.26．【解析】试题分析：由，且，故，又根据正弦定理，得，化简得，，故，所以，又，故．27．【解析】28．【解析】试题分析：由正弦定理可得，所以．在中，所以，所以在中．又因为，所以．所以，所以＝，所以．29．4【解析】由及正弦定理，得．又因为，所以．由余弦定理得：，所以．30．【解析】因为，且为三角形的内角，所以，，又因为，所以.31．【解析】由2bcosB＝acosC＋ccosA及正弦定理，得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA.∴2sinBcosB＝sin(A＋C)．又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B.∴2sinBcosB＝sin(π－B)＝sinB.又sinB≠0，∴cosB＝.∴B＝.∵在△ABC中，acosC＋ccosA＝b，∴条件等式变为2bcosB＝b，∴cosB＝.又0<B<π，∴B＝.32．【解析】由题意椭圆中．故是椭圆的两个焦点，，由正弦定理得33．.【解析】［方法一］：【最优解】边化角因为，由正弦定理得，因为，所以．又因为，由余弦定理，可得，所以，即为锐角，且，从而求得，所以的面积为.故答案为：.［方法二］：角化边因为，由正弦定理得，即，又，所以，．又因为，由余弦定理，可得，所以，即为锐角，且，从而求得，所以的面积为.故答案为：.34．【解析】，，即，，则，为钝角，，，故.故答案为，.35．【解析】根据题意设三角形的三边长分别设为为，所对的角为最大角，设为，则根据余弦定理得，故答案为.36．【解析】解：由A点向BC作垂线，垂足为D，设AC=x，∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°-75°-60°=45°∴AD=x∴在Rt△ABD中，AB•sin60°=xx="6"（千米）答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为下由正弦定理求解：∵∠CAB=75°，∠CBA=60°，∴∠ACB=180°-75°-60°=45°又相距2千米的A、B两点∴，解得AC=答：A、C两点之间的距离为千米．故答案为37．【解析】在中，正弦定理有：，而,，，所以.38．【解析】由余弦定理得，所以，即解得（舍去）所以，39．.【解析】由正弦定理，得．，得，即，故选D．40．【解析】[方法一]：余弦定理设，则在中，，在中，，所以，当且仅当即时，等号成立，所以当取最小值时，.故答案为：.[方法二]：建系法令BD=t，以D为原点，OC为x轴，建立平面直角坐标系.则C（2t,0），A（1，），B（-t,0）[方法三]：余弦定理设BD=x,CD=2x.由余弦定理得，，，，令，则，，，当且仅当，即时等号成立.[方法四]：判别式法设，则在中，，在中，，所以，记，则由方程有解得：即，解得：所以，此时所以当取最小值时，，即.

41．（1）B=60°（2）【解析】（1)由正弦定理得42．（1）证明见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）因为成等差数列，所以，再由三角形正弦定理得，又在中，有，所以，最后得：，即得证；（2）因为成等比数列，所以，由余弦定理得，又，所以的值为试题解析：（1）成等差数列由正弦定理得（2）成等比数列由余弦定理得43．(1)；(2)证明见解析．【解析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根据余弦定理可知，，化简得：，故原等式成立．44．(1)(2)【解析】（1）解：由正弦定理知，，，的周长为，，．（2）解：的面积，，由（1）知，，，由余弦定理知，，．45．(1)；(2)；(3)【解析】（1）因为，即，而，代入得，解得：．（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．（3）因为，所以，故，又，所以，，而，所以，故．46．(1)(2)【解析】（1）解：因为；（2）解：根据余弦定理可知：，，又，即，，当且仅当时，，故的最大值是．47．（1）（2）【解析】（1）由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝或cosA＝－2(舍去)．因为0<A<π，所以A＝.（2）由S＝bcsinA＝bc×＝bc＝5，得bc＝20，又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝.从而由正弦定理得sinBsinC＝sinA×sinA＝sin2A＝×＝.48．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】解：（1）由题意可知，；（2）当△ABC为等边三角形的时候取得最大值．49．(Ⅰ)120°；(Ⅱ)1.【解析】(Ⅰ)，,即.，.(Ⅱ)，，∴当即时，取得最大值1.50．（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（1）因为向量与平行，所以，由正弦定理得，又，从而tanA＝，由于0<A<π，所以A＝.（2）由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，即c2－2c－3＝0，因为c>0，所以c＝3.故△ABC的面积为bcsinA＝.考点：平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理.51．（Ⅰ）B=（Ⅱ）【解析】(1)∵a=bcosC+csinB∴由正弦定理知sinA=sinBcosC+sinCsinB

①在三角形ABC中，A=－(B+C)∴sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC

②由①和②得sinBsinC=cosBsinC而C∈(0，)，∴sinC≠0，∴sinB=cosB又B(0，)，∴B=(2)S△ABCacsinBac，由已知及余弦定理得：4＝a2+c2﹣2accos2ac﹣2ac，整理得：ac，当且仅当a＝c时，等号成立，则△ABC面积的最大值为（2）1．52．（1）；（2）最大值为2，此时【解析】（1）由正弦定理得因为所以（2）由（1）知于是取最大值2．综上所述，的最大值为2，此时53．（1）；（2）【解析】（1）∵，∴，即，∵，∴，∴．（2）由余弦定理可知，代入可得，当且仅当时取等号，∴，又，∴的取值范围是．54．（1）；（2）.【解析】（1）[方法一]：正余弦定理综合法由余弦定理得，所以.由正弦定理得.[方法二]【最优解】：几何法过点A作，垂足为E．在中，由，可得，又，所以．在中，，因此．（2）[方法一]：两角和的正弦公式法由于，，所以.由于，所以，所以.所以.由于，所以.所以.[方法二]【最优解】：几何法+两角差的正切公式法

在（1）的方法二的图中，由，可得，从而．又由（1）可得，所以．[方法三]：几何法+正弦定理法

在（1）的方法二中可得．在中，，所以．在中，由正弦定理可得，由此可得．[方法四]：构造直角三角形法

如图，作，垂足为E，作，垂足为点G．在（1）的方法二中可得．由，可得．在中，．由（1）知，所以在中，，从而．在中，．所以．55．【解析】［方法一］【最优解】：余弦定理由可得：，不妨设，则：，即.若选择条件①：据此可得：，，此时.若选择条件②：据此可得：，则：，此时：，则：.若选择条件③：可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.［方法二］：正弦定理由，得．由，得，即，得．由于，得．所以．若选择条件①：由，得，得．解得．所以，选条件①时问题中的三角形存在，此时．若选择条件②：由，得，解得，则．由，得，得．所以，选条件②时问题中的三角形存在，此时．若选择条件③：由于与矛盾，所以，问题中的三角形不存在．5