第15讲 导数的应用（导数与函数的极值最值）（解析版）

导数与函数的极值、最值1．极值点与极值(1)极小值点与极小值若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都小，，而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值．(2)极大值点与极大值若函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，，而且在点附近的左侧，右侧，就把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值．特别提醒：（1），不一定是极值点（2）只有且两侧单调性不同，才是极值点.(3)求极值点，可以先求的点，再列表判断单调性.2.求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：（1）确定函数的定义域（2）求方程的根（3）用方程的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（4）由在方程的根左右的符号，来判断在这个根处取极值的情况若左正右负，则为极大值；若左负右正，则为极小值；若左右同号，则无极值。3.最大值:一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有;（2）存在，使得那么，称是函数的最大值4.最小值:一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有;（2）存在，使得那么，称是函数的最小值题型一：求极值1．（全国高二课时练习）函数的极小值为（）A．1 B．C． D．【答案】B【详解】f′(x)＝－1＋2x＝2，令f′(x)＝0，得x＝．当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：xf′(x)－0＋f(x)单调递减极小值单调递增当x＝时，f(x)有极小值．故选：B．2．（全国高二课时练习）函数在区间上的极大值为（）A． B．C．－1 D．0【答案】C【详解】f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1.令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln1－1＝0－1＝－1.故选：C3．（河南新乡县一中（文））已知函数，则的极大值为（）A．0 B． C． D．1【答案】D【详解】因为，所以在，上单调递增，在[0，1]上单调递减，所以的极大值为.故选：D4．（江苏沭阳·高二期中）函数的极大值为（）A．18 B．21 C．26 D．28【答案】D【详解】函数的定义域为，求导，令，解得：，极大值极小值所以当时，函数有极大值故选：D.5．（福建南平·高二期末）已知是函数的极小值点，则函数的极小值为（）A． B． C． D．4【答案】B【详解】由题意，函数，可得，因为是函数的极小值点，则，即，解得，可得，当或时，，单调递增；当时，，单调递减，所以当是函数的极小值点，所以函数的极小值为.故选：B.6．（山西省古县第一中学高二期中（理））已知函数的极大值和极小值分别为，，则（）A．0 B．1 C．2 D．4【答案】D【详解】解：，当时，该方程两个根为，或，，故在取到极大值、极小值，且，.故选：D.7．（全国高二课时练习）函数在上的极大值为（）A． B．0 C． D．【答案】A【详解】由可得当时，单调递增当时，单调递减所以函数在上的极大值为故选：A8．（全国高二课时练习）已知函数极值点的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【详解】解：由，可得，由，可得，令，可得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；故可得函数存在一个极值点，故选：B.题型二：根据极值求参数1．（西藏日喀则区南木林高级中学高二期末（文））函数，已知在时取得极值，则等于（）A．2 B．5 C．4 D．3【答案】B【详解】由题意，，且，∴，可得.∴，当，有或，则、上递增；当，有，则上递减；∴是的极值点.综上，.故选：B2．（安徽师范大学附属中学高二期中（文））函数在处有极值10，则的值为（）A．，，或， B．，，或，C．， D．，【答案】C【详解】因为，所以，由题意可得：，解得：或.当时，，在x=1的左右两侧正负相反，所以在处有极值，符合题意；当时，恒成立，所以在处无极值，应舍去；故选：C3．（陕西武功·高二期中（理））函数，已知在时取得极值，则的值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【详解】对函数求导得，因为在时取得极值，所以，解得.故选：D.4．（宁夏吴忠中学（文））若函数既有极大值又有极小值，则的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【详解】解：，因为函数f(x)＝x3＋ax2＋x既有极大值又有极小值，所以函数有两不同的零点，即，解得或，所以a的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞).故选：B.5．（四川省蒲江县蒲江中学高二月考（文））已知有极值，则的取值范围为（）A．或 B． C．或 D．【答案】C【详解】因为有极值，所以有两个不相等的实根，只需，解得：或.故选：C6．（永寿县中学高二月考（理））若函数既有极大值，也有极小值，则实数的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】A【详解】由题设，，又既有极大值，也有极小值，∴有两个不同的零点，∴，可得或.故选：A7．（南京市宁海中学高二期中）已知函数在处有极值0，则的值为（）A．4 B．7 C．11 D．4或11【答案】C【详解】解：由，得，因为在处有极值0，所以，即，解得或，当时，，则在上单调递增，此时函数无极值，所以舍去，当时，，令，得或，经检验和都为函数的极值点，综上，所以，故选：C8．（甘肃兰州一中高二月考（文））已知函数的导数，且在处取得极大值，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【详解】（1）当时，当时，，当时，，则在处取到极小值，不符合题意；（2）当时，函数无极值，不符合题意；（3）当时，当时，，当时，，则在处取到极大值，符合题意；（4）当时，，函数无极值，不符合题意；（5）当时，当时，，当时，，则在处取到极小值，不符合题意；综上所述，故选：．9．（滑县实验学校）已知函数在处取得极值0，则（）A．4 B．11 C．4或11 D．3或9【答案】B【详解】因为，由题有，即，解得或，检验：当时，不合题意，舍掉；当'时，，令，得或；令得.所以在，上单调递增，在上单调递减，符合题意，则.故选：B.10．（元氏县第四中学高二期中）若函数在处取极值0，则（）A．0 B．2 C．-2 D．1【答案】A【详解】解：,则,若在处取极值0，则,解得：,故,故选：．题型三：求最大（小）值1．（广东高三月考）函数在上的值域是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以当时，，此时函数是增函数，所以，即.故选：A.2．（全国）函数在上的最小值为（）A． B． C．0 D．【答案】B【详解】由，得．，得或．所以在和上单调递增，在上单调递减．又，，所以在上的最小值为．故选：B．3．（全国高二专题练习）函数在上的最大值是（）A．当时， B．当时，C．当时， D．当时，【答案】A【详解】因为，则.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减.所以，当时，函数取得最大值，即.故选：A.4．（安徽金安·毛坦厂中学（理））已知函数，则在上的最大值与最小值的差为（）A．12 B．2 C．6 D．4【答案】A【详解】由，令导数为0得，则，，单减；时，，单增，则，，故，故选：A5．（合肥市第十一中学（理））在区间上的最大值是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】，，令，解得.所以，，为减函数，，，为增函数，又因为，，所以函数在的最大值为.故选：D6．（山西运城·（理））函数在上的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【详解】因，当时，，由，得，当时，，当时，，于是得在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值.故选：B7．（山西运城·（文））函数在上的最小值为（）A． B．4 C． D．【答案】D【详解】，所以时，，递减，时，，递增，所以是在上的唯一极值点，极小值也是最小值．．故选：D．8．（四川省资中县第二中学高二月考（理））函数在上的最大值是（）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数，所以，所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；又，，所以函数在上的最大值是.故选：C.9．（重庆市清华中学校）函数在上的最小值是（）A． B． C． D．0【答案】B【详解】由