提高二 数列求和的方法（教师版）

拓展二数列求和常用的方法（精讲）思维导图思维导图常见考法常见考法考点一裂项相消法【例1】（2021·全国高二课时练习）数列{an}的前n项和为Sn，an是Sn和1的等差中项，等差数列{bn}满足b1＋S4＝0，b9＝a1.（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；（2）若cn＝，求数列{cn}的前n项和Wn.【答案】（1）an＝2n－1；bn＝2n－17；（2）.【解析】（1）∵an是Sn和1的等差中项，∴Sn＝2an－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1.∴a1＝1且an≠0，∴＝2，∴{an}是首项为1，公比为2的等比数列，∴an＝2n－1，Sn＝a1＋a2＋…＋an＝＝2n－1.设{bn}的公差为d，b1＝－S4＝－15，b9＝－15＋8d＝1，∴d＝2，∴bn＝－15＋(n－1)×2＝2n－17.（2）cn＝＝，∴Wn＝＝＝.【一隅三反】1．（2021·全国）已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn．（1）求an及Sn；（2）令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn．【答案】（1）an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)；（2）．【解析】（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由于a3＝7，a5＋a7＝26，∴a1＋2d＝7，2a1＋10d＝26，解得a1＝3，d＝2．∴an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．（2）∵an＝2n＋1，∴－1＝4n(n＋1)，∴．故Tn＝b1＋b2＋…＋bn∴数列{bn}的前n项和Tn＝．2（2021·六盘山高级中学高二月考（文））已知数列的各项均为正数，其前项和满足．（1）证明：数列是等差数列；（2）设数列，求数列的前项和．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）由题意，数列的各项均为正数，且满足．当时，，可得，即，因为，所以，当时，，解得．所以数列是首项为1，公差为2的等差数列．所以数列是等差数列为．（2）由（1）知，可得，所以.3．（2021·内蒙古集宁一中（文））等差数列中，，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知等差数列中，，由可得，由等差数列的定义可得：是以为首项，以为公差的等差数列，所以.（2）由（1）得.所以.考点二错位相减法【例2】（2021·六盘山高级中学高二月考）设等差数列中，，各项均为正数的数列的前项为，已知点在函数的图像上，且．（1）求数列和的通项公式；（2）设数列满足，数列的前项和为．【答案】（1）；；（2）．【解析】（1）解：设等差数列的公差为，则，∴；∵点在函数的图像上∴，∴，即；∴数列为等比数列，首项为，公比为3．∴，即．（2）解：．得，∴．【一隅三反】1．（2021·四川阆中中学）已知数列是首项，公比的等比数列，设，数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意，数列是首项，公比的等比数列，可得，又由，即，即数列的通项公式.（2）由（1）知，，所以，所以，于是，两式相减，可得：，所以.2．（2021·福建省连城县第一中学高二月考）已知①；②；③，在这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.设正项等比数列的前项和为，数列的前项和为，，，对都有成立.（1）求数列、的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）时，，时，，又符合上式，，因为为正项等比数列，.选①，，或（舍）选②，，选③由得，或（舍），（2）①②①-②得：．3．（2021·黑龙江道里·哈尔滨三中高二月考）已知数列满足，，设.（1）证明：为等差数列；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1），为等差数列；（2），，，，①，②①②得：，考点三分组求和法【例3-1】（2021·河南新郑·高二月考（文））已知数列，且，，.（1）求的通项公式；（2）求的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），所以，又，所以，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，所以（2）由（1）可得，所以，.【例3-2】（2021·全国高二课时练习）已知等差数列{an}前n项和为Sn，，.（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；（2）设，求{bn}前n项和Tn.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由得.又因为，所以，则，解得；故，.（2）.当为偶数时：.当为奇数时：.综上得.【一隅三反】1．（2021·全国高二课时练习）设数列{an}的前n项和为Sn，已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.（1）求通项公式an；（2）求数列{|an－n－2|}的前n项和.【答案】（1）an＝3n－1；（2）【解析】（1）由题意得：，则，又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，得an＋1＝3an，∴数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.（2）设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，b1＝2，b2＝1.当n≥3时，由于3n－1>n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3.当n≥3时，Tn＝3＋，经验证，当n＝2时也符合上式.所以，Tn＝.2．（2021·江苏姑苏·苏州中学高二月考）已知数列是公差为1的等差数列，且，，成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）设等差数列的通项公式为，由于，，成等比数列，则，解得，所以，（2）由题意，，所以．3．（2021·全国高二单元测试）已知数列的前n项和为，数列满足.（1）求数列、的通项公式；（2）求.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由题意，得：，当时，，当时，，∵当时，也满足，∴，∴.（2）由（1）知，，即数列是以0为首项，1为公差的等差数列，①当n为奇数时，n﹣1为偶数，；②当n为偶数时，n﹣1，n+1均为奇数，；综上所述，可知：.4．（2021·全国高二单元测试）等差数列{an}的公差为正数，a1＝1，其前n项和为Sn；数列{bn}为等比数列，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10．（Ⅰ）求数列{an}与{bn}的通项公式；（Ⅱ）设cn＝bn+，求数列{cn}的前n项和Tn．【答案】（Ⅰ）an＝n，bn＝2n；（Ⅱ）2n+1﹣．【解析】（Ⅰ）等差数列{an}的公差d为正数，a1＝1，数列{bn}为等比数列，设公比为q，b1＝2，且b2S2＝12，b2+S3＝10，可得2q（2+d）＝12，2q+3+3d＝10，解得q＝2，d＝1，则an＝1+n﹣1＝n，bn＝2n；（Ⅱ）cn＝bn+＝2n+＝2n+2（），则前n项和Tn＝（2+4+…+2n）+2（）＝+2（1﹣）＝2n+1﹣考点四倒序相加法【例4】（2021·全国高二课时练习）已知函数满足，若数列满足，则数列的前20项和为（）A．100 B．105 C．110 D．115【答案】D【解析】因为函数满足，①，②，由①②可得，，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，其前20项和为.故选：D.【一隅三反】1．（2021·新余市第一中学高二月考）已知函数，数列满足，则（）A．2018 B．2019 C．4036 D．4038【答案】A【解析】∵，∴．又∵，∴．令，则，两式相加得，∴．故选：A2．（2021·赣州市赣县第三中学高二开学考试（理））已知函数，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得（