双曲线及其标准方程 高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.2.1双曲线及其标准方程问题引入：这个问题运用了什么原理来解决？椭圆的定义平面内与两定点F1、F2距离之和等于常数2a(2a

>|F1F2|>0)的点的轨迹为椭圆.|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)F1CF2P【思考】如果调整圆的半径，使得r<|F1F2|，你能否发现类似于|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)这样的等量关系？【思考】平面内与两定点F1、F2距离之差等于常数的点的轨迹？F1CF2P

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.一、双曲线的定义①两个定点F1、F2——双曲线的焦点;②两个焦点间的距离|F1F2|=2c——焦距.||PF1|-|PF2||=2aoF2F1P注：（1）2a<2c

；（2）2a>0；【实验】如图，取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2上，把笔尖放在点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线。曲线轨迹形状是什么？为什么？在直线F1F2上且

以F1、F2为端点向外的两条射线.不存在【思考1】平面内与两定点的距离的差等于常数2a(小于|F1F2|

)的轨迹是什么？|PF2|-|PF1|=2a，双曲线的左支.|PF1|-|PF2|=2a，双曲线的右支；【思考4】当||PF1|-|PF2||=2a=0时，P点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线【思考2】平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数(等于|F1F2|)的轨迹是什么？【思考3】平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数(大于|F1F2|

)的轨迹是什么？(1)若||PF1|-|PF2||<|F1F2|,P点轨迹为双曲线.

(3)若||PF1|-|PF2||>|F1F2|,P点轨迹不存在.(2)若||PF1|-|PF2||=|F1F2|,P点轨迹为两条射线.

(4)若||PF1|-|PF2||=0,P点轨迹为AB中垂线.小结【思考】类比求椭圆标准方程的过程，如何建立适当的坐标系，得出双曲线的方程？二、双曲线的标准方程①建立平面直角坐标系

如图，取过焦点F1、

F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．

设双曲线的焦距|F1F2|=2c，双曲线上的点与两定点的距离之差的绝对值为2a

(a>0)，则F1、

F2的坐标分别为(－c，0)，(c，0)．②设曲线上任意一点（或动点）的坐标为P(x，y)设P(x，y)为双曲线上任意一点．xOyF2F1P③找出限制动点的几何条件因为||PF1|－|PF2||=2a，即|PF1|－|PF2|=±2a，④将坐标代入几何关系所以

⑤化简式子

由双曲线的定义知2c>2a，即c>a，所以c²－a²>0．设c²－a²

=

b²

(b>0)，则

b²x²－a²y²=a2b²，

上式两边同时除以a2b²，得xOyF2F1P

这称为双曲线的标准方程，它所表示的双曲线焦点在x轴上．坐标分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，c²=a²

＋

b²

．而双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值等于2a．【思考】以F1，F2所在的直线为y轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系，则双曲线的标准方程是什么？

如果双曲线焦点在y轴上，坐标分别为F1(0，－c)，F2(0，c)，双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值等于2a(2a<2c)．则双曲线的方程为：化成标准形式，焦点跟着正项走定义图象方程焦点a.b.c的关系a,b谁大不一定F2F1PxOyOPF2F1xy【例1】已知双曲线的两个焦点分别为F1(－4，0)，F2(4，0)，双曲线上任一点到两个焦点的距离之差的绝对值等于6，求该双曲线的标准方程．追问：双曲线上一点Ｐ,|PF1|=10,

|PF2|=________

4或16【练习1】判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出其焦点的坐标。方法提炼：x2与y2的系数符号，决定焦点所在的坐标轴，当x2,y2哪个系数为正，焦点就在哪个轴上，双曲线的焦点所在位置与分母的大小无关。【变式】过双曲线