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文档简介
2024届云南省元江一中高三月考试卷(七)数学试题试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.为比较甲、乙两名高中学生的数学素养,对课程标准中规定的数学六大素养进行指标测验(指标值满分为100分,分值高者为优),根据测验情况绘制了如图所示的六大素养指标雷达图,则下面叙述不正确的是()A.甲的数据分析素养优于乙 B.乙的数据分析素养优于数学建模素养C.甲的六大素养整体水平优于乙 D.甲的六大素养中数学运算最强2.已知集合,B={y∈N|y=x﹣1,x∈A},则A∪B=()A.{﹣1,0,1,2,3} B.{﹣1,0,1,2} C.{0,1,2} D.{x﹣1≤x≤2}3.已知奇函数是上的减函数,若满足不等式组,则的最小值为()A.-4 B.-2 C.0 D.44.函数fxA. B.C. D.5.定义两种运算“★”与“◆”,对任意,满足下列运算性质:①★,◆;②()★★,◆◆,则(◆2020)(2020★2018)的值为()A. B. C. D.6.命题“”的否定是()A. B.C. D.7.“完全数”是一些特殊的自然数,它所有的真因子(即除了自身以外的约数)的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28,进一步研究发现后续三个完全数”分别为496,8128,33550336,现将这五个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个,则6和28不在同一组的概率为()A. B. C. D.8.已知函数,则的值等于()A.2018 B.1009 C.1010 D.20209.一个几何体的三视图如图所示,其中正视图是一个正三角形,则这个几何体的体积为()A. B. C. D.10.已知数列是公比为的等比数列,且,,成等差数列,则公比的值为(
)A. B. C.或 D.或11.设是虚数单位,若复数,则()A. B. C. D.12.已知复数满足,其中是虚数单位,则复数在复平面中对应的点到原点的距离为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若,则_________.14.设数列的前项和为,且对任意正整数,都有,则___15.设,则“”是“”的__________条件.16.已知全集,集合则_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知等比数列,其公比,且满足,和的等差中项是1.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)若,是数列的前项和,求使成立的正整数的值.18.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为(),将曲线向左平移2个单位长度得到曲线.(1)求曲线的普通方程和极坐标方程;(2)设直线与曲线交于两点,求的取值范围.19.(12分)某学校为了解全校学生的体重情况,从全校学生中随机抽取了100人的体重数据,得到如下频率分布直方图,以样本的频率作为总体的概率.(1)估计这100人体重数据的平均值和样本方差;(结果取整数,同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)(2)从全校学生中随机抽取3名学生,记为体重在的人数,求的分布列和数学期望;(3)由频率分布直方图可以认为,该校学生的体重近似服从正态分布.若,则认为该校学生的体重是正常的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.20.(12分)(本小题满分12分)已知椭圆C:x2a2+y(1)求椭圆C的标准方程;(2)过点A(1,0)的直线与椭圆C交于点M,N,设P为椭圆上一点,且OM+ON=t21.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,设点在曲线上,点在曲线上,且为正三角形.(1)求点,的极坐标;(2)若点为曲线上的动点,为线段的中点,求的最大值.22.(10分)运输一批海鲜,可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择,它们的速度分别为60千米/小时、120千米/小时、600千米/小时,每千米的运费分别为20元、10元、50元.这批海鲜在运输过程中每小时的损耗为m元(),运输的路程为S(千米).设用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用(包括运费和损耗费)分别为(元)、(元)、(元).(1)请分别写出、、的表达式;(2)试确定使用哪种运输工具总费用最省.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
根据所给的雷达图逐个选项分析即可.【详解】对于A,甲的数据分析素养为100分,乙的数据分析素养为80分,故甲的数据分析素养优于乙,故A正确;对于B,乙的数据分析素养为80分,数学建模素养为60分,故乙的数据分析素养优于数学建模素养,故B正确;对于C,甲的六大素养整体水平平均得分为,乙的六大素养整体水平均得分为,故C正确;对于D,甲的六大素养中数学运算为80分,不是最强的,故D错误;故选:D【点睛】本题考查了样本数据的特征、平均数的计算,考查了学生的数据处理能力,属于基础题.2、A【解析】
解出集合A和B即可求得两个集合的并集.【详解】∵集合{x∈Z|﹣2<x≤3}={﹣1,0,1,2,3},B={y∈N|y=x﹣1,x∈A}={﹣2,﹣1,0,1,2},∴A∪B={﹣2,﹣1,0,1,2,3}.故选:A.【点睛】此题考查求集合的并集,关键在于准确求解不等式,根据描述法表示的集合,准确写出集合中的元素.3、B【解析】
根据函数的奇偶性和单调性得到可行域,画出可行域和目标函数,根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】奇函数是上的减函数,则,且,画出可行域和目标函数,,即,表示直线与轴截距的相反数,根据平移得到:当直线过点,即时,有最小值为.故选:.【点睛】本题考查了函数的单调性和奇偶性,线性规划问题,意在考查学生的综合应用能力,画出图像是解题的关键.4、A【解析】
由f12=e-14>0排除选项D;【详解】由f12=e-14>0,可排除选项D,f-1=-e【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质,属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及x→05、B【解析】
根据新运算的定义分别得出◆2020和2020★2018的值,可得选项.【详解】由()★★,得(+2)★★,又★,所以★,★,★,,以此类推,2020★2018★2018,又◆◆,◆,所以◆,◆,◆,,以此类推,◆2020,所以(◆2020)(2020★2018),故选:B.【点睛】本题考查定义新运算,关键在于理解,运用新定义进行求值,属于中档题.6、D【解析】
根据全称命题的否定是特称命题,对命题进行改写即可.【详解】全称命题的否定是特称命题,所以命题“,”的否定是:,.故选D.【点睛】本题考查全称命题的否定,难度容易.7、C【解析】
先求出五个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个的基本事件总数为,再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数,根据即可求出6和28不在同一组的概率.【详解】解:根据题意,将五个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个,则基本事件总数为,则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数,∴6和28不在同一组的概率.故选:C.【点睛】本题考查古典概型的概率的求法,涉及实际问题中组合数的应用.8、C【解析】
首先,根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式,根据所求函数的周期性,得到其周期为4,然后借助于三角函数的周期性确定其值即可.【详解】解:.,,的周期为,,,,,..故选:C【点睛】本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识,掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键,属于中档题.9、C【解析】
由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,求出底面面积,代入锥体体积公式,可得答案.【详解】由已知中的三视图,可知该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥,其底面面积,高,故体积,故选:.【点睛】本题考查的知识点是由三视图求几何体的体积,解决本题的关键是得到该几何体的形状.10、D【解析】
由成等差数列得,利用等比数列的通项公式展开即可得到公比q的方程.【详解】由题意,∴2aq2=aq+a,∴2q2=q+1,∴q=1或q=故选:D.【点睛】本题考查等差等比数列的综合,利用等差数列的性质建立方程求q是解题的关键,对于等比数列的通项公式也要熟练.11、A【解析】
结合复数的除法运算和模长公式求解即可【详解】∵复数,∴,,则,故选:A.【点睛】本题考查复数的除法、模长、平方运算,属于基础题12、B【解析】
利用复数的除法运算化简z,复数在复平面中对应的点到原点的距离为利用模长公式即得解.【详解】由题意知复数在复平面中对应的点到原点的距离为故选:B【点睛】本题考查了复数的除法运算,模长公式和几何意义,考查了学生概念理解,数学运算,数形结合的能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
因为,所以.因为,所以,又,所以,所以..14、【解析】
利用行列式定义,得到与的关系,赋值,即可求出结果。【详解】由,令,得,解得。【点睛】本题主要考查行列式定义的应用。15、充分必要【解析】
根据充分条件和必要条件的定义可判断两者之间的条件关系.【详解】当时,有,故“”是“”的充分条件.当时,有,故“”是“”的必要条件.故“”是“”的充分必要条件,故答案为:充分必要.【点睛】本题考查充分必要条件的判断,可利用定义来判断,也可以根据两个条件构成命题及逆命题的真假来判断,还可以利用两个条件对应的集合的包含关系来判断,本题属于容易题.16、【解析】
根据补集的定义求解即可.【详解】解:.故答案为.【点睛】本题主要考查了补集的运算,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ).(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由等差数列中项性质和等比数列的通项公式,解方程可得首项和公比,可得所求通项公式;(Ⅱ),由数列的错位相减法求和可得,解方程可得所求值.【详解】(Ⅰ)等比数列,其公比,且满足,和的等差中项是即有,解得:(Ⅱ)由(Ⅰ)知:则相减可得:化简可得:,即为解得:【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用,考查数列的错位相减法求和,以及方程思想和运算能力,属于中档题.18、(1)的极坐标方程为,普通方程为;(2)【解析】
(1)根据三角函数恒等变换可得,,可得曲线的普通方程,再运用图像的平移得依题意得曲线的普通方程为,利用极坐标与平面直角坐标互化的公式可得方程;(2)法一:将代入曲线的极坐标方程得,运用韦达定理可得,根据,可求得的范围;法二:设直线的参数方程为(为参数,为直线的倾斜角),代入曲线的普通方程得,运用韦达定理可得,根据,可求得的范围;【详解】(1),,即曲线的普通方程为,依题意得曲线的普通方程为,令,得曲线的极坐标方程为;(2)法一:将代入曲线的极坐标方程得,则,,,异号,,,;法二:设直线的参数方程为(为参数,为直线的倾斜角),代入曲线的普通方程得,则,,,异号,,.【点睛】本题考查参数方程与普通方程,极坐标方程与平面直角坐标方程之间的转化,求解几何量的取值范围,关键在于明确极坐标系中极径和极角的几何含义,直线的参数方程,参数的几何意义,属于中档题.19、(1)60;25(2)见解析,2.1(3)可以认为该校学生的体重是正常的.见解析【解析】
(1)根据频率分布直方图可求出平均值和样本方差;(2)由题意知服从二项分布,分别求出,,,,进而可求出分布列以及数学期望;(3)由第一问可知服从正态分布,继而可求出的值,从而可判断.【详解】解:(1)(2)由已知可得从全校学生中随机抽取1人,体重在的概率为0.7.随机拍取3人,相当于3次独立重复实验,随机交量服从二项分布,则,,,,所以的分布列为:01230.0270.1890.4410.343数学期望(3)由题意知服从正态分布,则,所以可以认为该校学生的体重是正常的.【点睛】本题考查了由频率分布直方图求进行数据估计,考查了二项分布,考查了正态分布.注意,统计类问题,如果题目中没有特殊说明,则求出数据的精度和题目中数据的小数后位数相同.20、(1)x24+【解析】试题分析:本题主要考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,先利用离心率、a2=b2+c2、四边形的面积列出方程,解出a和b的值,从而得到椭圆的标准方程;第二问,讨论直线MN的斜率是否存在,当直线MN的斜率存在时,直线方程与椭圆方程联立,消参,利用韦达定理,得到x1+x2、x1x试题解析:(1)∵e=22, ∴又S=12×2a×2b=4∴椭圆C的标准方程为x2(2)由题意知,当直线MN斜率存在时,设直线方程为y=k(x-1),M(x联立方程x24+因为直线与椭圆交于两点,所以Δ=16k∴x又∵OM∴因为点P在椭圆x24+即2k
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