2023八年级数学下册 第17章 一元二次方程17.5 一元二次方程的应用第1课时 平均变化率与利润问题教案 （新版）沪科版

2023八年级数学下册第17章一元二次方程17.5一元二次方程的应用第1课时平均变化率与利润问题教案（新版）沪科版授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间教材分析《2023八年级数学下册第17章一元二次方程17.5一元二次方程的应用第1课时平均变化率与利润问题教案（新版）沪科版》是沪科版数学八年级下册第17章的一部分。本章主要围绕一元二次方程的应用展开，通过实际问题引导学生运用一元二次方程解决实际问题，培养学生的数学应用能力。

本节课的内容是平均变化率与利润问题。教材通过引入实际问题，让学生理解平均变化率的概念，并运用一元二次方程求解平均变化率。同时，教材还通过利润问题的解决，让学生了解一元二次方程在实际生活中的应用。

在教学过程中，应注重学生的参与和实践，引导学生主动思考问题，通过合作交流，提高解决问题的能力。同时，要注意引导学生运用数学语言描述问题，培养学生的数学表达能力。核心素养目标分析本节课的核心素养目标主要包括：逻辑推理、数学建模、数学交流和问题解决。

首先，通过解决实际问题，引导学生理解平均变化率的概念，并运用一元二次方程求解平均变化率，锻炼学生的逻辑推理能力。

其次，让学生自主探究平均变化率的求解方法，培养学生的数学建模能力。

再次，学生在解决实际问题的过程中，需要与他人交流想法，合作探讨，提高数学交流能力。

最后，通过解决利润问题，让学生运用所学知识解决实际问题，提升问题解决能力。

在教学过程中，教师应注重引导学生参与实践，鼓励学生主动思考，培养学生的创新意识和解决问题的能力。同时，教师还要关注学生的个体差异，因材施教，使学生在数学学习的过程中，不断提升自己的核心素养。学情分析在进入本节课的学习之前，我们需要对学生的学情进行深入的了解和分析，以便更好地设计和实施教学活动。

1.学生层次分析

根据对学生的了解，我们可以将其分为三个层次：基础层、提高层和优秀层。

（1）基础层学生：对一元二次方程有一定的认识，但在解决实际问题方面的经验不足，对于平均变化率和利润问题的理解存在困难，需要教师的引导和帮助。

（2）提高层学生：对一元二次方程有较为扎实的基础，能够独立解决一些实际问题，但对于复杂的平均变化率和利润问题，需要进一步的提升和拓展。

（3）优秀层学生：在一元二次方程和实际问题解决方面有较高的能力，对于平均变化率和利润问题有较为深入的理解，具备一定的创新和拓展能力。

2.知识、能力、素质分析

（1）知识方面：学生已经学习了初中阶段的一元二次方程基础知识，对于本节课的平均变化率和利润问题，需要学生能够灵活运用已有的知识进行解决。

（2）能力方面：学生需要具备一定的逻辑推理、数学建模、数学交流和问题解决能力。其中，基础层学生需要在教师的引导下逐步提升这些能力，提高层学生需要进一步巩固和拓展，优秀层学生则需要在原有基础上进行提升和创新。

（3）素质方面：学生需要具备良好的学习习惯、团队合作精神、创新意识和坚持不懈的品质。这些素质对于学生的数学学习和个人发展具有重要意义。

3.行为习惯分析

学生的行为习惯对其数学学习具有重要影响。在教学过程中，我们发现部分学生存在以下问题：

（1）学习习惯不良：部分学生课前预习不足，课堂注意力不集中，课后复习不充分，导致学习效果不佳。

（2）缺乏自主学习能力：部分学生过于依赖教师，缺乏自主探究和解决问题的能力。

（3）团队合作意识不足：部分学生在小组活动中表现出不积极参与、不愿与他人交流的现象，影响团队整体的学习效果。

（4）创新意识不足：部分学生在解决问题时，过于依赖传统思维，缺乏创新和拓展的能力。

针对以上问题，教师需要在教学过程中加强对学生的引导和激励，培养良好的学习习惯和行为素质。同时，注重团队协作，提高学生的自主学习能力和创新意识。教学资源1.软硬件资源：多媒体教室、黑板、粉笔、教学课件、学生作业本、计算器等。

2.课程平台：学校教学管理系统、数学课程网站、在线教育平台等。

3.信息化资源：教学视频、教学案例、在线讨论区、数学题库等。

4.教学手段：讲授法、案例教学法、问题驱动法、小组合作法、练习法等。

5.教学辅助工具：PPT、投影仪、音响设备、网络连接设备等。

6.教学评价工具：学生作业、课堂练习、小组讨论报告、学生自评互评等。

7.教学反馈手段：课堂问答、学生反馈表、课后辅导等。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：通过在线平台或班级微信群，发布预习资料（如PPT、视频、文档等），明确预习目标和要求。

-设计预习问题：围绕“平均变化率与利润问题”，设计一系列具有启发性和探究性的问题，引导学生自主思考。

-监控预习进度：利用平台功能或学生反馈，监控学生的预习进度，确保预习效果。

学生活动：

-自主阅读预习资料：按照预习要求，自主阅读预习资料，理解平均变化率和利润问题的基本概念。

-思考预习问题：针对预习问题，进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

-提交预习成果：将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主思考，培养自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

-帮助学生提前了解本节课的主题，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过一个实际案例，引出平均变化率和利润问题，激发学生的学习兴趣。

-讲解知识点：详细讲解平均变化率的计算方法和利润问题的解决步骤，结合实例帮助学生理解。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生在实践中掌握一元二次方程的应用。

-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：积极参与小组讨论，体验一元二次方程在实际问题中的应用。

-提问与讨论：针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解平均变化率和利润问题的计算方法。

-实践活动法：设计小组讨论，让学生在实践中掌握一元二次方程的应用。

-合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解平均变化率和利润问题的计算方法，掌握一元二次方程的应用技能。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

-通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据本节课的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

-提供拓展资源：提供与平均变化率和利润问题相关的拓展资源，供学生进一步学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

-拓展学习：利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

-反思总结：对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的平均变化率和利润问题的计算方法。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。教学资源拓展1.拓展资源：

（1）数学故事：为学生提供关于一元二次方程在历史发展中的故事，如丢番图、牛顿等数学家的贡献，让学生了解一元二次方程的起源和发展。

（2）实际问题案例：收集一些与平均变化率和利润问题相关的实际案例，让学生了解一元二次方程在解决实际问题中的应用。

（3）数学实验：引导学生进行一元二次方程相关的数学实验，如通过图形计算器观察一元二次方程的图像，让学生加深对一元二次方程的理解。

（4）数学游戏：设计一些与一元二次方程相关的数学游戏，如找规律、解方程等，让学生在游戏中巩固一元二次方程的知识。

2.拓展建议：

（1）让学生利用网络资源，搜索一元二次方程在实际问题中的应用，如工程问题、经济问题等，培养学生解决实际问题的能力。

（2）鼓励学生参加数学竞赛或研究性学习，引导学生深入研究一元二次方程的性质和应用，提升学生的数学素养。

（3）引导学生阅读数学相关的书籍，如《数学家的故事》、《数学解密》等，了解一元二次方程的历史背景和发展过程。

（4）建议学生利用课后时间，自主学习一元二次方程的拓展知识，如一元二次方程的根的判别式、一元二次方程的图像等，拓宽学生的知识视野。

（5）组织学生进行小组讨论，分享一元二次方程的学习心得和拓展资源，促进学生之间的交流和合作。

（6）鼓励学生向老师请教一元二次方程的相关问题，或参加课后辅导，解决自己在学习过程中遇到的困惑。教学评价与反馈1.课堂表现：通过观察学生在课堂上的参与程度、提问频率、互动情况等，评价学生的学习状态和兴趣。例如，可以评价学生是否积极参与课堂讨论，是否能够主动提出问题，是否能够与同学进行有效的互动。

2.小组讨论成果展示：评价学生在小组讨论中的表现，如是否积极参与讨论，是否能够提出有价值的观点，是否能够有效地与他人合作等。同时，评价小组讨论的成果，如讨论的深度和广度，讨论的逻辑性和条理性等。

3.随堂测试：通过随堂测试，评价学生对平均变化率和利润问题知识的掌握程度。测试可以包括选择题、填空题、解答题等形式，测试的内容可以包括平均变化率的计算方法，利润问题的解决步骤等。

4.作业完成情况：评价学生对课后作业的完成情况，如作业的完成质量，作业的准确性，作业的创新性等。同时，评价学生对作业中问题的解决方法，如是否能够灵活运用一元二次方程，是否能够提出有效的解决方案等。

5.教师评价与反馈：针对学生在课堂上的表现、小组讨论成果展示、随堂测试和作业完成情况等方面，给予学生具体的评价和反馈。评价可以包括对学生的优点和不足之处的总结，对学生的努力和进步的肯定，对学生的建议和指导等。同时，反馈可以包括对学生的问题的解答，对学生的困惑的指导，对学生的学习的鼓励和支持等。内容逻辑关系①重点知识点：平均变化率的定义和计算公式。

②词：平均变化率，定义，计算公式。

③句：平均变化率是函数在某区间内的变化量与自变量的变化量的比值。

2.利润问题的解决步骤

①重点知识点：利润的计算方法和利润问题的解决步骤。

②词：利润，计算方法，解决步骤。

③句：利润是销售收入减去成本后的余额。

3.一元二次方程的应用

①重点知识点：一元二次方程在实际问题中的应用。

②词：一元二次方程，应用，实际问题。

③句：一元二次方程可以用来解决实际问题，如平均变化率和利润问题。

4.数学建模和数学交流

①重点知识点：数学建模和数学交流的概念和方法。

②词：数学建模，数学交流，概念，方法。

③句：数学建模是将实际问题抽象为数学模型，数学交流是与他人分享和讨论数学问题。

5.问题解决和自主学习能力

①重点知识点：问题解决和自主学习能力的概念和重要性。

②词：问题解决，自主学习能力，概念，重要性。

③句：问题解决是解决实际问题的能力，自主学习能力是独立学习和解决问题的能力。教学反思与总结在本节课的教学过程中，我采用了自主学习法、讲授法、实践活动法等多种教学方法，通过故事、案例、视频等方式激发学生的学习兴趣。在小组合作活动中，我鼓励学生积极参与，提出问题并交流讨论。但是，在实际教学中，我发现有些学生在自主学习时遇到困难，需要更多的引导和帮助。此外，在课堂讨论中，我发现有些学生参与度不高，需要进一步激发他们的学习兴趣。

2.教学总结

本节课的教学效果总体上是积极的，学生对平均变化率和利润问题的基本概念有了较好的理解，能够运用一元二次方程解决实际问题。在小组讨论中，学生能够积极参与，提出自己的观点，并与他人进行有效的交流和合作。同时，学生在随堂测试和作业完成情况中表现出了较强的应用能力。

3.改进措施和建议

针对教学中的问题和不足，我提出以下改进措施和建议：

-在自主学习环节，可以为学生提供更多的指导，帮助他们理解学习内容，提高自主学习的效果。

-在小组讨论中，可以设计更多具有挑战性和趣味性的问题，激发学生的学习兴趣，提高他们的参与度。

-在教学中，可以更多地采用实例和案例，让学生通过实际问题来理解一元二次方程的应用，提高他们的应用能力。

-在教学评价中，可以更多地关注学生的学习过程，鼓励他们积极参与课堂活动，培养他们的自主学习能力和合作能力。典型例题讲解1.例题1：

已知函数f(x)=x^2-2x+1，求函数在区间[-1,2]上的平均变化率。

解答：

首先，计算函数f(x)的导数f'(x)=2x-2。

然后，计算区间[-1,2]上的两端点处的函数值，f(-1)=(-1)^2-2(-1)+1=2，f(2)=2^2-2(2)+1=-1。

接着，计算区间[-1,2]上的自变量的变化量，Δx=2-(-1)=3。

最后，计算平均变化率，R=(f(2)-f(-1))/Δx=(-1-2)/3=-3/3=-1。

2.例题2：

一家公司生产某种产品，每件产品的成本为100元，售价为150元。如果该公司生产并销售x件产品，求该公司获得的利润。

解答：

利润P=售价×销售数量-成本×销售数量。

将售价和成本代入公式，得到P=150x-100x=50x。

3.例题3：

一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c，求长方体的对角线长