山东省济南市市中区育英中学2023-2024学年九年级下学期开学数学试题（解析版）

2023-2024学年山东省济南市市中区育英中学九年级（下）开学数学试卷一.选择题（共8小题，每题3分，共24分）1.鲁班锁，民间也称作孔明锁、八卦锁，它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构.下图是鲁班锁的其中一个部件，它的主视图是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．【详解】它的主视图是：．故选C．【点睛】此题主要考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．2.若，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查比例的性质，根据，得到，代入进行求解即可．熟练掌握外项积等于内项积，是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∴，故选：B．3.已知反比例函数的图象上有两点，，则与的大小关系是（）A. B. C. D.不能确定【答案】A【解析】【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确在反比例函数中，当时，在每个象限内随的增大而减小．根据在反比例函数中，当时，在每个象限内随的增大而减小，由反比例函数的图象上有两点，，可以判断出、的大小关系，从而本题得以解决．【详解】解：反比例函数中的，在反比例函数中，在每个象限内随的增大而减小，反比例函数的图象上有两点，，，．故选：A4.抛物线的对称轴是直线（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据抛物线解析式，可直接求出对称轴．【详解】解：抛物线解析式为，对称轴为．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是记住二次函数的对称轴是直线．5.已知不透明的袋中只装有黑、白两种球，这些球除颜色外都相同，其中白球有2个，黑球有个，若随机地从袋子中摸出一个球，记录下颜色后，放回袋子中并摇匀，经过大量重复试验发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则的值为（）A3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】根据题意可得，然后进行求解即可．【详解】解：由题意得：，解得：，经检验是原方程的解；故选A．【点睛】本题主要考查分式方程的解法及概率，熟练掌握分式方程的解法及概率是解题的关键．6.如图，AB是O的直径，，则等于（）A. B. C.60° D.【答案】D【解析】【分析】根据圆周角定理可求得的度数．【详解】解：∵与是同弧所对的圆心角与圆周角，，∴，故选：D．【点睛】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的度数的一半是解答此题的关键．7.一次函数与反比例函数（a，b为常数且均不等于0）在同一坐标系内的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据一次函数图象确定a、b的符号，进而求出的符号，由此可以确定反比例函数图象所在的象限，看是否一致即可．【详解】解：A、∵一次函数图象经过第一、二、三象限，∴，∴，∴反比例函数的图象见过第一、三象限，这与图形不符合，故A不符合题意；B、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，∴，∴，∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故B不符合题意；C、∵一次函数图象经过第一、三、四象限，∴，∴，∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形不符合，故C不符合题意；D、∵一次函数图象经过第一、二、四象限，∴，∴，∴反比例函数的图象见过第二、四象限，这与图形符合，故D符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象和性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键．8.已知，是抛物线上两点，当且时，总有，则实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意，得出关于m的不等式是解题的关键；由抛物线解析式可知抛物线开口向下，对称轴为直线，由题意可知，解得．【详解】抛物线，抛物线开口向下，对称轴为直线，Ax1,y1，Bx2,y2，．故选：B二.填空题（共6小题，每题3分，共18分）9.已知tan=1，则锐角α的度数是_____．【答案】30°．【解析】【分析】先求出sinA的值，然后根据sinA的值可得出A的度数．【详解】由题意得，tanα＝＝，∴α＝30°．故答案为30°．【点睛】此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握一些特殊角的三角函数值，是需要我们熟练记忆的内容．10.如图，以O为位似中心，把五边形的面积扩大为原来的9倍，得五边形，则_______．【答案】【解析】【分析】本题考查了位似图形的对应坐标，解题的关键是掌握位似图形的定义．根据五边形的面积扩大为原来的9倍，利用相似图形面积的比等于相似比的平方，即可得出答案．【详解】解：∵以O为位似中心，把五边形面积扩大为原来的9倍，得五边形，则，故答案为．11.如图，点A，B是函数图象上两点，过点A作轴垂足为点C，并交于点D．若的面积为2，D为的中点，则k的值为______．【答案】【解析】【分析】先设出点的坐标，进而表示出点，的坐标，利用三角形的面积建立方程求出，即可得出结论．【详解】解：设点，，为的中点，，轴，，的面积为2，，，，故答案为：．【点睛】本题考查反比例函数系数的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答．12.如图是抛物线的一部分，其对称轴为直线，若其与x轴一交点为，则由图象可知，不等式的解集是______．【答案】或【解析】【分析】由抛物线与x轴的一个交点（3，0）和对称轴x=1可以确定另一交点坐标为（-1，0），又＞0时，图象在x轴上方，由此可以求出x的取值范围．【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点（3，0）而对称轴x＝1∴抛物线与x轴的另一交点（﹣1，0）当＞0时，图象在x轴上方此时x＜﹣1或x＞3故答案为x＜﹣1或x＞3．【点睛】本题考查的是二次函数与不等式的关系，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．13.如图．将扇形翻折，使点与圆心重合，展开后折痕所在直线与交于点，连接．若，则图中阴影部分的面积是______．【答案】##【解析】【分析】连接，由翻折的性质及圆的性质可得是等边三角形，则扇形面积减去等边三角形的面积即为所求的阴影部分的面积．【详解】解：如图，连接，设l交于点D，由翻折的性质得：，，，，，即是等边三角形，，由勾股定理得，，故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，求扇形面积等知识，得到等边三角形是解题的关键．14.如图，在中，，，，点是上一动点，将沿折叠得到△，当点恰好落在上时，的长为_______．【答案】##【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，解题关键是根据题意正确画出图形，再添加合适的辅助线，构造直角三角形和全等三角形解决问题．过点作，交的延长线于点，由平行四边形的性质可得，，，由平角的定义，利用含30度角的直角三角形性质得，，由平行线的性质得，，由折叠可知，，于是可通过证明，得到，再利用勾股定理求得，则．【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，四边形为平行四边形，，，，，，，，，，，，，，根据折叠的性质可得，，，，，在和中，，，，在中，，．故答案为：三.解答题（共8小题，共58分）15.计算：．【答案】【解析】【分析】根据化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂进行计算即可求解．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂是解题的关键．16.如图，在中，，分别是边、上的点，连接，且．若，，，求的长．【答案】【解析】【分析】本题考查相似三角形，解题关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．根据，即可解答．设，则，，根据相似三角形的性质可知，从而列出方程解出的值．【详解】证明：，，；，设，则，，，，，解得：（负值舍去），的长是．17.为了更好的感受中考考法，精准备考，学生和学生两位同学，分别从2020、2021、2022、2023四年的浙江中考真题中选择一套完成，四套题分别记为A、B、C、D，若他们两人选择哪一套题相互不受影响，且选择每一套题的几率均等．（1）他们都选择“2023”的概率为______；（2）请用列表或画树状图的方法，求两人都不选择“2023”的概率【答案】（1）（2），图形见解析【解析】【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．（1）画树状图得出所有等可能结果数以及他们都选择“2023”的结果数，再利用概率公式可得出答案；（2）由树状图可得出所有等可能的结果数以及两人都不选择“2023”的结果数，再利用概率公式可得出答案；【小问1详解】解：画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中他们都选择D的结果有1种，他们都选择“2023”的概率为，故答案为：；【小问2详解】由树状图可知，共有16种等可能的结果，其中他们都不选择的结果有9种，两人都不选择“2023”的概率为．18.综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，的坡度为，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为．（1）求的长；（2）求塔的高度．（结果保留个位）（参考数据：，）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及含30度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键．（1）根据含30度角的直角三角形的性质求解即可；（2）设，分别在和中，利用锐角三角函数定义求得，，过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可．【小问1详解】解：在中，的坡度为，，∴，∴．即的长为．【小问2详解】解：设，在中，，∴．在中，由，，，则．∴．即的长为．如图，过点作，垂足为．根据题意，，∴四边形是矩形．∴，．可得．在中，，，∴．即．∴．答：塔的高度约为．19.如图，是的直径，是的切线，点为直线上一点，连接交于点，连接并延长交线段于点．（1）求证：；（2）若，，求的半径．【答案】（1）见解析（2）14【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，圆周角定理，切线的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质，以及解直角三角形是解题的关键．（1）根据切线的性质可得，再利用直径所对的圆周角是直角可得，从而可得，然后再利用等腰三角形的性质以及对顶角相等，即可解答；（2）利用（1）的结论可得，从而可得，然后证明，利用相似三角形的性质可得，从而求出，的长，最后设的半径为，在中，利用勾股定理进行计算即可解答．【小问1详解】证明：是的切线，点为切点，，，是的直径，，，，，，，，；【小问2详解】解：，，在中，，，，，，，，，设的半径为，在中，，，，的半径为14．20.如图1，矩形和矩形共顶点，且绕着点顺时针旋转，满足．（1）的比值是否发生变化，若变化，说明理由；若不变，求出相应的值，并说明理由；（2）如图2，若点为的中点，且，，连接，求的面积．【答案】（1）不变化，，理由见解析（2）【解析】【分析】（1）连接，，根据矩形性质和勾股定理证得，，再证明和，利用相似三角形的性质求解即可；（2）连接，，过G作交延长线于F，先证明求得，再由，证明F、C、G、B四点共圆，再利用圆内接四边形的外角性质得到，证明求得，进而求解面积即可．【小问1详解】解：结论：不变化，．理由为：如图1，连接，，∵四边形是矩形，∴，，∵，则，设，，则，∴，同理可得，，∴，∴，，∴，，∴，∴；【小问2详解】解：如图2，连接，，过G作交延长线于T，∵四边形是矩形，∴，，∵点为的中点，∴，∵，∴，∵∴，又，∴∴，∴，∵，∴F、C、G、B四点共圆，∴，又，∴，∴，即，∴，则．【点睛】本题属于相似三角形的综合题，考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，四点共圆、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题．21.在平面直角坐标系xOy中，对于函数y（x＞0），它的图象是双曲线在第一象限内的一部分，如图1，这条曲线将第一象限分成了三个部分，即曲线上方、曲线下方和曲线上．（1）对于函数y（x＞0）的图象而言，①点P（3，1）在（填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”）．②横、纵坐标满足不等式y的点在（填“曲线上方”、“曲线下方”、“曲线上”）．（2）已知m＞0，将在第一象限内满足不等式组的所有点组成的区域记为W．①当m＝1时，请在图2中画出区域W（用阴影部分标示）；②若A（1，2），B（2，4）两点恰有一个点在区域W内，结合图象，直接写出m的取值范围．【答案】（1）①曲线上方；②曲线下方（2）①见解析；②1＜m＜8且m≠2【解析】【分析】（1）①把相应坐标代入函数式即可得到答案；②根据函数图象可得到答案；（2）①根据题意得不等式组，根据轨迹可得答案；②分当点A（1，2）在区域W内时，当点B（2，4）在区域W内时，两种情况得不等式组，求解可得答案．【小问1详解】解：①在函数y图象上，当x＝3时，y，∴点P（3，1）在曲线上方；②y为曲线，横、纵坐标满足不等式y的点在曲线下方．故答案为：①曲线上方；②曲线下方．【小问2详解】解：①由题意知，区域W满足，∴区域W满足在y的上方且在y＝x+1的下方，如图：②当点A（1，2）在区域W内时，，得1＜m＜2，当点B（2，4）在区域W内时，，得2＜m＜8，∴m的取值范围为1＜m＜8且m≠2．【点睛】此题考查的是函数的轨迹问题，掌握反比例函数性质及数形结合思想的应用是解决此题关键