2025高考数学一轮复习-直线与圆、圆与圆的位置关系-专项训练【含解析】

课时过关检测(四十九)直线与圆、圆与圆的位置关系【原卷版】1．直线7x－24y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相切，则正实数m的取值是()A．25eq\r(5)－55或25eq\r(5) B．25eq\r(5)＋55或25eq\r(5)－55C．25eq\r(5)－55 D．25eq\r(5)＋552．“点(a，b)在圆x2＋y2＝1外”是“直线ax＋by＋2＝0与圆x2＋y2＝1相交”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知直线l：x－2ky＋1＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)，则k＝()A．1 B．±1C．eq\f(\r(3),2) D．±eq\f(\r(3),2)4．已知点P(6,0)，点A(1,1)，动点C满足eq\o(OC,\s\up7(→))·eq\o(PC,\s\up7(→))＝0(O为坐标原点)，过A点的直线被动点C的轨迹曲线截得的所有弦中最短弦所在的直线方程为()A．y＝2x－1 B．y＝－2x＋1C．y＝eq\f(1,2)x－1 D．y＝－eq\f(1,2)x＋15．已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－2＝0的公共弦所在直线恒过点P(a，b)，且点P在直线mx－ny－2＝0上，则mn的取值范围是()A．(－∞，1] B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))6．(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0．则以下命题正确的有()A．直线l恒过定点(3,1) B．直线l与圆C相切C．直线l与圆C恒相交 D．直线l与圆C相离 7．(多选)已知圆A：x2＋y2－2x－3＝0，则下列说法正确的是()A．圆A的半径为2B．圆A截y轴所得的弦长为2eq\r(3)C．圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为1D．圆A与圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相离8．已知直线l与圆x2＋y2－2x＝0相交于A，B两点，线段AB中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，则|AB|＝________．9．直线x－eq\r(3)y＝0截圆(x－2)2＋y2＝4所得劣弧所对的圆心角是________．10．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l．(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．11．已知点P是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A为切点，若PA长度的最小值为2，则k的值为()A．3 B．eq\f(\r(21),2)C．eq\r(2) D．212．(多选)已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则()A．圆O1和圆O2有两条公切线B．直线AB的方程为x－y＋1＝0C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|＞|AB|D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋eq\r(2)13．古希腊数学家阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k＞0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O(0,0)，A(3,0)，圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上有且仅有一个点P满足|PA|＝2|PO|，则r的值为________．14．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且y轴和直线x－eq\r(3)y＋2＝0均与圆相切．(1)求圆C的标准方程；(2)设点P(0,1)，若直线y＝x＋m与圆C相交于M，N两点，且∠MPN＝90°，求m的值．15．过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆O的切线，切点分别为A，B，我们可以把线段AB叫做圆O的切点弦，其所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．现过点P(1,3)作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线的方程为________；若点Q是直线l：x－y－4＝0上的动点，过点Q作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点________．16．在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)．当m变化时，解答下列问题：(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．课时过关检测(四十九)直线与圆、圆与圆的位置关系【解析版】1．直线7x－24y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋4y＝0相切，则正实数m的取值是()A．25eq\r(5)－55或25eq\r(5) B．25eq\r(5)＋55或25eq\r(5)－55C．25eq\r(5)－55 D．25eq\r(5)＋55解析：C圆x2＋y2－2x＋4y＝0⇔(x－1)2＋(y＋2)2＝5，圆心(1，－2)，半径r＝eq\r(5)，由题意可知圆心到直线的距离d＝eq\f(|7×1－24×－2＋m|,\r(72＋242))＝eq\r(5)，即m2＋110m－100＝0，解得m＝－55±25eq\r(5)，∵m＞0，∴m＝－55＋25eq\r(5)．故选C．2．“点(a，b)在圆x2＋y2＝1外”是“直线ax＋by＋2＝0与圆x2＋y2＝1相交”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：B命题p：点(a，b)在圆x2＋y2＝1外等价于a2＋b2＞1，命题q：直线ax＋by＋2＝0与圆x2＋y2＝1相交等价于eq\f(2,\r(a2＋b2))＜1⇔a2＋b2＞4，从而有p⇒/q，q⇒p，所以p是q的必要不充分条件．故选B．3．已知直线l：x－2ky＋1＝0与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，且eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)，则k＝()A．1 B．±1C．eq\f(\r(3),2) D．±eq\f(\r(3),2)解析：D∵⊙O的半径为1，eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝－eq\f(1,2)，得cos∠AOB＝－eq\f(1,2)，∠AOB＝eq\f(2,3)π，∠ABO＝eq\f(π,6)，∴圆心到直线AB的距离为OB·sineq\f(π,6)＝eq\f(1,2)，则eq\f(1,\r(1＋4k2))＝eq\f(1,2)，k＝±eq\f(\r(3),2)．故选D．4．已知点P(6,0)，点A(1,1)，动点C满足eq\o(OC,\s\up7(→))·eq\o(PC,\s\up7(→))＝0(O为坐标原点)，过A点的直线被动点C的轨迹曲线截得的所有弦中最短弦所在的直线方程为()A．y＝2x－1 B．y＝－2x＋1C．y＝eq\f(1,2)x－1 D．y＝－eq\f(1,2)x＋1解析：A设C(x，y)，由eq\o(OC,\s\up7(→))·eq\o(PC,\s\up7(→))＝0得动点C的轨迹方程为x2＋y2－6x＝0，即(x－3)2＋y2＝9，则动点C的轨迹曲线为圆，圆心为D(3,0)．又点A(1,1)在圆内，所以kAD＝eq\f(1－0,1－3)＝－eq\f(1,2)，所以最短弦所在直线的斜率为2，所以所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1．故选A．5．已知圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0与圆C2：x2＋y2＋ky－2＝0的公共弦所在直线恒过点P(a，b)，且点P在直线mx－ny－2＝0上，则mn的取值范围是()A．(－∞，1] B．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，1))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，＋∞)) D．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4)))解析：A由圆C1：x2＋y2－kx＋2y＝0，圆C2：x2＋y2＋ky－2＝0，得圆C1与圆C2的公共弦所在直线方程为k(x＋y)－2y－2＝0，求得定点P(1，－1)，又P(1，－1)在直线mx－ny－2＝0上，m＋n＝2，即n＝2－m．∴mn＝(2－m)m＝－(m－1)2＋1，∴mn的取值范围是(－∞，1]．故选A．6．(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0．则以下命题正确的有()A．直线l恒过定点(3,1) B．直线l与圆C相切C．直线l与圆C恒相交 D．直线l与圆C相离解析：AC将直线l的方程整理为x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－4＝0，,2x＋y－7＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,y＝1.))则无论m为何值，直线l过定点(3,1)，又定点(3,1)与圆心C(1,2)的距离为eq\r(3－12＋1－22)＝eq\r(5)＜5，故直线l与圆C恒相交，故A、C正确．7．(多选)已知圆A：x2＋y2－2x－3＝0，则下列说法正确的是()A．圆A的半径为2B．圆A截y轴所得的弦长为2eq\r(3)C．圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为1D．圆A与圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0相离解析：ABC把圆A的方程x2＋y2－2x－3＝0化成标准方程为(x－1)2＋y2＝4，所以圆A的圆心坐标为(1,0)，半径为2，A正确；圆A截y轴所得的弦长为2×eq\r(4－1)＝2eq\r(3)，B正确；圆心(1,0)到直线3x－4y＋12＝0的距离为3，故圆A上的点到直线3x－4y＋12＝0的最小距离为3－2＝1，C正确；圆B：x2＋y2－8x－8y＋23＝0的圆心为B(4,4)，半径为3，则点A与点B之间的距离为eq\r(4－12＋42)＝5，圆A与圆B相切，D错误．故选A、B、C．8．已知直线l与圆x2＋y2－2x＝0相交于A，B两点，线段AB中点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(1,2)))，则|AB|＝________．解析：圆的圆心为(1,0)，半径为1，则圆心与线段中点的距离d＝eq\f(\r(2),2)，所以|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r(1－\f(1,2))＝eq\r(2)．答案：eq\r(2)9．直线x－eq\r(3)y＝0截圆(x－2)2＋y2＝4所得劣弧所对的圆心角是________．解析：画出图形，如图，圆心(2,0)到直线的距离为d＝eq\f(|2|,\r(12＋\r(3)2))＝1，∴sin∠AOC＝eq\f(d,|OC|)＝eq\f(1,2)，∴∠AOC＝eq\f(π,6)，∴∠CAO＝eq\f(π,6)，∴∠ACO＝π－eq\f(π,6)－eq\f(π,6)＝eq\f(2π,3)．答案：eq\f(2π,3)10．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4外有一点P(4，－1)，过点P作直线l．(1)当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；(2)当直线l的倾斜角为135°时，求直线l被圆C所截得的弦长．解：(1)由题意可得圆心为C(2,3)，半径为2，直线l与圆C相切，当斜率不存在时，直线l的方程为x＝4，满足题意；当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－4)，即kx－y－4k－1＝0，∴eq\f(|2k－3－4k－1|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝－eq\f(3,4)，∴直线l的方程为3x＋4y－8＝0，综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y－8＝0．(2)当直线l的倾斜角为135°时，直线l的方程为x＋y－3＝0，圆心C(2,3)到直线l的距离为eq\f(|2＋3－3|,\r(2))＝eq\r(2)，∴弦长为2eq\r(22－\r(2)2)＝2eq\r(2)．11．已知点P是直线kx＋y＋4＝0(k＞0)上一动点，PA是圆C：x2＋y2－2y＝0的一条切线，A为切点，若PA长度的最小值为2，则k的值为()A．3 B．eq\f(\r(21),2)C．eq\r(2) D．2解析：D易知点P在圆外，圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0,1)，半径r＝1．当PC所在直线与直线kx＋y＋4＝0(k＞0)垂直时，|PA|最小．此时在Rt△PAC中，|PC|＝eq\r(|PA|2＋|AC|2)＝eq\r(5)，即点C到直线kx＋y＋4＝0(k＞0)的距离为eq\r(5)，所以eq\f(5,\r(k2＋1))＝eq\r(5)，解得k＝±2．又k＞0，所以k＝2．故选D．12．(多选)已知圆O1：x2＋y2－2x－3＝0和圆O2：x2＋y2－2y－1＝0的交点为A，B，则()A．圆O1和圆O2有两条公切线B．直线AB的方程为x－y＋1＝0C．圆O2上存在两点P和Q使得|PQ|＞|AB|D．圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋eq\r(2)解析：ABD对于A，因为两个圆相交，所以有两条公切线，故正确；对于B，将两圆方程作差可得－2x＋2y－2＝0，即得公共弦AB的方程为x－y＋1＝0，故B正确；对于C，直线AB经过圆O2的圆心(0,1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比AB长的弦，故C错误；对于D，圆O1的圆心坐标为(1,0)，半径为2，圆心到直线AB：x－y＋1＝0的距离为eq\f(|1＋1|,\r(2))＝eq\r(2)，所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2＋eq\r(2)，D正确．故选A、B、D．13．古希腊数学家阿波罗尼斯(约公元前262～公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k(k＞0且k≠1)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知O(0,0)，A(3,0)，圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上有且仅有一个点P满足|PA|＝2|PO|，则r的值为________．解析：设动点P(x，y)，由|PA|＝2|PO|，得(x－3)2＋y2＝4x2＋4y2，整理得(x＋1)2＋y2＝4，又点P是圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)上有且仅有的一点，所以两圆相切．圆(x＋1)2＋y2＝4的圆心坐标为(－1,0)，半径为2，圆C：(x－2)2＋y2＝r2(r＞0)的圆心坐标为(2,0)，半径为r，两圆的圆心距为3，当两圆外切时，r＋2＝3，得r＝1；当两圆内切时，|r－2|＝3，r＞0，得r＝5．答案：1或514．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且y轴和直线x－eq\r(3)y＋2＝0均与圆相切．(1)求圆C的标准方程；(2)设点P(0,1)，若直线y＝x＋m与圆C相交于M，N两点，且∠MPN＝90°，求m的值．解：(1)设圆心(a,0)，a＞0，∴圆的半径为r＝a，∴eq\f(|a＋2|,2)＝a，解得a＝2．∴圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4．(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,x－22＋y2＝4，))消去y得2x2＋2(m－2)x＋m2＝0，∵直线与圆有两个交点，∴Δ＝4(m－2)2－8m2＞0，解得－2－2eq\r(2)＜m＜－2＋2eq\r(2)，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2－m，,x1·x2＝\f(m2,2)，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝2＋m，,y1·y2＝\f(m2,2)＋2m，))又eq\o(PM,\s\up7(→))·eq\o(PN,\s\up7(→))＝0，∴(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋y1y2－(y1＋y2)＋1＝0，整理得m2＋m－1＝0，解得m＝eq\f(－1－\r(5),2)或m＝eq\f(－1＋\r(5),2)．15．过圆O：x2＋y2＝r2外一点P(x0，y0)作圆O的切线，切点分别为A，B，我们可以把线段AB叫做圆O的切点弦，其所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．现过点P(1,3)作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线的方程为________；若点Q是直线l：x－y－4＝0上的动点，过点Q作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线恒过定点________．解析：根据题意，圆O：x2＋y2＝4中，由r2＝4，点P(1,3)在圆O外，过点P(1,3)作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线的方程为x＋3y－4＝0．设Q的坐标为(m，n)，则m－n－4＝0，即m＝n＋4，过点Q作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在直线方程为mx＋ny－4＝0，又由m＝n＋4，则直线AB的方程变形可得n(x＋y)＋4x－4＝0，则有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝0，,4x－4＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co