2025高考数学一轮复习-数学模型的构建与拟合-专项训练【含解析】

课时过关检测(七十)数学模型的构建与拟合【原卷版】1．高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是()2．某区要从5名干部甲、乙、丙、丁、戊中随机选取2人，赴区属的某村进行驻村工作，则甲或乙被选中的概率是()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(7,10)3．已知函数t＝－144lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(N,100)))的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(h)表示达到打字水平N(字/min)所需的学习时间，N表示打字速度(字/min)，则按此曲线要达到90字/min的水平，所需的学习时间是()A．144h B．90hC．60h D．40h4．一个球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是()A．100＋200(1－2－9) B．100＋100(1－2－9)C．200(1－2－9) D．100(1－2－9)5．在某市2022年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)．已知参加本次考试的全市学生有9455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第()A．1500名 B．1700名C．4500名 D．8000名6．“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷五中“商功”中的问题．意思为“现有城(如图，等腰梯形的直棱柱体)，下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺(1丈＝10尺)”，则该问题中“城”的体积等于()A．1．8975×106立方尺 B．3．7950×106立方尺C．2．5300×105立方尺 D．1．8975×105立方尺7．(多选)若f(x)满足f′(x)＋f(x)＞0，则对任意正实数a，下列不等式恒成立的是()A．f(a)＜f(2a) B．f(a)e2a＞f(－a)C．f(a)＞f(0) D．f(a)＞eq\f(f0,ea)8．某市出租车的计价标准为1．2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．9．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，满足f′(x)＞3，且f(3)＝4，则不等式xf(x)＞3x2－5x的解集为________．10．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．11．在一次抽样调查中测得5组成对数据，其数值及散点图如下：x0．250．5124y1612521(1)根据散点图判断y＝a＋bx与y＝c＋k·x－1哪一个更适宜作为y关于x的经验回归方程类型；(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，试建立y与x的经验回归方程；(计算结果保留整数)(3)在(2)的条件下，设z＝y＋x且x∈[4，＋∞)，试求z的最小值．课时过关检测(七十)数学模型的构建与拟合【解析版】1．高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是()解析：Bv＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B．2．某区要从5名干部甲、乙、丙、丁、戊中随机选取2人，赴区属的某村进行驻村工作，则甲或乙被选中的概率是()A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(3,5) D．eq\f(7,10)解析：D从5名干部中随机选取2人，共有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)这10种等可能方案，其中符合条件的有7种方案，∴所求概率为eq\f(7,10)．故选D．3．已知函数t＝－144lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(N,100)))的图象可表示打字任务的“学习曲线”，其中t(h)表示达到打字水平N(字/min)所需的学习时间，N表示打字速度(字/min)，则按此曲线要达到90字/min的水平，所需的学习时间是()A．144h B．90hC．60h D．40h解析：A由N＝90可知，t＝－144lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(90,100)))＝144(h)．4．一个球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10次着地时，经过的路程是()A．100＋200(1－2－9) B．100＋100(1－2－9)C．200(1－2－9) D．100(1－2－9)解析：A由题意，第10次着地时，经过的路程是100＋2×(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200×eq\f(2－1×1－2－9,1－2－1)＝100＋200(1－2－9)，故选A．5．在某市2022年3月份的高三线上质量检测考试中，学生的数学成绩服从正态分布N(98,100)．已知参加本次考试的全市学生有9455人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第()A．1500名 B．1700名C．4500名 D．8000名解析：A因为学生的数学成绩X服从正态分布N(98,100)，则P(X>108)＝eq\f(1,2)[1－P(88≤X≤108)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－σ≤X≤μ＋σ)]≈eq\f(1,2)×(1－0．6827)＝0．15865，而0．15865×9455≈1500，所以该学生的数学成绩大约排在全市第1500名．故选A．6．“今有城，下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺．”这是我国古代数学名著《九章算术》卷五中“商功”中的问题．意思为“现有城(如图，等腰梯形的直棱柱体)，下底长4丈，上底长2丈，高5丈，纵长126丈5尺(1丈＝10尺)”，则该问题中“城”的体积等于()A．1．8975×106立方尺 B．3．7950×106立方尺C．2．5300×105立方尺 D．1．8975×105立方尺解析：AV＝eq\f(40＋20×50,2)×1265＝1897500＝1．8975×106(立方尺)，故选A．7．(多选)若f(x)满足f′(x)＋f(x)＞0，则对任意正实数a，下列不等式恒成立的是()A．f(a)＜f(2a) B．f(a)e2a＞f(－a)C．f(a)＞f(0) D．f(a)＞eq\f(f0,ea)解析：BD设h(x)＝exf(x)，则h′(x)＝ex[f′(x)＋f(x)]，因为f′(x)＋f(x)＞0，所以h′(x)＞0，h(x)在R上是增函数，因为a是正实数，所以a＜2a，所以eaf(a)＜e2af(2a)，即f(a)＜eaf(2a)，又ea＞1，故f(a)，f(2a)大小不确定，故A错误；因为－a＜a，所以e－af(－a)＜eaf(a)，即e2af(a)＞f(－a)，故B正确；因为a＞0，所以eaf(a)＞e0f(0)＝f(0)，即f(a)＞eq\f(f0,ea)，又ea＞1，所以f(a)，f(0)大小不确定，故C错误，D正确．故选B、D．8．某市出租车的计价标准为1．2元/km，起步价为10元，即最初的4km(不含4km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付车费________元．解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1．2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费．令a1＝11．2，表示4km处的车费，公差d＝1．2，那么当出租车行至14km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11．2＋(11－1)×1．2＝23．2(元)．答案：23．29．已知定义在(0，＋∞)上的函数f(x)，其导函数为f′(x)，满足f′(x)＞3，且f(3)＝4，则不等式xf(x)＞3x2－5x的解集为________．解析：构造函数g(x)＝f(x)－3x，x＞0，则g′(x)＝f′(x)－3＞0，故函数g(x)为(0，＋∞)上的增函数，则g(3)＝f(3)－9＝－5．当x＞0时，由xf(x)＞3x2－5x可得f(x)＞3x－5，即f(x)－3x＞－5，即g(x)＞g(3)，解得x＞3，所以不等式xf(x)＞3x2－5x的解集为(3，＋∞)．答案：(3，＋∞)10．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12nmile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10nmile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14nmile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．解：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°．根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos120°，解得x＝2．故AC＝28，BC＝20．根据正弦定理得eq\f(BC,sinα)＝eq\f(AC,sin120°)，解得sinα＝eq\f(20sin120°,28)＝eq\f(5\r(3),14)．所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为eq\f(5\r(3),14)．11．在一次抽样调查中测得5组成对数据，其数值及散点图如下：x0．250．5124y1612521(1)根据散点图判断y＝a＋bx与y＝c＋k·x－1哪一个更适宜作为y关于x的经验回归方程类型；(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，试建立y与x的经验回归方程；(计算结果保留整数)(3)在(2)的条件下，设z＝y＋x且x∈[4，＋∞)，试求z的最小值．解：(1)由题中散点图可以判断，y＝c＋k·x－1更适宜作为y关于x的经验回归方程类型．(2)令t＝x－1，则y＝c＋kt，构造新的成对数据，如下表：t4210．50．25y1612521易知y与t存在线性相关关系．计算得eq\o(t,\s\up6(－))＝1．55，eq\o(y,\s\up6(－))＝7．2，eq\o(k,\s