2.3.2抛物线的简单几何性质课件高二上学期数学北师大版选择性

3.2抛物线的简单几何性质第二章圆锥曲线北师大版

数学

选择性必修第一册基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升学以致用·随堂检测促达标目录索引

课程标准1.了解抛物线的简单几何性质.2.能运用抛物线的几何性质解决相关问题.3.掌握直线与抛物线的位置关系,并会用方程思想解决此类问题.基础落实·必备知识一遍过知识点

抛物线的简单几何性质

标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图象

范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R对称轴_________

_________

__________________

x轴

x轴

y轴

y轴

标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)焦点_________

__________________

_________

顶点_________

准线

_________

__________________

_________

离心率_________

开口方向向_____向_____向_____向_____原点(0,0)e=1右

左上下名师点睛1.抛物线没有渐近线,在画图时不要把抛物线画成双曲线一支的形状,因为双曲线的开口越来越开阔,而抛物线的开口越来越扁平.2.抛物线的顶点只有一个,抛物线的焦点总在对称轴上,抛物线的准线始终与对称轴垂直.思考辨析在同一坐标系下试画出抛物线y2=x,y2=2x和y2=3x的图象,你能分析影响抛物线y2=2px(p>0)开口大小的量是什么吗?提示

影响抛物线开口大小的量是参数p(p>0),p值越大,抛物线的开口越大,反之,开口越小.自主诊断1.[人教B版教材习题]已知抛物线y=4x2上的一点M的纵坐标为1,求点M到焦点的距离.2.[人教B版教材习题]求抛物线y2=8x的焦点到直线x=0的距离.重难探究·能力素养速提升探究点一已知抛物线的标准方程,研究抛物线的几何性质【例1】

若抛物线y2=4x上一点P(x0,y0)到点(5,0)的距离最小,则点P的横坐标x0为(

)A.1 B.2 C.3

D.4C规律方法

把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口:由抛物线标准方程看图象开口方向,关键是看准一次项是x还是y,一次项的系数是正还是负.(2)关系:顶点位于焦点与准线中间,准线垂直于对称轴.(3)定值:焦点到准线的距离为p;过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p;离心率恒等于1.变式训练1已知抛物线y2=8x,求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围.解

抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,[0,+∞).探究点二抛物线的几何性质的应用【例2】

(1)等腰直角三角形AOB内接于抛物线y2=2px(p>0),O为抛物线的顶点,OA⊥OB,则△AOB的面积是(

)A.8p2 B.4p2 C.2p2 D.p2B解析

因为抛物线的对称轴为x轴,内接△AOB为等腰直角三角形,AB是斜边,所以由抛物线的对称性知,直线AB与抛物线的对称轴垂直,从而直线OA与x轴的夹角为45°.(2)已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交于A,B两点,|AB|=2,求抛物线方程.解

由已知,抛物线的焦点可能在x轴正半轴上,也可能在负半轴上.故可设抛物线方程为y2=ax(a≠0).设抛物线与圆x2+y2=4的交点A(x1,y1),B(x2,y2).∵抛物线y2=ax(a≠0)与圆x2+y2=4都关于x轴对称,∴点A与点B也关于x轴∴所求抛物线方程是y2=3x或y2=-3x.规律方法

利用抛物线的性质可以解决的问题

变式训练2(1)[人教B版教材例题]已知抛物线的对称轴为x轴,顶点是坐标原点且开口向左,又抛物线经过点M(-4,2),求这个抛物线的标准方程.★(2)求顶点在原点,对称轴是坐标轴,焦点在直线x-2y+2=0上的抛物线的标准方程.

解

∵焦点在直线x-2y+2=0上,且抛物线的顶点在原点,对称轴是坐标轴,∴焦点的坐标为A(0,1)或B(-2,0),若抛物线的焦点是A(0,1),则此抛物线方程为x2=4y.若抛物线的焦点是B(-2,0),则此抛物线方程为y2=-8x.故所求的抛物线的标准方程为x2=4y或y2=-8x.探究点三抛物线的焦半径公式【例3】

已知抛物线的顶点在原点,焦点在y轴上,抛物线上一点M(m,-3)到焦点的距离为5,求m的值、抛物线的标准方程和准线方程.规律方法

1.设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),根据点M在抛物线上及条件|MF|=5,建立方程组求解.2.已知|MF|=5,可用焦半径公式求解.变式训练3抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=3|OF|,△MFO的面积为16,则抛物线的方程为(

)A.y2=6x

B.y2=8x C.y2=16x D.y2=20xC学以致用·随堂检测促达标123456789101112A级必备知识基础练1.[探究点二]若P为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点,F为抛物线的焦点,则以|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为(

)A.相交

B.相离

C.相切

D.不确定C131234567891011122.[探究点三]若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2,则点P到抛物线的焦点F的距离为(

)A.4 B.5 C.6 D.7A131234567891011123.[探究点二]已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+y2+3的最小值是(

)A.2 B.3 C.4 D.0B1312345678910111213B12345678910111213A12345678910111213123456789101112136.

[探究点二]抛物线y2=2x的焦点为F,则经过点F与点M(2,2)且与抛物线的准线相切的圆的个数是(

)A.1 B.2 C.0 D.无数个B123456789101112137.

[探究点二]抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线

相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=

.

6123456789101112B级关键能力提升练138.(多选题)点M(1,1)到抛物线y=ax2的准线的距离为2,则a的值可以为(

)AB123456789101112139.设抛物线的焦点到顶点的距离为3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(

)A.(6,+∞) B.[6,+∞)C.(3,+∞) D.[3,+∞)D1234567891011121310.已知A,B两点均在焦点为F的抛物线y2=2px(p>0)上,若|AF|+|BF|=4,线段AB的中点到直线x=的距离为1,则p的值为(

)A.1 B.1或3 C.2 D.2或6B1234567891011121311.设F为抛物线y2=2x的焦点,A,B,C为抛物线上三点,若F为△ABC的重心,则

的值为(

)A.1 B.2 C.3 D.4C1234567891011121312.某家用电暖气是由反射面、热馈源、防护罩及支架组成,为了更好地利用热能,反射面设计成抛物面(抛物线绕其对称轴旋转形成的曲面),热馈源安装在抛物线的焦点处,圆柱形防护罩的底面直径等于抛物面口径.如图是该电暖气的轴截面,防护罩的宽度AD等于热馈源F到口径AB的距离,已知口径AB长为40cm,防护罩宽为15cm,则顶点O到防护罩外端CD的距离为

cm.

3512345678910111213123456789101112