新高考数学一轮复习 导数专项重点难点突破专题11 利用导数证明不等式(原卷版)

专题11利用导数证明不等式考点一单变量不等式的证明1.待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证．2.若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．3.导数的综合应用题中，最常见就是ex和lnx与其他代数式结合的难题，对于这类问题，可以先对ex和lnx进行放缩，使问题简化，便于化简或判断导数的正负．常见的放缩公式如下：(1)ex≥1＋x，当且仅当x＝0时取等号；(2)ex≥ex，当且仅当x＝1时取等号；(3)当x≥0时，ex≥1＋x＋eq\f(1,2)x2,当且仅当x＝0时取等号；(4)当x≥0时，ex≥eq\f(e,2)x2＋1,当且仅当x＝0时取等号；(5)eq\f(x－1,x)≤lnx≤x－1≤x2－x，当且仅当x＝1时取等号；(6)当x≥1时，eq\f(2x－1,x＋1)≤lnx≤eq\f(x－1,\r(x))，当且仅当x＝1时取等号．考点二双变量不等式的证明破解含双参不等式的证明的关键一是转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式；二是巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果．考点三证明与数列有关的不等式(1)证明此类问题时常根据已知的函数不等式，用关于正整数n的不等式替代函数不等式中的自变量．通过多次求和达到证明的目的．此类问题一般至少有两问，已知的不等式常由第一问根据待证式的特征而得到．(2)已知函数式为指数不等式(或对数不等式)，而待证不等式为与对数有关的不等式(或与指数有关的不等式)，还要注意指、对数式的互化，如ex＞x＋1可化为ln(x＋1)＜x等．专项突破一单变量不等式的证明1．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的极值；(2)当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0．2．已知函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有2个零点，求a的取值范围；(2)证明：SKIPIF1<0.3．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)证明：SKIPIF1<0．4．已知函数SKIPIF1<0.（1）若函数SKIPIF1<0在定义域内为增函数，求实数SKIPIF1<0的取值范围；（2）若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.5．已知函数SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)证明：SKIPIF1<0.6．已知函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0有两个极值点，求实数a的取值范围；(2)当SKIPIF1<0时，证明：SKIPIF1<0.7．已知函数SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．(1)求实数SKIPIF1<0的值；(2)求证：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．8．已知函数SKIPIF1<0.(1)讨论函数SKIPIF1<0的单调性；(2)当SKIPIF1<0时，证明：SKIPIF1<0.9．已知函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)当SKIPIF1<0时，证明：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为自然对数的底数）．10．已知函数SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的单调区间；(2)证明：SKIPIF1<0.11．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)讨论函数SKIPIF1<0的单调性，并求函数SKIPIF1<0的极值；(2)证明：对任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0．12．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)讨论函数SKIPIF1<0的单调性；(2)当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0.13．已知函数SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)设SKIPIF1<0，讨论函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的单调性；(3)证明：对任意的SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0．14．已知函数SKIPIF1<0．(1)讨论函数SKIPIF1<0的单调性；(2)若SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．专项突破二双变量不等式的证明1．已知函数SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0）．(1)若SKIPIF1<0存在两个极值点，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的两个极值点，证明：SKIPIF1<0．2．已知函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上为单调函数，求实数a的取值范围；(2)记SKIPIF1<0的两个极值点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.3．设函数SKIPIF1<0(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的单调区间；(2)任意正实数SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，试判断SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的大小关系并证明4．记函数SKIPIF1<0，其导函数为SKIPIF1<0.(1)讨论SKIPIF1<0的极值点个数；(2)当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0的两个相异的实数根，证明：SKIPIF1<0.5．已知函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)若函数SKIPIF1<0有三个极值点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．6．已知函数SKIPIF1<0(1)当SKIPIF1<0时，若对任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0求m的最大值(2)若函数SKIPIF1<0有且只有两个不同的零点SKIPIF1<0求证SKIPIF1<07．已知函数SKIPIF1<0有两个零点．(1)求a的取值范围；(2)设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的两个零点，证明：SKIPIF1<0．8．已知函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的两个极值点，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.9．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的单调区间；(2)证明：SKIPIF1<0；(3)设a，b为正数，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．10．已知函数SKIPIF1<0．(1)讨论函数SKIPIF1<0的单调区间；(2)当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．11．已知函数SKIPIF1<0.(1)求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)设方程SKIPIF1<0的两个根分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0.12．已知实数SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求函数SKIPIF1<0的单调区间；(2)若函数SKIPIF1<0单调递增，求a的最大值；(3)设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的两个不同极值点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的最大零点．证明：SKIPIF1<0．注：SKIPIF1<0是自然对数的底数．13．已知函数SKIPIF1<0．(1)若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的图像相切，且切点的横坐标为1，求实数m和b的值；(2)若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上存在两个极值点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．14．已知函数SKIPIF1<0(1)求函数SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线的方程；(2)若SKIPIF1<0有两个极值点m，n，证明：SKIPIF1<0．专项突破三证明与数列有关的不等式1．已知关于SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0（1）讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<02．设函数SKIPIF1<0(1)求曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处的切线方程；(2)证明：当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.3．已知函数SKIPIF1<0．(1)若函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0处取得极值，求实数SKIPIF1<0的值，并求函数SKIPIF1<0的极值；(2)①若当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围；②证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．4．已知函数f(x)＝lnx﹣ax+1（a∈R）．(1)求函数f(x)在区间[SKIPIF1<0