新高考数学二轮复习圆锥曲线重难点提升专题9 利用函数思想求圆锥曲线中的最值与范围问题（原卷版）

专题9利用函数思想求圆锥曲线中的最值与范围问题一、考情分析与圆锥曲线有关的范围、最值问题,在高考中常以解答题形式考查,且难度较大,它能综合应用函数、三角、不等式等有关知识,因而备受命题者青睐.解题时要紧紧抓住圆锥曲线的定义与性质进行转化,充分展现数形结合、函数与方程、化归转化等数学思想在解题中的应用,其中把问题转化为函数求最值与值域是最常用的方法之一．二、解题秘籍(一)利用函数思想最值与范围问题求解方法与策略1.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系,从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式,从而求出参数的取值范围；(4)利用已知的不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围；(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数,求其值域,从而确定参数的取值范围．2.利用函数思想求圆锥曲线中的最值或范围,首先要把待求量用某个（些）量来表示,然后把待求量看作关于这个量的函数,再结合函数性质求最值与范围,其中利用二次函数配方求最值是最常用的方法,有时也可利用导数研究函数单调性求最值.【例1】（2023届四川省成都市高三上学期10月月考）已知点SKIPIF1<0是抛物线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0的公共焦点,椭圆上的点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的最大距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的两条切线,记切点分别为SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0面积的最大值.【解析】（1）抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,椭圆上的点SKIPIF1<0到点SKIPIF1<0的最大距离为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以椭圆方程为SKIPIF1<0.（2）抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,对该函数求导得SKIPIF1<0,设点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,同理可知,直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,由于点SKIPIF1<0为这两条直线的公共点,则SKIPIF1<0,所以点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的坐标满足方程SKIPIF1<0,所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,由韦达定理可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,由已知可得SKIPIF1<0,所以当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0.【例2】（2023届新高考高中毕业班“启航”适应性练习）在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线M：SKIPIF1<0．P,Q,R为M上相异的三点,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0负半轴交于点A,RQ,PQ分别与SKIPIF1<0正半轴交于点B,C,记点SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0；(2)若B为M的焦点,当SKIPIF1<0最大时,求SKIPIF1<0的值．【解析】（1）证明：因为SKIPIF1<0,所以直线OP和OQ斜率之积为－1,设PQ：SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0恒成立,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,记直线OP、OQ的斜率分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0：SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0恒成立,得SKIPIF1<0,同理设SKIPIF1<0：SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0；（2）因为B为M的焦点,所以SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,不妨设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,记SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,在SKIPIF1<0上单调递减,且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,所以当SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0最大,SKIPIF1<0最大．(二)利用距离公式把距离问题转化为二次函数求最值与距离或线段长度有关的最值与范围问题通常是把相关距离或线段长度利用距离公式表示成一个变量的函数,若被开放式为二次函数类型,可通过配方求最值与范围.【例3】（2023届湖北省腾云联盟高三上学期10月联考）已知椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0,且离心率为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)设过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,设坐标原点为SKIPIF1<0,线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的最大值.【解析】（1）SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0,其离心率为SKIPIF1<0．SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故椭圆SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0；（2）当直线SKIPIF1<0斜率不存在时,M与O重合,不合题意,当直线SKIPIF1<0斜率存在时,设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则有SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点在椭圆上,有SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,两式相减,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,化简得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0(三)把面积问题转化为二次函数最值问题该类问题求解的基本思路通常是把面积用另一个量（如点的横坐标、纵坐标,直线的斜率等）,把求面积最值与范围问题转化为求函数最值或值域,若函数式可转化为二次函数类型,可利用二次函数性质求最值.【例4】已知椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0,其右焦点为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的离心率；(2)若点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上,右顶点为SKIPIF1<0,且满足直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的斜率之积为SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0面积的最大值.【解析】（1）依题可得,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.所以离心率SKIPIF1<0.（2）易知直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的斜率同号,所以直线SKIPIF1<0不垂直于SKIPIF1<0轴,故可设SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0可得,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,化简可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0化简得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,所以直线SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,因为直线SKIPIF1<0不经过点SKIPIF1<0,所以直线SKIPIF1<0经过定点SKIPIF1<0.设定点SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时取等号,即SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0.(四)与斜率有关的最值与范围问题与斜率有关的最值与范围问题的思路一是设出动点.是利用斜率定义表示出斜率,然后利用函数知识求解,二是设出直线的点斜式或斜截式方程,利用根与系数之间的关系或题中条件整理关于斜率的等式,再利用函数思想求解.【例5】已知椭圆SKIPIF1<0,过点SKIPIF1<0作椭圆的两条切线,且两切线垂直.(1)求SKIPIF1<0；(2)已知点SKIPIF1<0,若存在过点SKIPIF1<0的直线与椭圆交于SKIPIF1<0,且以SKIPIF1<0为直径的圆过点SKIPIF1<0（SKIPIF1<0不与SKIPIF1<0重合）,求直线SKIPIF1<0斜率的取值范围.【解析】（1）由题可知,切线斜率存在,则设切线SKIPIF1<0,联立得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,相切得：SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0由两切线垂直得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2）由（1）得,椭圆方程为SKIPIF1<0由题可知,直线SKIPIF1<0的斜率存在,设SKIPIF1<0,联立得SKIPIF1<0设SKIPIF1<0,由韦达定理得：SKIPIF1<0由题意SKIPIF1<0为直径的圆过点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0①又SKIPIF1<0SKIPIF1<0代入①式得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）,所以SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0随SKIPIF1<0的增大而增大,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0即直线SKIPIF1<0斜率范围SKIPIF1<0(五)通过换元把问题转化为二次函数问题该类问题通常是所得结果比较复杂,通过换元把问题转化为二次函数求解.【例6】已知椭圆C：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0分别为椭圆C的左、右焦点,过SKIPIF1<0且与x轴垂直的直线与椭圆C交于点A,B,且SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l与椭圆C交于不同于右顶点P的M,N两点,且SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的最大值．【解析】（1）因为椭圆C的离心率为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0①．将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0②．由①②及SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故椭圆C的标准方程为SKIPIF1<0．（2）由题意知,直线l的斜率不为0,则不妨设直线l的方程为SKIPIF1<0．联立得SKIPIF1<0消去x得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,化简整理,得SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,将SKIPIF1<0,SKIPIF1<0代入上式,得SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）,所以直线l的方程为SKIPIF1<0,则直线l恒过点SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,易知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增,所以当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0取得最大值,为SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0．(六)把问题转化为函数问题后再借助导数求最值或范围该类问题通常是所得函数为分式函数或高次函数,又不具备使用均值不等式的条件,只能借助导数求最值或范围.【例7】（2023届云南省昆明市第一中学高三上学期第二次检测）已知椭圆SKIPIF1<0四个顶点的四边形为菱形,它的边长为SKIPIF1<0,面积为SKIPIF1<0,过椭圆左焦点SKIPIF1<0与椭圆C相交于M,N两点（M,N两点不在x轴上）,直线l的方程为：SKIPIF1<0,过点M作SKIPIF1<0垂直于直线l交于点E．(1)求椭圆C的标准方程；(2)点O为坐标原点,求SKIPIF1<0面积的最大值．【解析】（1）由题意可得：SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0椭圆C的标准方程为SKIPIF1<0（2）由（1）可得：SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0由题意可设直线SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0联立方程SKIPIF1<0,消去x可得：SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0∴直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0,则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0令SKIPIF1<0,则可得SKIPIF1<0即直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0面积为SKIPIF1<0令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时恒成立∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0(七)利用椭圆的参数方程把把问题转化为三角函数求最值与范围此类问题通常是把椭圆SKIPIF1<0上的动点设为SKIPIF1<0,再利用辅助角公式及弦函数的有界性或单调性求最值与范围.【例8】已知椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0．(1)求椭圆C的方程；(2)在椭圆C的第四象限的图象上有一个动点M,连接动点M与椭圆C的左顶点A与y的负半轴交于点E,连接动点M与椭圆的上顶点B,与x的正半轴交于点F,记四边形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的取值范围．【解析】（1）依题意SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,故C的方程为SKIPIF1<0．（2）依题意,SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,所以直线SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0．直线SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0,又易知SKIPIF1<0,所以四边形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．由题意可知SKIPIF1<0的直线方程为SKIPIF1<0,再设椭圆的参数方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0为参数,则动点M到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,化简得SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0．三、跟踪检测1.（2023届重庆市第八中学校高三上学期月考）已知双曲线E：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0,SKIPIF1<0）一个顶点为SKIPIF1<0,直线l过点SKIPIF1<0交双曲线右支于M,N两点,记SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面积分别为S,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.当l与x轴垂直时,SKIPIF1<0的值为SKIPIF1<0.(1)求双曲线E的标准方程；(2)若l交y轴于点P,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求证：SKIPIF1<0为定值；(3)在（2）的条件下,若SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,求实数m的取值范围.2．（2023届陕西省咸阳市武功县高三上学期质量检测）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上一动点,SKIPIF1<0的最大面积为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点,SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上两点,且SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的最大值.3．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0,其左焦点到点SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．(1)求椭圆的方程；(2)直线SKIPIF1<0与椭圆相交于SKIPIF1<0两点,求SKIPIF1<0的面积关于SKIPIF1<0的函数关系式,并求面积最大时直线SKIPIF1<0的方程．4．如图所示,SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点,离心率为SKIPIF1<0.(1)求椭圆的标准方程；(2)过SKIPIF1<0点作两条互相垂直的直线SKIPIF1<0,SKIPIF1<0与椭圆交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,求SKIPIF1<0面积的最大值.5．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0,椭圆上一动点SKIPIF1<0与左､右焦点构成的三角形面积最大值为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)设椭圆SKIPIF1<0的左､右顶点分别为SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点,记直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0,已知SKIPIF1<0.①求证：直线SKIPIF1<0恒过定点；②设SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的最大值.6．（2023届北京市第四中学高三上学期测试）已知中心在原点,焦点在SKIPIF1<0轴上的椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0,离心率为SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0为其右顶点.过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点,直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0分别交于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)求SKIPIF1<0的取值范围.7．（2022届上海市行知中学高三上学期考试）已知曲线SKIPIF1<0上一动点SKIPIF1<0到两定点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的距离之和为SKIPIF1<0,过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0的方程；(2)动弦SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0,求点SKIPIF1<0的轨迹方程；(3)求SKIPIF1<0的取值范围．8．（2023届河南省名校联盟高三上学期9月联考）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0,左､右焦点分别为SKIPIF1<0是椭圆上关于原点对称的两点,SKIPIF1<0.(1)求椭圆C的方程；(2)椭圆左顶点为A,上顶点为B,直线SKIPIF1<0且交椭圆于P,Q,求SKIPIF1<0的面积最大时,l的方程.9．已知一条动直线SKIPIF1<0,直线l过动直线的定点P,且直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点．(1)是否存在直线l满足下列条件：①△AOB的周长为12；②△AOB的面积为6．若存在,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由．(2)当SKIPIF1<0取得最小值时,求直线l的方程．10．如图,已知点SKIPIF1<0为抛物线SKIPIF1<0SKIPIF1<0的焦点．过点F的直线交抛物线于A,B两点,点A在第一象限,点C在抛物线上,使得SKIPIF1<0的重心G在x轴上,直线SKIPIF1<0交x轴于点Q,且Q在点F的右侧,记SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．(1)求p的值及抛物线的准线方程；(2)设A点纵坐标为SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0关于t的函数关系式；(3)求SKIPIF1<