新高考数学二轮复习圆锥曲线重难点提升专题3 圆锥曲线中的长度问题（原卷版）

专题3圆锥曲线中的长度问题一、考情分析圆锥曲线中的长度问题是直线与圆锥曲线中最基本的问题,一般出现在解答题第2问,常见的有焦半径、弦长、两点间距离、点到直线距离、三角形周长等,求解方法可以用两点间距离公式、弦长公式、点到直线距离公式、函数求最值等.二、解题秘籍(一)利用两点间距离公式求线段长度若直线与圆锥曲线的交点坐标已知或可求,可直线利用两点间距离公式求线段长度.【例1】（2022届山西省吕梁市高三上学期12月月考）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中,已知椭圆SKIPIF1<0的右准线为SKIPIF1<0（定义：椭圆C的右准线方程为SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0）.点P是右准线上的动点,过点P作椭圆C的两条切线,分别与y轴交于M,N两点.当P在x轴上时,SKIPIF1<0.（1）求椭圆C的方程；（2）求SKIPIF1<0的最小值.【解析】（1）由题意可知,当P点坐标为SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,不妨设点M在点N上方,则SKIPIF1<0,所以直线SKIPIF1<0与椭圆C相切,将直线SKIPIF1<0与椭圆方程联立,SKIPIF1<0消去y,整理得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,整理得SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）,所以SKIPIF1<0,即椭圆C的方程为SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0,切线方程为SKIPIF1<0,将切线方程与椭圆联立,SKIPIF1<0消去y,整理得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,整理得SKIPIF1<0,设切线SKIPIF1<0斜率为SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0斜率为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,将SKIPIF1<0,SKIPIF1<0代入上式,整理得SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时,上述等号成立,即SKIPIF1<0的最小值为4.(二)利用SKIPIF1<0求距离设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x2－x1|.其中求|x2－x1|通常使用根与系数的关系,即作如下变形：|x2－x1|＝SKIPIF1<0,【例2】(2022届陕西省安康市高三下学期联考)已知椭圆SKIPIF1<0长轴的顶点与双曲线SKIPIF1<0实轴的顶点相同,且SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的渐近线的距离为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0的倾斜角是直线SKIPIF1<0的倾斜角的SKIPIF1<0倍,且SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点,与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点,求SKIPIF1<0．【解析】（1）由题意可得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0,由题意可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,故椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）设直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0,所以,直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0,所以直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以,SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0．(三)利用SKIPIF1<0求距离设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y2－y1|.当消去x整理方程为关于y的一元二次方程常用此结论.其中求|y2－y1|时通常使用根与系数的关系,即作如下变形：|y2－y1|＝SKIPIF1<0.【例3】（2023届重庆市巴蜀中学校高三上学期月考）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0；上顶点为A,右顶点为SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切.(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)设与圆SKIPIF1<0相切的直线SKIPIF1<0与椭圆相交于SKIPIF1<0两点,SKIPIF1<0为弦SKIPIF1<0的中点,SKIPIF1<0为坐标原点.求SKIPIF1<0的取值范围.【解析】（1）由SKIPIF1<0知SKIPIF1<0,原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,故椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0时：SKIPIF1<0,或SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0；直线SKIPIF1<0斜率不存在时,SKIPIF1<0,或SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0；直线SKIPIF1<0斜率存在且不为0时：设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）,由直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,由韦达定理：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0,SKIPIF1<0时等号成立,SKIPIF1<0综上：SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.(四)利用点到直线距离公式求垂线段的长1.若已知定点P,点Q在动直线上,求SKIPIF1<0最小值,常利用点到直线距离公式；2.若点P在定直线上,点Q为曲线上,求SKIPIF1<0最小值,有时可转换为与定直线平行的切线的切点到定直线的距离.【例4】（2023届上海市华东师范大学第二附属中学高三上学期考试）设有椭圆方程SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0,SKIPIF1<0下端点为SKIPIF1<0,左､右焦点分别为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上.(1)若SKIPIF1<0中点在SKIPIF1<0轴上,求点SKIPIF1<0的坐标；(2)直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0经过右焦点SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0；(3)在椭圆SKIPIF1<0上存在一点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0距离为SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0变化时,求SKIPIF1<0的最小值.【解析】（1）因为左焦点SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,由题知SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,又因为SKIPIF1<0中点在SKIPIF1<0轴上,所以点SKIPIF1<0的纵坐标为1,代入SKIPIF1<0中的SKIPIF1<0,所以点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0.（2）如图,设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交点为SKIPIF1<0,因为直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0,所以直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0①,由题意知,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,整理可得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,又因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0舍去,SKIPIF1<0.（3）设直线SKIPIF1<0平移后与椭圆相切的直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,因为椭圆上存在点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0①,同时SKIPIF1<0,又因为SKIPIF1<0,所以①式右侧肯定成立,左侧可以整理为SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以当SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0有最大值,最大值为SKIPIF1<0.(五)利用函数思想求距离最值求圆锥曲线上的动点到一定点距离的最值,有时可设出动点坐标,利用距离公式把问题转化为函数求最值.【例5】已知椭圆SKIPIF1<0的长轴长为SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上.（1）求SKIPIF1<0的方程；（2）设SKIPIF1<0的上顶点为A,右顶点为B,直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行,且与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的右焦点,求SKIPIF1<0的最小值.【解析】（1）因为SKIPIF1<0的长轴长为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.又点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上,所以SKIPIF1<0,代入SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）由（1）可知,A,B的坐标分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以D为MN的中点,则SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0取得最小值,且最小值为SKIPIF1<0.(六)利用圆锥曲线定义求长度与圆锥曲线焦点弦或焦半径有关的长度计算可利用圆锥曲线定义求解.【例6】（2022届湖南省长沙市宁乡市高三下学期5月模拟）已知抛物线SKIPIF1<0SKIPIF1<0的焦点与椭圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0重合,椭圆SKIPIF1<0的长轴长为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点,交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点,请问是否存在实常数SKIPIF1<0,使SKIPIF1<0为定值？若存在,求出SKIPIF1<0的值；若不存在,说明理由.【解析】（1）因为抛物线SKIPIF1<0SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,故椭圆SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0；（2）设SKIPIF1<0､SKIPIF1<0､SKIPIF1<0､SKIPIF1<0,设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,与椭圆SKIPIF1<0的方程联立SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,设直线SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0,与抛物线G的方程联立SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,要使SKIPIF1<0为常数,则SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,故存在SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0．【例7】（2023届江苏省南京市高三上学期测试）已知点B是圆C:SKIPIF1<0上的任意一点,点F（SKIPIF1<0,0）,线段BF的垂直平分线交BC于点P.(1)求动点Р的轨迹E的方程;(2)设曲线E与x轴的两个交点分别为A1,A2,Q为直线x=4上的动点,且Q不在x轴上,QA1与E的另一个交点为M,QA2与E的另一个交点为N,证明:△FMN的周长为定值.【解析】（1）因为点P在BF垂直平分线上,所以有SKIPIF1<0,所以：SKIPIF1<0,即PF+PC为定值4SKIPIF1<0,所以轨迹E为椭圆,且SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以轨迹E的方程为：SKIPIF1<0.（2）由题知：SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以QA1方程为：SKIPIF1<0,QA2方程为：SKIPIF1<0,联立方程：SKIPIF1<0,可以得出M：SKIPIF1<0同理可以计算出点N坐标：SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0存在,即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0所以直线MN的方程为：SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0,所以直线过定点SKIPIF1<0,即过椭圆的右焦点SKIPIF1<0,所以△FMN的周长为4a=8.当SKIPIF1<0不存在,即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时,可以计算出SKIPIF1<0,周长也等于8.所以△FMN的周长为定值8.三、跟踪检测1．（2023届北京市高三上学期入学定位考试）已知椭圆C：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）的离心率为SKIPIF1<0,左右焦点分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.(1)求椭圆C的方程；(2)过点SKIPIF1<0作斜率为k的直线与椭圆C交于不同的A,B两点,过原点作AB的垂线,垂足为D.若点D恰好是SKIPIF1<0与A的中点,求线段AB的长度.2．（2023届福建省部分名校高三上学期9月联考）已知两点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,动点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴的投影为SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,记动点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程.(2)过点SKIPIF1<0的直线与曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴右侧相交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,线段SKIPIF1<0的垂直平分线与SKIPIF1<0轴相交于点SKIPIF1<0,试问SKIPIF1<0是否为定值？若是,求出该定值；若不是,请说明理由.3．（2023届四川省巴中市高三上学期考试）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右顶点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上,且直线SKIPIF1<0的斜率与直线SKIPIF1<0的斜率之积为SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)若圆SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点,求SKIPIF1<0的最大值及此时直线SKIPIF1<0的斜率．4．（2023届安徽省部分校高三上学期摸底考）已知SKIPIF1<0为坐标原点,椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0,记线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0．(1)若直线SKIPIF1<0的斜率为3,求直线SKIPIF1<0的斜率;(2)若四边形SKIPIF1<0为平行四边形,求SKIPIF1<0的取值范围．5.（2023届辽宁省朝阳市高三上学期9月月考）已知双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上.(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程；(2)点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上,直线SKIPIF1<0,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴分别相交于SKIPIF1<0两点,点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上,若坐标原点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点,SKIPIF1<0,证明：存在定点SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0为定值.6.（2023届北京市房山区高三上学期考试）已知椭圆SKIPIF1<0的长轴的两个端点分别为SKIPIF1<0离心率为SKIPIF1<0．(1)求椭圆C的标准方程；(2)M为椭圆C上除A,B外任意一点,直线SKIPIF1<0交直线SKIPIF1<0于点N,点O为坐标原点,过点O且与直线SKIPIF1<0垂直的直线记为l,直线SKIPIF1<0交y轴于点P,交直线l于点Q,求证：SKIPIF1<0为定值．7．（2022届浙江省“数海漫游”高三上学期模拟）已知斜率为k的直线l与抛物线y2=4x交于A､B两点,y轴上的点P使得△ABP是等边三角形.（1）若k>0,证明：点P在y轴正半轴上；（2）当SKIPIF1<0取到最大值时,求实数k的值.8．（2022届上海市建平中学高三上学期考试）设实数SKIPIF1<0,椭圆D：SKIPIF1<0的右焦点为F,过F且斜率为k的直线交D于P、Q两点,若线段PQ的中为N,点O是坐标原点,直线ON交直线SKIPIF1<0于点M．（1）若点P的横坐标为1,求点Q的横坐标；（2）求证：SKIPIF1<0；（3）求SKIPIF1<0的最大值．9．（2022届江苏省南京高三上学期12月联考）已知椭圆C：SKIPIF1<00)的离心率为SKIPIF1<0,右顶点为A,过点B(a,1)的直线l与椭圆C交于不同的两点M,N,其中点M在第一象限当点M,N关于原点对称时,点M的横坐标为SKIPIF1<0．（1）求椭圆C的方程；（2）过点N作x轴的垂线,与直线AM交于点P,Q为线段NP的中点,求直线AQ的斜率,并求线段AQ长度的最大值．10．（2022届广东省华南师范大学附属中学高三上学期综合测试）已知椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0,离心率为SKIPIF1<0.（1）求椭圆SKIPIF1<0的方程；（2）直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0两点,求SKIPIF1<0的最大值.11．（2022届百校联盟高三上学期11月质监）在平面直角坐标系SKIPIF1<0中,动点SKIPIF1<0,满足SKIPIF1<0,记点SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0．（1）请说明SKIPIF1<0是什么曲线,并写出它的方程；（2）设不过原点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于不同的两点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于两点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,请判断SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系,并证明你的结论．12．（2022届河南省县级示范性高中高三上学期11月尖子生对抗赛）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）与过原点的直线相交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,上顶点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0表示直线的概率）．（1）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（2）若与直线SKIPIF1<0平行且过椭圆SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0