新高考数学二轮复习圆锥曲线重难点提升专题2 直线与圆锥曲线的位置关系（原卷版）

专题2直线与圆锥曲线的位置关系一、考情分析直线与圆锥曲线的位置关系的常见题型,一是根据直线与圆锥曲线有两个交点,研究长度、面积、定点、定值等问题,二是判断直线与圆锥曲线的公共点个数,三是直线与圆锥曲线相切问题,其中第一类问题是高考考查频率最高的问题.二、解题秘籍(一)根据直线与圆锥曲线有两个交点研究圆锥曲线的性质1.把直线l：SKIPIF1<0与椭圆C：SKIPIF1<0联立,当SKIPIF1<0时直线l与椭圆C有2个交点；2.直线l：SKIPIF1<0与双曲线C：SKIPIF1<0联立得SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时直线l与双曲线C有2个交点；当SKIPIF1<0时直线l与双曲线C的左右支各有一个交点；当SKIPIF1<0时直线l与双曲线C的右支有2个交点；3.直线l：SKIPIF1<0与抛物线C：SKIPIF1<0联立,得SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0时直线l与抛物线C有2个交点.【例1】（2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0,上顶点为D,斜率为k的直线l与椭圆C交于不同的两点A,B,M为线段AB的中点,当点M的坐标为SKIPIF1<0时,直线l恰好经过D点.(1)求椭圆C的方程：(2)当l不过点D时,若直线DM与直线l的斜率互为相反数,求k的取值范围.【解析】（1）由题意知,离心率SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两式相减得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0；所以直线为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,椭圆方程为SKIPIF1<0；（2）设直线为SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0因为l不过D点,则SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0则SKIPIF1<0,化简得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.【例2】（2023届广东省部分学校高三上学期联考）设直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的两条渐近线分别交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,且三角形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)已知直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴不垂直且斜率不为0,SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于两个不同的点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的右焦点,若SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0三点共线,证明：直线SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0轴上的一个定点.【解析】（1）双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0,不妨设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0因为三角形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.（2）双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0：SKIPIF1<0,所以右焦点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0,若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0,故可设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,联立SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,化简得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,因为直线SKIPIF1<0的斜率存在,所以直线SKIPIF1<0的斜率也存在,因为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0三点共线,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,化简得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0轴上的定点SKIPIF1<0.【例3】（2023届福建省漳州市高三上学期第一次教学质量检测）已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有且只有一个公共点,求直线SKIPIF1<0的方程；(2)若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0两点,点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上,且SKIPIF1<0,求点SKIPIF1<0的轨迹方程.【解析】（1）当直线SKIPIF1<0斜率不存在时,其方程为SKIPIF1<0,符合题意；当直线SKIPIF1<0斜率存在时,设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时,直线SKIPIF1<0符合题意；当SKIPIF1<0时,令SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,∴直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.综上,直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,或SKIPIF1<0,或SKIPIF1<0.（2）设SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,不妨令SKIPIF1<0,∵直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0有两个交点,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0,∴点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0）.(二)根据直线与圆锥曲线有一个公共点研究圆锥曲线的性质1.直线与椭圆有一个公共点,则直线与椭圆相切,可把直线方程与椭圆方程联立,整理成关于x或y的一元二次方程,由SKIPIF1<0求解；2.直线l：SKIPIF1<0与双曲线C：SKIPIF1<0联立得SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时直线l与双曲线C有1个交点,即直线与双曲线相切或与渐近线平行时与双曲线有1个公共点；3.当直线l：SKIPIF1<0与抛物线C：SKIPIF1<0联立,得SKIPIF1<0,当SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时直线l与抛物线C有1个交点,即直线与抛物线相切或与抛物线准线垂直时直线与抛物线有1个公共点.【例4】（2023届湖北省荆荆宜三校高三上学期9月联考）设椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点,点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上,点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0外,且SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)若SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上横坐标大于1的一点,过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆有且仅有一个交点,并与直线SKIPIF1<0,SKIPIF1<0交于M,N两点,SKIPIF1<0为坐标原点,记SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的最小值．【解析】（1）因为点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上,所以SKIPIF1<0,①因为点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0外,且SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,②由①②解得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,故椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）设点SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,设直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0,由椭圆性质以及点SKIPIF1<0的横坐标大于1可知,SKIPIF1<0,将直线SKIPIF1<0代入方程SKIPIF1<0并化简可得,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,因为直线SKIPIF1<0与椭圆有且仅有一个交点,所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0．直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0；直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0：SKIPIF1<0,联立方程SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,同理得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时,不等式取等号,故当SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0．【例5】已知双曲线C：SKIPIF1<0的焦距为4,且过点SKIPIF1<0.(1)求双曲线方程；(2)若直线SKIPIF1<0与双曲线C有且只有一个公共点,求实数SKIPIF1<0的值.【解析】（1）由题意可知双曲线的焦点为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0,根据定义有SKIPIF1<0．SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．SKIPIF1<0所求双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）因为双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,所以渐近线方程为SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0,消去SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时,此时直线SKIPIF1<0与双曲线的渐近线平行,此时直线与双曲线相交于一点,符合题意；②当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时,由SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,此时直线SKIPIF1<0双曲线相切于一个公共点,符合题意．综上所述：符合题意的SKIPIF1<0的所有取值为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0．【例6】已知顶点在原点,焦点在SKIPIF1<0轴上的抛物线过点SKIPIF1<0．(1)求抛物线的标准方程；(2)过点P作直线l与抛物线有且只有一个公共点,求直线l的方程；(3)过点SKIPIF1<0作直线交抛物线于A、B两点,使得Q恰好平分线段AB,求直线AB的方程．【解析】（1）因为顶点在原点,焦点在y轴上的抛物线过点SKIPIF1<0,所以抛物线的焦点在y轴正半轴,设其方程为SKIPIF1<0,将点SKIPIF1<0代入可得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以抛物线的标准方程为SKIPIF1<0,（2）当直线斜率不存在时,过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0有一个交点；当直线斜率存在时,设直线斜率为SKIPIF1<0,直线方程为SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,直线与抛物线只有一个交点,所以SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0,所以直线方程为SKIPIF1<0综上,过点SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0有且只有一个交点的直线方程为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0；（3）设点SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0斜率为SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在抛物线上,所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以直线方程为SKIPIF1<0经检验,直线SKIPIF1<0符合题意.(三)判断直线与圆锥曲线公共点个数判断直线l：Ax＋By＋C＝0与圆锥曲线C：F(x,y)＝0公共点个数时,通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x,y)＝0,消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．消去y后得ax2＋bx＋c＝0.(1)当a≠0时,设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C有2个公共点；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C有1个公共点；Δ<0⇔直线与圆锥曲线C没有公共点.(2)当a＝0,b≠0时,即得到一个一次方程,则直线l与圆锥曲线C相交,且只有一个交点,此时,若C为双曲线,则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线,则直线l与抛物线的对称轴重合或平行．【例7】（2022届浙江省温州市乐清市高三下学期5月仿真）已知SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点,点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0的同侧,且点SKIPIF1<0到直线l的距离分别为SKIPIF1<0．(1)若椭圆C的方程为SKIPIF1<0,直线l的方程为SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的值,并判断直线与椭圆C的公共点的个数；(2)若直线l与椭圆C有两个公共点,试求SKIPIF1<0所需要满足的条件；【解析】（1）椭圆C的方程为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0.又直线SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.联立SKIPIF1<0,消去y可得：SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0,所以直线SKIPIF1<0与椭圆C有1个公共点.（2）联立SKIPIF1<0,消去y可得：SKIPIF1<0.因为直线l与椭圆C有两个公共点,所以SKIPIF1<0,整理化简得：SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.所以直线l与椭圆C有两个公共点,则SKIPIF1<0.【例8】如图,F是抛物线SKIPIF1<0的焦点,Q是准线与x轴的交点,斜率为k的直线l经过点Q．(1)当k取不同数值时,求直线l与抛物线公共点的个数；(2)若直线l与抛物线相交于A、B两点,求证：SKIPIF1<0是定值．(3)在x轴上是否存在这样的定点M,对任意的过点Q的直线l与抛物线相交于A、B两点,均能使得SKIPIF1<0为定值,若有,找出满足条件的点M;若没有,请说明理由．【解析】（1）抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0,代入SKIPIF1<0并化简得SKIPIF1<0①．当SKIPIF1<0,直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0,与SKIPIF1<0的交点为原点SKIPIF1<0,直线l与抛物线有SKIPIF1<0个公共点；当SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,若SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,直线l与抛物线有SKIPIF1<0个公共点；若SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时,直线l与抛物线有SKIPIF1<0个公共点；若SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0,直线l与抛物线没有公共点．（2）由于直线SKIPIF1<0与抛物线有两个交点,由（1）得SKIPIF1<0.设交点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0,由①得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0为定值0．（3）若存在满足条件的点SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0为定值．则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0仅当SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0．三、跟踪检测1．已知,分别是椭圆的左、右焦点,点,在直线的同侧,且点,到直线l的距离分别为,.(1)若椭圆C的方程为,直线l的方程为,求的值,并判断直线l与椭圆C的公共点的个数；(2)若直线l与椭圆C有两个公共点,试求所需要满足的条件；(3)结合（1）和（2）,试写出一个能判断直线l与椭圆C有公共点的充要条件（不需要证明）.2．已知抛物线的方程为,直线l绕点旋转,讨论直线l与抛物线的公共点个数,并回答下列问题：（1）画出图形表示直线l与抛物线的各种位置关系,从图中你发现直线l与抛物线只有一个公共点时是什么情况？（2）与直线l的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？3．（2023届四川、云南部分学校高三上学期9月联考）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0,其左右焦点分别为SKIPIF1<0,点SKIPIF1<0是椭圆上任意一点,且满足SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)过椭圆外一点SKIPIF1<0作椭圆的两条切线SKIPIF1<0,满足SKIPIF1<0,求动点SKIPIF1<0的轨迹方程.4．（2023届甘肃省金昌市永昌县高三上学期模拟）已知椭圆SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一动点,SKIPIF1<0的最大面积为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点,SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上两点,且SKIPIF1<0,求四边形SKIPIF1<0面积的最大值.5．设SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的左､右顶点,直线SKIPIF1<0过右焦点SKIPIF1<0且与双曲线SKIPIF1<0的右支交于SKIPIF1<0两点,当直线SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴时,SKIPIF1<0为等腰直角三角形.(1)求双曲线SKIPIF1<0的离心率；(2)已知SKIPIF1<0,若直线SKIPIF1<0分别交直线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点,当直线SKIPIF1<0的倾斜角变化时,以SKIPIF1<0为直径的圆是否过定点,若过定点求出定点的坐标；若不过定点,请说明理由.6．（2023届安徽省部分校高三上学期开学摸底）已知SKIPIF1<0为坐标原点,椭圆SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0,记线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0．(1)若直线SKIPIF1<0的斜率为3,求直线SKIPIF1<0的斜率;(2)若四边形SKIPIF1<0为平行四边形,求SKIPIF1<0的取值范围．7．（2023届浙江省A9协作体高三上学期联考）已知直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两个不同的点.(1)求SKIPIF1<0的取值范围；(2)若SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的左顶点,点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0的左支上,点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0的右支上,且直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF