材料力学之材料疲劳分析算法：断裂力学模型：疲劳分析中的裂纹扩展路径.Tex.header

材料力学之材料疲劳分析算法：断裂力学模型：疲劳分析中的裂纹扩展路径1材料力学之材料疲劳分析算法：断裂力学模型1.1绪论1.1.1疲劳分析的重要性在工程设计与材料科学领域，疲劳分析是评估材料在反复载荷作用下性能的关键步骤。材料在循环应力或应变的作用下，即使应力水平低于其静态强度，也可能发生破坏，这种现象称为疲劳。疲劳分析的重要性在于它能够预测材料或结构在实际使用条件下的寿命，确保设计的安全性和可靠性。例如，在航空航天、汽车制造、桥梁建设等行业，对材料的疲劳性能进行准确分析，可以避免灾难性的结构失效，减少维护成本，延长使用寿命。1.1.2断裂力学模型简介断裂力学是研究材料裂纹扩展行为的学科，它为疲劳分析提供了理论基础。断裂力学模型主要关注裂纹尖端的应力强度因子（StressIntensityFactor,SIF）和裂纹扩展速率之间的关系。其中，Paris公式是描述裂纹扩展速率的经典模型，它表明裂纹扩展速率与应力强度因子的幅度成正比，与材料的断裂韧性成反比。通过断裂力学模型，工程师可以预测裂纹的扩展路径和速度，从而评估材料的疲劳寿命。1.2疲劳分析中的裂纹扩展路径1.2.1理论基础在疲劳分析中，裂纹扩展路径的预测是基于断裂力学原理的。当材料中存在初始裂纹时，随着循环载荷的施加，裂纹会沿着最有利的路径扩展。裂纹扩展路径的确定受到多种因素的影响，包括裂纹的初始位置、形状、材料的各向异性、载荷的方向和大小等。为了准确预测裂纹扩展路径，需要综合考虑这些因素，并通过数值模拟方法进行分析。1.2.2分析方法1.2.2.1应力强度因子（SIF）分析应力强度因子是断裂力学中的核心参数，用于量化裂纹尖端的应力集中程度。在疲劳分析中，SIF的计算是预测裂纹扩展路径的基础。对于不同形状的裂纹和载荷条件，可以使用解析解或有限元方法（FEM）来计算SIF。1.2.2.2裂纹扩展准则裂纹扩展准则描述了裂纹扩展的条件和路径。最常用的准则之一是最大切应力理论，它认为裂纹沿着切应力最大的方向扩展。此外，J积分和CTOD（CrackTipOpeningDisplacement）等参数也被用于预测裂纹扩展路径。1.2.2.3数值模拟数值模拟是预测裂纹扩展路径的常用工具。通过建立材料的有限元模型，可以模拟裂纹的扩展过程，计算裂纹尖端的SIF和应力分布，进而预测裂纹的扩展路径。常用的数值模拟软件包括ANSYS、ABAQUS等。1.2.3示例：使用Python进行SIF计算下面是一个使用Python和SciPy库计算简单裂纹模型中应力强度因子的示例。假设我们有一个含有中心裂纹的无限大平板，裂纹长度为a，平板厚度为b，受到均匀拉伸应力sigma的作用。importnumpyasnp

fromscipy.specialimportgamma

#定义材料参数和裂纹尺寸

sigma=100#应力，单位：MPa

a=0.01#裂纹长度，单位：m

b=0.1#平板厚度，单位：m

#计算应力强度因子

defstress_intensity_factor(sigma,a,b):

"""

计算中心裂纹无限大平板的应力强度因子。

参数：

sigma:应力，单位：MPa

a:裂纹长度，单位：m

b:平板厚度，单位：m

返回：

K_I:应力强度因子，单位：MPa*sqrt(m)

"""

K_I=sigma*np.sqrt(np.pi*a)*(1-(a/b)**2)**(-1/4)

returnK_I

#输出应力强度因子

K_I=stress_intensity_factor(sigma,a,b)

print(f"应力强度因子K_I={K_I:.2f}MPa*sqrt(m)")在这个示例中，我们首先导入了必要的库，然后定义了材料参数和裂纹尺寸。stress_intensity_factor函数用于计算应力强度因子，它基于中心裂纹无限大平板的解析解。最后，我们输出了计算得到的应力强度因子值。通过上述示例，我们可以看到，即使在简单的裂纹模型中，应力强度因子的计算也涉及到复杂的数学公式。在实际的疲劳分析中，裂纹的形状和载荷条件可能更加复杂，因此通常需要使用数值模拟软件进行更精确的分析。1.3结论疲劳分析中的裂纹扩展路径预测是材料力学和断裂力学研究中的重要课题。通过理论分析和数值模拟，工程师可以评估材料在循环载荷下的性能，预测裂纹的扩展行为，从而优化设计，提高结构的安全性和可靠性。随着计算技术的发展，断裂力学模型在疲劳分析中的应用将更加广泛和深入。2材料疲劳的基本概念2.1疲劳现象材料疲劳是指材料在反复加载和卸载的循环应力作用下，即使应力水平低于材料的静载强度，也会逐渐产生损伤，最终导致材料断裂的现象。这种损伤积累的过程是微观裂纹的形成、扩展和连接，直至形成宏观裂纹，最终导致材料失效。2.2疲劳寿命疲劳寿命是指材料在特定的应力水平和循环次数下，从开始加载到发生断裂的总循环次数。疲劳寿命的预测是材料疲劳分析中的关键问题，它直接影响到结构设计的安全性和经济性。2.3S-N曲线S-N曲线是描述材料疲劳特性的基本工具，它表示材料在不同应力水平下的疲劳寿命。S代表应力，N代表循环次数。通过S-N曲线，可以直观地了解材料在不同应力水平下的疲劳性能。3裂纹扩展理论基础3.1应力强度因子应力强度因子（StressIntensityFactor,K）是断裂力学中描述裂纹尖端应力场强度的参数。它与裂纹的大小、形状、位置以及加载条件有关。在疲劳分析中，应力强度因子是评估裂纹扩展速率的重要指标。3.2裂纹扩展速率裂纹扩展速率是指在疲劳载荷作用下，裂纹每经历一个载荷循环所增长的长度。裂纹扩展速率与应力强度因子、材料的断裂韧性以及循环应力的幅值和平均应力有关。在实际应用中，通常使用Paris公式来描述裂纹扩展速率与应力强度因子的关系。3.3Paris公式Paris公式是描述裂纹扩展速率与应力强度因子幅度关系的经验公式，形式如下：da/dN=C*(ΔK)^m其中，da/d3.3.1示例代码假设我们有如下数据：-材料常数C=1e-12-材料常数m=3.0-应力强度因子幅度ΔK我们可以使用Python来计算裂纹扩展速率：#定义材料常数

C=1e-12

m=3.0

#应力强度因子幅度

delta_K=100#MPa√m

#使用Paris公式计算裂纹扩展速率

da_dN=C*(delta_K**m)

print(f"裂纹扩展速率:{da_dN}m/cycle")这段代码将计算出裂纹在每经历一个载荷循环时的扩展长度，单位为米/循环。3.4疲劳裂纹扩展路径疲劳裂纹扩展路径是指裂纹在疲劳载荷作用下，随时间或循环次数的增长而扩展的方向和路径。裂纹扩展路径受到裂纹的初始位置、材料的各向异性、应力状态以及裂纹尖端的塑性区大小等因素的影响。在复杂应力状态下，裂纹可能沿多个方向扩展，形成复杂的裂纹网络。3.5裂纹扩展路径的预测裂纹扩展路径的预测通常基于断裂力学理论，结合材料的断裂韧性、裂纹几何形状和应力分布等因素进行。在实际工程应用中，裂纹扩展路径的预测对于评估结构的疲劳寿命和安全性至关重要。3.5.1示例代码预测裂纹扩展路径需要考虑裂纹尖端的应力强度因子和裂纹扩展方向。假设我们有一个简单的裂纹模型，裂纹尖端的应力强度因子可以通过以下公式计算：K=K0+Y*σ*√(π*a)其中，K0是裂纹尖端的初始应力强度因子，Y是几何因子，σ是应力，a是裂纹长度。我们可以使用Python来计算裂纹尖端的应力强度因子，并根据Paris公式预测裂纹的扩展路径：importmath

#定义材料和裂纹参数

K0=100#初始应力强度因子，MPa√m

Y=1.0#几何因子

sigma=100#应力，MPa

a=0.01#裂纹长度，m

#定义材料常数

C=1e-12

m=3.0

#计算应力强度因子

K=K0+Y*sigma*math.sqrt(math.pi*a)

#使用Paris公式计算裂纹扩展速率

da_dN=C*((K-K0)**m)

#假设裂纹每经历1000个循环，计算裂纹长度的变化

N_cycles=1000

a_new=a+da_dN*N_cycles

print(f"裂纹长度变化:{a_new-a}m")这段代码将计算出裂纹在经历1000个载荷循环后，裂纹长度的变化量。通过不断迭代这个过程，可以预测裂纹的扩展路径。3.6结论材料疲劳分析中的裂纹扩展路径预测是基于断裂力学理论，通过计算应力强度因子和裂纹扩展速率，结合材料的断裂韧性、裂纹几何形状和应力分布等因素，来评估结构的疲劳寿命和安全性。Python等编程语言提供了强大的计算工具，可以有效地进行裂纹扩展路径的预测分析。4材料力学之材料疲劳分析算法：断裂力学模型4.1断裂力学模型4.1.1Paris公式详解在材料疲劳分析中，Paris公式是描述裂纹扩展速率与应力强度因子幅度之间关系的重要工具。公式的一般形式如下：d其中，a是裂纹长度，N是应力循环次数，ΔK是应力强度因子幅度，C和m4.1.1.1示例：Paris公式的应用假设我们有以下材料参数：-C=1.2×10−11m/(cycle)-m我们可以使用Python来计算裂纹扩展速率：#定义材料常数

C=1.2e-11#m/cycle

m=3.5#无量纲

#应力强度因子幅度

Delta_K=50#MPa*sqrt(m)

#使用Paris公式计算裂纹扩展速率

da_dN=C*(Delta_K**m)

#输出结果

print(f"裂纹扩展速率:{da_dN:.2e}m/cycle")这段代码首先定义了材料常数C和m，以及应力强度因子幅度ΔK4.1.2裂纹扩展路径的数学描述裂纹在材料中的扩展路径受到多种因素的影响，包括应力状态、裂纹几何形状、材料性质等。数学上，裂纹扩展路径可以通过求解裂纹尖端的应力强度因子来描述，这通常涉及到复杂的弹性力学方程。4.1.2.1示例：使用有限元方法模拟裂纹扩展路径在实际应用中，使用有限元方法(FEM)可以更准确地模拟裂纹扩展路径。以下是一个使用Python和FEniCS库的简单示例，展示如何设置一个基本的裂纹扩展问题：fromfenicsimport*

#创建网格和函数空间

mesh=UnitSquareMesh(32,32)

V=FunctionSpace(mesh,'P',1)

#定义边界条件

defboundary(x,on_boundary):

returnon_boundary

bc=DirichletBC(V,Constant(0),boundary)

#定义试函数和测试函数

u=TrialFunction(V)

v=TestFunction(V)

#定义材料参数和外力

E=1e5#弹性模量

nu=0.3#泊松比

f=Constant(1)#外力

#定义应力强度因子

defstress_intensity_factor(u):

#这里简化了计算，实际应用中需要更复杂的公式

returnsqrt(inner(grad(u),grad(u)))

#定义变分形式

a=dot(grad(u),grad(v))*dx

L=f*v*dx

#求解

u=Function(V)

solve(a==L,u,bc)

#输出应力强度因子

SIF=stress_intensity_factor(u)

print(f"应力强度因子:{SIF:.2e}")请注意，上述代码仅用于演示目的，实际的裂纹扩展路径模拟需要更复杂的边界条件、材料模型和求解策略。在FEniCS中，我们首先创建了一个网格和函数空间，然后定义了边界条件、试函数和测试函数。接着，我们定义了材料参数和外力，并使用变分形式求解了位移场。最后，我们计算了应力强度因子，这在实际应用中将用于预测裂纹的扩展路径。通过这些示例，我们可以看到，材料疲劳分析中的断裂力学模型，如Paris公式和裂纹扩展路径的数学描述，是通过理论公式和数值模拟相结合的方式进行的。这不仅需要对材料力学有深入的理解，还需要掌握一定的数值计算和编程技能。5材料力学之材料疲劳分析算法：断裂力学模型5.1裂纹扩展路径分析5.1.1裂纹扩展路径的影响因素在材料疲劳分析中，裂纹扩展路径的确定是关键步骤之一。裂纹的扩展不仅受到材料性质的影响，还受到应力状态、裂纹几何形状、环境条件等多种因素的制约。以下是一些主要的影响因素：材料性质：包括材料的强度、韧性、硬度等，这些性质决定了裂纹扩展的难易程度。应力状态：裂纹尖端的应力强度因子是决定裂纹是否扩展的重要参数。在不同的应力状态下，裂纹扩展的路径和速率会有所不同。裂纹几何形状：裂纹的大小、形状和位置都会影响其扩展路径。例如，裂纹的起始位置靠近材料的表面或内部，其扩展路径会显著不同。环境条件：温度、湿度、腐蚀介质等环境因素也会影响裂纹的扩展。在高温或腐蚀性环境中，裂纹扩展可能加速。5.1.2裂纹扩展路径的计算方法裂纹扩展路径的计算方法通常基于断裂力学理论，其中最常用的是基于应力强度因子（SIF）的方法。应力强度因子是描述裂纹尖端应力集中程度的参数，其值的大小直接影响裂纹的扩展。计算裂纹扩展路径时，需要考虑裂纹尖端的应力强度因子，并结合材料的断裂韧性，预测裂纹的扩展方向和速率。5.1.2.1基于Paris公式的方法Paris公式是描述裂纹扩展速率与应力强度因子幅度关系的经验公式，适用于疲劳裂纹的扩展分析。公式如下：d其中，a是裂纹长度，N是应力循环次数，ΔK是应力强度因子幅度，C和m5.1.2.2示例代码下面是一个使用Python进行疲劳裂纹扩展分析的示例代码，该代码基于Paris公式计算裂纹扩展路径。importnumpyasnp

defparis_law(C,m,delta_K,N):

"""

使用Paris公式计算裂纹扩展量。

参数:

C:float

材料常数C。

m:float

材料常数m。

delta_K:float

应力强度因子幅度。

N:int

应力循环次数。

返回:

da:float

裂纹扩展量。

"""

da=C*(delta_K**m)*N

returnda

#材料常数

C=1e-12

m=3.0

#应力强度因子幅度

delta_K=100.0

#应力循环次数

N=1000

#计算裂纹扩展量

da=paris_law(C,m,delta_K,N)

print(f"裂纹扩展量:{da}m")5.1.2.3解释在上述代码中，我们定义了一个函数paris_law，该函数接受材料常数C和m、应力强度因子幅度ΔK和应力循环次数N作为输入，返回裂纹扩展量d5.1.2.4注意事项实际应用中，材料常数C和m需要通过实验数据确定。应力强度因子幅度ΔK裂纹扩展分析应结合材料的断裂韧性，以确保分析的准确性。通过上述方法和示例代码，可以对材料疲劳分析中的裂纹扩展路径进行初步的计算和预测。在实际工程应用中，还需要结合更复杂的断裂力学模型和实验数据，进行更精确的分析。6材料力学之材料疲劳分析算法：断裂力学模型6.1基于断裂力学的疲劳寿命预测在材料疲劳分析中，断裂力学模型是预测材料疲劳寿命的关键工具。这一模型基于裂纹扩展理论，通过分析裂纹在循环载荷作用下的扩展行为，来预测材料在特定载荷条件下的疲劳寿命。断裂力学模型的核心是应力强度因子K和裂纹扩展速率da6.1.1应力强度因子应力强度因子K是描述裂纹尖端应力场强度的参数，其计算公式为：K其中，σ是作用在材料上的应力，a是裂纹长度，W是试件宽度，fa6.1.2裂纹扩展速率裂纹扩展速率da/dN描述了裂纹在每次载荷循环中扩展的长度。它与应力强度因子d其中，C和m是材料常数，KI6.1.3疲劳寿命预测算法疲劳寿命预测算法通常包括以下步骤：确定初始裂纹大小：通过无损检测或材料特性分析确定材料中初始裂纹的大小。计算应力强度因子：基于材料的几何形状和载荷条件，计算裂纹尖端的应力强度因子K。应用裂纹扩展速率公式：使用Paris公式计算裂纹在每次载荷循环中的扩展速率da迭代计算裂纹长度：通过迭代计算，直到裂纹长度达到临界值，即材料断裂。预测疲劳寿命：根据裂纹达到临界长度所需的载荷循环次数，预测材料的疲劳寿命。6.1.4示例代码以下是一个使用Python实现的简单疲劳寿命预测算法示例：importmath

#材料参数

C=1e-12#Paris公式中的C

m=3.0#Paris公式中的m

K_IC=100#材料的断裂韧性阈值

sigma=100#应力

a_initial=0.001#初始裂纹长度

a_critical=0.1#临界裂纹长度

W=0.1#试件宽度

#函数f(a/W)的简化形式

deff(a_over_W):

returnmath.sqrt(1-a_over_W)

#应力强度因子计算

defK(sigma,a,W):

returnsigma*math.sqrt(math.pi*a)*f(a/W)

#裂纹扩展速率计算

defda_dN(C,m,K,K_IC):

returnC*(K-K_IC)**m

#疲劳寿命预测

deffatigue_life(a_initial,a_critical,C,m,K_IC,sigma,W):

a=a_initial

N=0

whilea<a_critical:

K_current=K(sigma,a,W)

da=da_dN(C,m,K_current,K_IC)

a+=da

N+=1

returnN

#执行预测

N_life=fatigue_life(a_initial,a_critical,C,m,K_IC,sigma,W)

print(f"预测的疲劳寿命为：{N_life}次载荷循环")6.1.5代码解释材料参数：定义了材料的Paris公式参数C和m，断裂韧性阈值KIC，应力σ，初始裂纹长度aini函数f(a/W)：简化了裂纹长度与试件宽度比的函数，用于计算应力强度因子。应力强度因子计算：根据应力强度因子的公式计算K。裂纹扩展速率计算：根据Paris公式计算裂纹扩展速率da疲劳寿命预测：通过迭代计算裂纹长度，直到达到临界值，从而预测疲劳寿命。6.2裂纹扩展路径的数值模拟裂纹扩展路径的数值模拟是通过计算机模拟裂纹在材料中的扩展过程，以预测裂纹的最终路径和材料的断裂行为。这一过程通常使用有限元方法(FEM)或边界元方法(BEM)来实现。6.2.1有限元方法(FEM)有限元方法将材料结构划分为多个小的单元，每个单元的应力和应变通过数值方法求解。裂纹扩展路径的模拟需要在每个载荷循环后更新裂纹的位置和形状，然后重新计算应力强度因子K。6.2.2边界元方法(BEM)边界元方法是一种基于材料边界条件的数值模拟方法，它通过求解边界上的积分方程来计算内部的应力和应变。BEM在处理裂纹问题时具有较高的效率和精度，因为它只需要在裂纹边界上进行计算。6.2.3示例代码以下是一个使用Python和FEniCS库实现的裂纹扩展路径数值模拟的简化示例：fromfenicsimport*

importnumpyasnp

#定义材料和裂纹参数

E=210e9#材料的弹性模量

nu=0.3#泊松比

a=0.01#初始裂纹长度

b=0.01#裂纹宽度

sigma=100#应力

#创建网格和边界条件

mesh=RectangleMesh(Point(0,0),Point(1,1),100,100)

V=VectorFunctionSpace(mesh,'Lagrange',1)

u=Function(V)

bc=DirichletBC(V,Constant((0,0)),'on_boundary')

#定义材料属性

defepsilon(u):

returnsym(nabla_grad(u))

defsigma(u):

returnE/(1+nu)*(epsilon(u)+nu*tr(epsilon(u))*Identity(2))

#定义裂纹扩展路径

defcrack_path(u,a,b):

#这里简化为裂纹沿x轴扩展

da=0.001

a+=da

returna,b

#求解过程

foriinrange(100):#模拟100次载荷循环

F=inner(sigma(u)-sigma,v)*dx

solve(F==0,u,bc)

a,b=crack_path(u,a,b)

#更新裂纹位置和形状

#重新计算应力强度因子K

#判断裂纹是否达到临界长度

#输出裂纹扩展路径

print(f"裂纹最终长度：{a}")6.2.4代码解释定义材料和裂纹参数：包括材料的弹性模量E，泊松比ν，初始裂纹长度a，裂纹宽度b，以及应力σ。创建网格和边界条件：使用FEniCS库创建矩形网格，并定义边界条件。定义材料属性：通过定义应变ϵ和应力σ的关系，来模拟材料的弹性行为。定义裂纹扩展路径：简化为裂纹沿x轴扩展，每次循环增加裂纹长度da求解过程：通过迭代求解，模拟裂纹在100次载荷循环中的扩展过程。输出裂纹扩展路径：在模拟结束后，输出裂纹的最终长度。通过上述算法和数值模拟方法，可以有效地预测材料在疲劳载荷下的寿命和裂纹扩展路径，为材料设计和工程应用提供重要参考。7材料疲劳分析算法：断裂力学模型在实际工程中的应用7.1实际工程中的裂纹扩展路径分析在实际工程应用中，材料的疲劳分析是确保结构安全性和寿命的关键步骤。断裂力学模型，尤其是线弹性断裂力学（LEFM）和弹塑性断裂力学（EPFM），为预测裂纹扩展路径提供了理论基础。这些模型结合了应力强度因子（SIF）和裂纹尖端的塑性区大小，以评估裂纹的稳定性及其在循环载荷下的扩展趋势。7.1.1应力强度因子（SIF）计算应力强度因子是断裂力学中的核心参数，用于量化裂纹尖端的应力集中程度。在疲劳分析中，SIF的计算通常基于材料的几何形状、裂纹尺寸和外部载荷。例如，对于一个中心裂纹板，在无限大平面应变条件下，SIF可以通过以下公式计算：K其中，KI是模式I的应力强度因子，σ是远场应力，a是裂纹长度，β是裂纹尖端的形状因子，对于中心裂纹板，β7.1.2裂纹扩展路径预测裂纹扩展路径的预测依赖于裂纹扩展准则，如Paris公式。Paris公式描述了裂纹扩展速率与应力强度因子幅度之间的关系：d其中，da/dN是裂纹扩展速率，ΔK7.1.2.1巴黎公式应用实例假设我们有一块材料，其C=1.5×10−11m/(cycle)和m=d裂纹扩展的总长度为：Δ因此，10000次循环载荷后，裂纹的长度为：a7.1.3Python代码示例下面是一个使用Python计算裂纹扩展的简单示例：#定义材料常数和初始条件

C=1.5e-11#巴黎公式中的C值

m=3#巴黎公式中的m值

a0=0.001#裂纹初始长度

Delta_K=50#应力强度因子幅度

N=10000#循环次数

#计算裂纹扩展速率

da_dN=C*(Delta_K**m)

#计算裂纹扩展的总长度

Delta_a=da_dN*N

#计算裂纹的最终长度

a_final=a0+Delta_a

print(f"裂纹的最终长度为:{a_final}m")这段代码首先定义了材料的巴黎公式常数C和m，裂纹的初始长度a0，应力强度因子幅度ΔK，以及循环次数N。然后，它计算了裂纹扩展速率da/d7.2疲劳分析算法的应用实例疲劳分析算法在各种工程领域中广泛应用，包括航空航天、汽车、桥梁和风力发电等。这些算法帮助工程师预测材料在重复载荷下的性能，从而优化设计，减少维护成本，提高安全性。7.2.1航空发动机叶片的疲劳分析航空发动机叶片在运行过程中会经历极端的温度和压力变化，导致材料疲劳。使用断裂力学模型，可以预测叶片中裂纹的形成和扩展，从而评估其寿命。例如，通过计算不同载荷条件下的应力强度因子，可以确定裂纹扩展的临界点，进而预测叶片的剩余寿命。7.2.2汽车结构件的疲劳寿命预测在汽车设计中，疲劳分析用于预测车身、悬挂系统和传动部件等结构件的寿命。通过模拟车辆在不同路况下的载荷，可以使用疲劳分析算法来评估这些部件的疲劳强度，确保它们在预期的使用周期内不会发生失效。7.2.3Python疲劳分析算法示例下面是一个使用Python进行疲劳寿命预测的示例，假设我们有一个汽车悬挂系统中的弹簧，其材料的疲劳极限为SN=500MPa，应力比R=importmath

#定义材料的疲劳极限和应力比

SN=500#疲劳极限，单位：MPa

R=-1#应力比

#定义应力水平

stress_level=400#单位：MPa

#使用Miner累积损伤理论计算寿命

#Miner理论公式：$\sum\frac{\DeltaS_i}{S_{N}}=1$

#其中，$\DeltaS_i$是每次循环的应力幅度，$S_{N}$是疲劳极限

#对于应力比R=-1，应力幅度$\DeltaS=\sigma$

#计算应力幅度

Delta_S=stress_level

#计算循环次数N

N=math.log(1/