四川省眉山市仁寿县两校2024届高三年级下册第三次模拟理科数学试题（含答案与解析）

2024届高三（下）第三次模拟考试

理科数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在

本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1已知集合A4*X<5},8=小琳=1%（-2）},则4八

A.{-1,2,3,4}B.{354}C.{3,4,5}D.{2,3}

2—3+i

2.若复数z满足三前==T，则之的虚部为（)

11-1

A.-2B.-1C.1D.2

3.运行图示程序框图，则输出A的值为（）.

A.170B.165C.150D.92

4.已知数列｛%｝满足4=3〃一伙"eN'OeR）,则"b<3”是1｝是递增数歹『'的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.在中，AC=2j7，。是_ABC的外心，M为8C的中点，ABAO=8>N是直线上异

uuuiuum

于M、。的任意一点，则ANIC=（）

A.3B.6C.7D.9

6.敏感性问题多属个人隐私.对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回答又能保守

个人秘密.例如为了调查中学生中的早恋现象，现有如下调查方案：在某校某年级，被调查者在没有旁人

的情况下，独自一人回答问题.被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，

则回答问题4若抽到红球，则回答问题B.且^中只有白球和红球.

问题4你的生日是否在7月1日之前？（本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为十）

问题B：你是否有早恋现象？

已知一次实际调查中，罐中放有白球2个，红球3个，调查结束后共收到1585张有效答卷，其中有393张

回答“是“，如果以频率替代概率，则该校该年级学生有早恋现象的概率是（）（精确到0.01）

A.0.08B.0.07C.0.06D.0.05

7.若aw（匕无］,且cosa+岳ina=处，则sin（2a值为（

）

U）13I12；

A2390Ry/2「H9x/2n120V2

A.-------JD.---L.-------

338338338338

8.一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光、蓝色光、绿色光中的一

种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子

元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有

（）

A.60种B.68种C.82种D.108种

9.已知函数/'（x）=cos（37t-3_r）-cos（5+3xj（xeR）,关于/*）的命题：①/食）的最小正周期为

—27r；②〃x）图像的相邻两条对称轴之间的距离为2‘7r：③/（X）图像的对称轴方程为》=K一TC+TC一（左eZ）；

3334'，

④/（x）图像的对称中心的坐标为（g+：,0）ZeZ）；⑤/（X）取最大值时x=2^+：（%eZ）.则其中正

确命题是（）

A.①②③B.①③⑤C.②③⑤D.①④⑤

22

10.直线/过双曲线C:[-4=l（a＞0力＞0）的右焦点尸，且与。的左、右两支分别交于A,8两点，点

ab1

B关于坐标原点对称的点为P,若产歹_LAB，且|A目=3|P月，则C的离心率为（）

V34

R.平

A3D.-----C.2

2

11.如图，在棱长为1的正方体A3CD—A耳G2中，已知p，M分别为线段BO-Bg上的动点，N

为gC的中点，则二PMN的周长的最小值为（）

D."+百

C1+

T2

12.已知函数_旧11r存在极小值点与,且/（Xo）＜—e3,则实数加的取值范围为（）

A.(0,1)2

B.(。不

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

x2+1

13.已知/(x)=为偶函数,贝!Ia=

(3x+2)(x-a)

x+y-3>0,

14.已知实数x,y满足—2yN0,则—3x+y的最大值是

x<4,

15.已知三棱柱ABC-44G中，_A8C是边长为2的等边三角形，四边形ABAA为菱形,

ZA,AB=60°,平面平面ABC，M为AB的中点，N为B片的中点，则三棱锥6-4用、

的外接球的表面积为.

BDBE1

16.如图，己知8c=3,D,E为一ABC边BC上两点，且满足乙%£>=NC4E,------=一，

CDCE4

则当/ACB取最大值时，..ABC的面积等于.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个

试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.已知S,为各项均为正数的数列｛4｝的前n项和,％e（0,2）,。+3%+2=65,,.

（1）求｛为｝的通项公式；

（2）设么,数列｛d｝的前〃项和为北,若对V〃eN*/W47；恒成立，求实数t的最大值.

anan+\

18.2023年，全国政协十四届一次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月11日下午闭幕，会期

7天半；十四届全国人大一次会议于3月5日上午开幕，13日上午闭幕，会期8天半.为调查居民对两会相

关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的240位居民的得分（满分

100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图.

（1）若此次知识问答的得分X服从N（〃,82）,其中〃近似为参与本次活动的240位居民的平均得分（同

一组中的数据用该组区间的中点值代表），求P（66<X<90）的值；

（2）中国移动为支持本次活动提供了大力支持，制定了如下奖励方案：参与本次活动得分低于4的居民

获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于〃的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有:的机会抽中

一张10元的话费充值卡，有g的机会抽中一张20元的话费充值卡，假设每次抽奖相互独立，假设该小区

居民王先生参与本次活动，求王先生获得的话费充值卡的总金额丫（单位：元）的概率分布列，并估计本

次活动中国移动需要准备的话费充值卡的总金额（单位：元）

参考数据：X44+<7）40.6827,P[/.i-2（J<X<JLI+2a）®0.9545,

P-3b<XW4+3o■卜0.9973

19.已知正方形的边长为4,E，尸分别为AO，BC的中点，以EE为棱将正方形ABC。折成如图所示

（1）若，为A3的中点，M在线段上，且直线DE与平面EMC所成的角为60°,求此时平面

MEC与平面ECF的夹角的余弦值.

（2）在（1）的条件下，设£«=/1£4（；1€（0,1））,DN=NC，CP=PF，且四面体GNWP的体积为

显,求义的值.

2

20.已知长为2近的线段PQ的中点为原点。，圆T经过P,Q两点且与直线y+2=0相切，圆心T的轨

迹为曲线C.

（1）求曲线C的方程；

（2）过点。（1,。）且互相垂直的直线乙,4分别与曲线。交于点瓦“和点”，N,且|£。=|£归|,四边形

的面积为15#，求实数。的值.

21.已知函数/（%）=（%+。111苍心口在点4（1,〃1））处的切线斜率为1.

（1）求实数。的值并求函数/*）的极值;

（2）若/（为）=/（%7）,证明：%1-X,<-r.

~e~

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题

计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

x=2cos2。，

22.在直角坐标系xOy中，曲线。的参数方程为《.（。为参数）,以坐标原点为极点，1轴正

y-2COS6Z

半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为psin=-2.

（1）求曲线C的普通方程与直线/的直角坐标方程；

（2）点A,8分别为曲线C与直线/上的动点，求|A8|的最小值.

［选修4-5：不等式选讲］（10分）

23.已知函数/（x）=|2x-3|,^（x）=3-|x-2|

（1）求不等式/（x）Wg（x）的解集N；

（2）设N的最小数为〃，正数a,。满足。+匕=叫，求丝2+三的最小值.

2ah

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.已知集合4=卜卜1〈］<5},5={xwN|y=bg3（x—2）},则“小（）

A.{-1,2,3,4}B.{3,4}C.{3,4,5}D.{2,3}

【答案】B

【解析】

【分析】将集合B化简，再由交集的运算，即可得到结果.

【详解】因为4={x［—l<x<5},8={xeN|x—2>0}={xeN|x>2},

所以AB={3,4}.

故选：B.

7—3+i_

2.若复数z满足前=丁一，则［的虚部为()

11—1

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】C

【解析】

【分析】利用复数除法运算及i的周期性运算即可.

-3+i(-3+i)(l+i)-4—2i

【详解】因为i20%=l，所以z=-jr=七一点Y=一2-1,

1-1+2

则z=—2+i，故z的虚部为1.

故选:C.

3.运行图示程序框图，则输出4的值为().

A.170B.165C.150D.92

【答案】B

【解析】

【分析】根据程序框图逐步计算即可.

【详解】因为〃=1<%=2,

所以执行循环体得A=l+2+3=6,A=6+2+3=ll,5=ll,C=ll,〃=2,

由〃=2>%不成立,

所以执行循环体得A=ll+114-ll=33,4=33+11+11=55,B—55,C-55,〃=3,

由〃=3>%成立，所以4=55+55+55=165,然后输出A=165.

故选：B

4.已知数列｛〃”｝满足a“=3〃-b（〃eN*,Z?eR）,贝广〃<3”是”｛141｝是递增数列”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合递增数列的意义判断即得.

【详解】当父<3时,an=3n-b>0,则|勺|=|3〃一勿=3"一。，｛|%|｝是递增数歹（J；

反之，当。=3时，-3,数列｛|。“|｝递增，因此数列｛|4|｝是递增数列时，人可以不小于3,

所以"匕<3”是"｛I1｝是递增数列”的充分不必要条件.

故选：A

5.在一ABC中，AC=2币,。是一45c的外心，M为BC的中点，A3.AO=8，N是直线上异

UUU1UUUI

于M、。的任意一点，则AN-BC=（）

A.3B.6C.7D.9

【答案】B

【解析】

UUUIuuil

【分析】根据外心的性质得到OMJ_BC,设ON=WM，根据数量积的运算律得到

uuiuuumuuuiuuuuuuiuuu

AN-BC=-AO-AB+AO-AC再由数量积的定义及几何意义求出AOAC.从而得解.

【详解】因为。是的外心，M为BC的中点，设AC的中点为。，连接0。,

一一UUUILILIU

所以0D1AC,设ON=/IOM，

则ANBC=（AO+ON）.8C=AO-8C+/IOMBC

=AOBC=AO\BA+AC^

UUUUUUUUUUUIU

=AOBA+AOAC=—AOA3+AOAC，

又O是“ABC的外心，所以AO-AC=IA。］-|AC|COSZCAO=（|AO|cosZCAO）-|AC|

=iM2=1x（2M=141

UUU1UUUUUUUL1UUUUUUU

所以AN-8C=-AOAB+AO-AC=—8+14=6・

故选：B

UUUUUUUllBlULUUUIUUUU

【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据外接圆的性质将AN-8C转化为-AO-A8+AO-AC，再

一个就是利用数量积的几何意义求出AO-AC.

6.敏感性问题多属个人隐私.对敏感性问题的调查方案，关键是要使被调查者愿意作出真实回答又能保守

个人秘密.例如为了调查中学生中的早恋现象，现有如下调查方案：在某校某年级，被调查者在没有旁人

的情况下，独自一人回答问题.被调查者从一个罐子中随机抽一只球，看过颜色后即放回，若抽到白球，

则回答问题A；若抽到红球，则回答问题氏且罐中只有白球和红球.

问题4你的生日是否在7月1日之前？（本次调查中假设生日在7月1日之前的概率为/）

问题B：你是否有早恋现象？

己知一次实际调查中，罐中放有白球2个，红球3个，调查结束后共收到1585张有效答卷，其中有393张

回答“是“，如果以频率替代概率，则该校该年级学生有早恋现象的概率是（）（精确到0.01）

A.0.08B.0.07C.0.06D.0.05

【答案】A

【解析】

【分析】根据古典概型分别求出抽到红球的概率和抽到白球的概率，并且计算出回答问题A、B的人数，从

而可分别计算出回答问题A、B的人中答“是”的人数以及比例.

33

【详解】从罐子中随机抽一个球，抽到红球的概率为——=-,

2+35

22

抽到白球的概率为——=一，

2+35

所以回答问题A的人数是|xl585=634人

3

回答问题B的人数是yxl585=951人，

回答问题A的人中答“是”的人数是634x^=317,

2

所以回答问题8的人中答“是”的人数是393—317=76,

则估计该校该年级学生有早恋现象的概率为—=0.08,

故选：A

71\r-1().I-DTE1

7.若且cosa+,3smez=石，贝"sin[2a-石)的值为()

A239夜RV2rH9V2n120后

338338338338

【答案】B

【解析】

【分析】利用辅助角公式、同角三角函数的平方关系、二倍角公式、正弦的差角公式计算即可.

【详解】由题意可知cosa+V3sincr=—=2sin|tz+—|=>sin|tz+—|=—<—,

1316)(6J132

\71)~,71(D7t

因为兀J,所以a+7£[K'71

12

T3

所以sin2卜+看=2Sinfa+4osf«+^=_^=sinf2a+^

I6jI6；169I3)

一八兀e型,2兀

而2a+—

I3

,5兀).(.兀3吟夜.(.吟V2(.吟夜

mJsin2a---=sin|2aH------=——~sin2a+-....cos2a+—=---.

I12)I34J2I3j2I3)338

故选：B

8.一个信息设备装有一排六只发光电子元件，每个电子元件被点亮时可发出红色光、蓝色光、绿色光中的一

种光.若每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，根据这三个被点亮的电子

元件的不同位置以及发出的不同颜色的光来表示不同的信息，则这排电子元件能表示的信息种数共有

()

A.60种B.68种C.82种D.108种

【答案】D

【解析】

【分析】利用插空法结合组合数求解.

【详解】每次恰有三个电子元件被点亮，但相邻的两个电子元件不能同时被点亮，

所以需把3个亮的发光原件插入未点亮的元件中，有C：=4种方法，

且不同颜色数有3x3x3=27种，

所以这排电子元件能表示的信息种数共有4x27=108种.

故选：D

【点睛】关键点点睛：本题考查组合计数问题，关键是插空法的应用.

9.已知函数/(x)=cos(37i-3x)-cos(5+3xj(xeR),关于/(x)的命题：①/(*)的最小正周期为

"；②/(X)图像的相邻两条对称轴之间的距离为4；③/(幻图像的对称轴方程为X=”+也力；

3334'，

④图像的对称中心的坐标为+⑤/(x)取最大值时％=+则其中正

确命题是()

A.①②③B.①③⑤C.②③⑤D.①④⑤

【答案】B

【解析】

【分析】借助三角恒等变换可将原函数化为正弦型函数，借助正弦型函数的性质逐一判断即可得.

【详解】/(x)=cos(37r-3x)-cos[5+3x]=-cos3x+sin3x=\/^sin(3x-；),

2兀

则/(X)的最小正周期为丁=——，故①正确；

T兀

/(X)图像的相邻两条对称轴之间的距离为一二一，故②错误；

23

7T汽k

令=万+加(％£Z),则+故③正确；

jrjriz

令3x—[=E(keZ),则x=五+—M&wZ),故④错误：

jrITjr2k

令3%—]=耳+2也(ZwZ),则x=1+1-M&eZ),故⑤正确.

故选：B.

22

10.直线/过双曲线C:鼻-2=1(a>0/>0)的右焦点尸，且与C的左、右两支分别交于A,B两点，点

a2b

8关于坐标原点对称的点为尸，若PFJ_AB，且|"|=3|PE|,则C的离心率为()

A.3B.C.2D.

22

【答案】B

【解析】

【分析】借助双曲线定义与双曲线的对称性，结合题意可得忸制=归可=5"，忸目=3a,利用勾股定理

计算即可得解.

【详解】如图所示，取双曲线左焦点6，设|P月=加，则|AF|=3|P曰=3机，

由双曲线定义可得|A目一恒用=忸用一忸耳=2a,又B、P关于原点对称，

故|A周=3加一2a,忸耳|=|尸石=m，忸R|=/n-2a,

贝=3加一(m-2a)=2/〃+2a,

由PF_LAB，故68_LAB,故有(3，〃-2a)-=(2/«+2a)-,

化简可得m=5a,即有忸耳|=|P目=5a,忸典=3”,

由P/UAB，则有(2c)2=(5a『+(3a)2,BP4c2=34a2,

即e=£=^I.

a2

故选：B.

【点睛】关键点点睛：本题关键点在于找出左焦点，设|尸耳=加，从而借助双曲线定义将其它边表示出

来，结合勾股定理计算出各边长，从而可列出与“、c有关的齐次式，得到离心率.

11.如图，在棱长为1正方体ABC。-44GA中，己知P,M分别为线段8。，上的动点，N

为耳。的中点，则二PMN的周长的最小值为（）

cl+

T2

【答案】B

【解析】

【分析】设班）的中点为。，即可证明BO咯BNP,从而得至U|PN|=|P。，再将平面BOD4与平

面80片展开并摊平，在平面图形中连接QV,交于点交RB于点、P,此时4PMN的周长取得

最小值|0N|,利用余弦定理计算可得.

设80的中点为0,连接P。(P不与点B重合)，|阳=|PB|,NDBQ=NCiBR,

所以_BOg二BNP,所以归叫=p0,把平面与平面BG片展开并摊平，如图，

在平面图形中连接QV,交于点M,交。出于点P,此时一PMN的周长取得最小值|0凶，

在△BON中利用余弦定理可得|ON|=J4+*—2x[x435(90。+45。)="、夜，

故选：B.

12.已知函数/(幻=见2—xlar存在极小值点%,且/(%)<—e3,则实数加的取值范围为()

【答案】D

【解析】

【分析】根据给定条件，利用导数结合零点存在性定理探讨极小值点，并求出极小值，利用导数求出

3

/(x0)<-e的解集，再利用导数求出m的范围.

【详解】函数/。)=如2一仙1r的定义域为(0,+co),求导得/(幻=2如一1—let,

当加40时，函数f(x)在(0,+8)上单调递减，/(1)=2加—1<0,

/,(e2m-l)=2me2m-'-l-(2AM-1)=2w(e2m-1-1)>0,则存在玉e(0,1),使得尸(王)=0,

当xe(0®)时，f'(x)>0,〃x)递增，当xe(X1,+oo)时，，/(x)<(),/*)递减，

函数Ax)在x=%取得极大值，无极小值，不符合题意；

当机>0时，令g(x)=/'(x)=2〃ix—l—ln_r,求导得g'(x)=2根—』，显然g'(x)在(0,+8)上单调递

X

增,

当xe(O,—L)时，g'(x)<0,函数f(x)递减，当一,+8)时，g'(x)>0,函数f(x)递增，

2m2m

于是=/'(，-)=In2加，

2m

当2机21,即，“2；时，/'(幻之0,函数/(x)在(0,+8)上单调递增，函数Ax)无极值，

w八12,，/1、八工『,/n、2m2,im2m2八

当。</%<不时，f(—)<0,而/(一)=------1—In—=------Itnm>0,

22meeee

存在马€(0，［一)，使得广(K)=0,当X€(O，Z)时，/'(x)>()，函数7(x)递增，

2m

当xe(x,,」-)时，/'(x)<(),函数f(x)递减，函数/(x)在尤=%取得极大值，

2m

1?2122

又f\——)—---1+2In/篦，令/i(x)——l+21nx,0<xv—,求导得/z'(x)———H—<0,

mmx2xx

函数〃(X)在(0,L)上单调递减，/?(%)>/?(-)=3-21n2>0,则/(乙)>0,

22m"

存在&e(」-,+8),使得/'(%)=。，当一,七)时，/'(x)<0，函数f(x)递减，

2m2m

当xe(%3，+8)时，f\x)>0,函数/(X)递增，函数/(X)在x=%3取得极小值，因此七=不，

nA(l3

由/'(/)=0，得加%)=1,y(x0)=rnx^-x0Inx0=—~^<-e,

即有Xo-Xoinxo+Ze'<0,4-^(x)=x-xlnx+2e3,x>l,求导得。'(x)=Tnx<0,

函数0(x)在(1,叱)上单调递减，而夕@)=0,即有于是而>e3,

显然加=F~令〃(x)=------,x>e3,求导得/(x)=一广<0,即函数”(无)在©,+8)上单调

2/2x2x

递减

22212

因此〃(x)<〃(e')=f,Hpm<—9又一^<一,则0<M<y,

eee、2e

所以实数加的取值范围为(0,2).

故选：D

【点睛】结论点睛：可导函数y=/(x)在点内处取得极值的充要条件是/'Oo)=0,且在与左侧与右侧

/'(X)的符号不同.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

x2+l

13.已知/（x）为偶函数，则。=

（3元+2）（工-。）

【答案】|2

【解析】

【分析】法一：先利用/(-1)=/(1)求得。=然后代入验证；法二：利用偶函数的定义建立方程求解

即可.

【详解】法一：特殊值法：因为/(X)为偶函数，所以"—1)=〃1)，

1+1_1+12

所以(3x(—l)+2)(—1—a)=(3+2)(l—a)'解得"=

23r2+3

经检验，当。=一时.，/(憧=，为偶函数,符合题意.

2

3」9X-4

法二：定义法：因为"X)为偶函数，所以〃T)="X)，

所以7~(HL—7=7—W—7,化简得(3a-2)x=0,

(—3x+2)(—x-a)(3x+2)(x—a)

2

所以3a—2=0,解得。=一.

3

2

故答案为：—

x+>1-3>0,

14.已知实数X,>满足〈龙一2y20,则一3x+y的最大值是

x<4,

【答案】-5

【解析】

【分析】先依据题意作出可行域，将目标式转化为截距问题求解即可.

【详解】令z=-3x+y,即求y=3x+z中截距z的最大值即可，如图作出可行域,

易知当y=3x+z过点A时，该直线截距最大，z取得最大值，

联立方程组x+y-3=0,x-2y=Q,解得x=2,y=l,故A(2,l),

将A(2,l)代入y=3x+z中，得l=6+z,解得z=—5，

即一3x+y的最大值是—5.

故答案为：一5

15.已知三棱柱ABC-中，ABC是边长为2的等边三角形，四边形ABgA为菱形，

"45=60。，平面AB4A，平面ABC，M为A3的中点，N为的中点，则三棱锥

的外接球的表面积为.

【答案】7兀

【解析】

【分析】解法一连接AB—48,记ABA用=«,确定Q为..AMN外接圆的圆心，然后利用面面垂

直的性质定理证明平面AB用4,利用球的性质建立方程求解外接球的半径，代入球的表面积公式求

解即可；

解法二连接CM,利用面面垂直的性质定理证明4M，平面ABC,建立空间直角坐标系，先求出

的外接圆圆心尸,然后计算出球心的坐标，即可求出球的半径，代入球的表面积公式求

解即可.

【详解】解法一连接AB,记AQAB]=0],则。0=1.

连接。加，0、N,则QM=aN=，4B=l,故。।为‘AMN外接圆的圆心.

取AB】的中点。，连接。。，则QQ=/4A=1,所以点。在AMN的外接圆上.

连接G。，因△A£G为等边三角形，所以GO_LA4，C[D=C.

由平面ABBA_L平面ABC,知平面AB耳A，平面AB|G，

又平面ABBA〕平面A4G=45，。]。＜=平面4与。|,所以G。，平面AB4A.

设三棱锥G-AMN的外接球半径为R,则R2=I2+(#J=Z,

故三棱锥c,-AMN的外接球的表面积为4兀a=7兀.

解法二连接45,CM,则4AAB为正三角形，CMLAB,故

因为平面，平面ABC,平面ABgA平面A6C=AB,4知＜=平面4?片4，

所以AM，平面ABC,

以MB为x轴，用C为y轴，知4为z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

得M（0,0,0）,B（1,O,O）,4（0,0,6）,C（0,V3,0）,0,（1,73,73）,

(1

由,/MN为等边三角形，则.dMN的外接圆圆心为「-,0,

2J

设三棱锥£—的外接球的球心为。，连接OP,OM,OG，

则OP，平面A"N,又CMJ_平面AMN,所以OPCM.

2

设。,由OC|=OM,可得（；一1]V3）'+=（；）+〃/+

解得加=。叵，因此球心。，故外接球半径R=0M=YZ,

2122212

故三棱锥C,-AMN的外接球的表面积S=4兀

故答案为：7兀

【点睛】关键点点睛：求几何体外接球的半径，可以根据题意先画出图形，确定球心的位置，进而得到关

于球的半径的式子，解题时要注意球心在过底面外接圆圆心且垂直于底面的直线上，且球心到几何体各顶

点的距离相等.在确定球心的位置后可在直角三角形中表示出球的半径，此类问题对空间想象能力和运算

求解能力要求较高，难度比较大.

BDBE

16.如图，已知8C=3，D,后为_48。边8c上的两点，且满足乙R4D=NC4E,

CDCE4

则当NACB取最大值时，的面积等于.

【解析】

RF).RF1

【分析】由题设足NB4Z>=NC4E,---------=一考虑三角形的面积之比，将其化简得AC=2AB,借助

CDCE4

于余弦定理和基本不等式求得NAC3的最大值和此时的三角形边长，由面积公式即可求得.

如图，不妨设/84£>=/。4£=。,/。隹=。,分别记,/3。,ACE,'ABE”ACD的面积为

0ABD^0.ACE^^ABE^°ACD，

cn八-ABADsmOsR口—AB-AEsin(^+a)

川sABD_BD2_ABADABAE

吊»ABE__2=---------②

CEcd

SACE-AEAC3me'AEACSACD；A»ACsin(e+a)ADAC

2

BDBEAB-AD-AB-AEAB21也目

由①，②两式左右分别相乘，可得:.—,nx1'J•AC^2AB.

CDCEAE-AC-AD-ACAC24

9+4r2-x213

设AB=x,在一ABC中，由余弦定理，cosZACB=^-^~~-=-(%+-),因x>0,则

2x3x2x4x

当且仅当x=G时，等号成立，

X

此时cosNACBN走，因0<NAC6<7t,故0<NACB42,/ACB取得最大值4，此时_ABC的

266

面积等于」x3x2j5xsina=空.

262

故答案为：正.

2

【点睛】思路点睛：对条件等式的转化，本题中，注意到有角的相等和边长乘积的比，结合图形容易看出

几个等高的三角形，故考虑从面积的比入手探究，即得关键性结论AC=2A3,之后易于想到余弦定理和

基本不等式求出边长和角即得.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个

试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.已知Sn为各项均为正数的数列｛«„｝的前n项和,%e(0,2),4+3%+2=65„.

(1)求｛〃“｝的通项公式；

(2)设a=」一，数列论,｝的前〃项和为北,若对W〃eN",『<47；恒成立，求实数/的最大值.

anan+\

【答案】⑴。〃=3〃-2；

(2)I.

【解析】

【分析】Q）先求得为的值，然后利用。“与S”的关系推出数列｛%｝为等差数列，由此求得｛4｝的通项公

式；

（2）首先结合（1）求2的表达式，然后用裂项法求得7.，再根据数列｛4｝的单调性求得，的最大值.

【小问1详解】

当〃=1时，由题设得^+34+2=6%,即a；-34+2=0,又qe（0,2）,解得q=l.

a

由n+3凡+2=65„知:屋1+3a“+|+2=6Sn+I.

两式相减得：嫌Y+3（*_勺）=6%,即用+%）（4+1-4一3）=0.

由于a,,>0,可得一a"一3=0,即怎+1-《,=3,

所以｛%｝是首项为1，公差为3的等差数列，

所以。“=1+3（〃—1）=3〃-2.

【小问2详解】

,11if11A

由a“=3〃_2得：bn=------=-__,i\=,3~，

44+1+3\3n—23n+lJ

rr,,,iFf,1W1（11Yln

"12"3|_l14（3“—23n+lJJ3n+l

T_Tn+\_______n_______1_______（）

因为"+|"3（»+l）+l3〃+l（3〃+l）（3〃+4），

所以Tn+x>T„,则数列｛（,｝是递增数列,

所以故实数t的最大值是1.

18.2023年，全国政协十四届一次会议于3月4日下午3时在人民大会堂开幕，3月11日下午闭幕，会期

7天半；十四届全国人大一次会议于3月5日上午开幕，13日上午闭幕，会期8天半.为调查居民对两会相

关知识的了解情况，某小区开展了两会知识问答活动，现将该小区参与该活动的240位居民的得分（满分

100分）进行了统计，得到如下的频率分布直方图.

频率

［组距

05060708090100得分

（1）若此次知识问答的得分X服从N（4,82）,其中〃近似为参与本次活动的240位居民的平均得分（同

一组中的数据用该组区间的中点值代表），求尸（66<%<90）的值；

（2）中国移动为支持本次活动提供了大力支持，制定了如下奖励方案：参与本次活动得分低于4的居民

获得一次抽奖机会，参与本次活动得分不低于〃的居民获得两次抽奖机会，每位居民每次有:的机会抽中

一张10元的话费充值卡，有;的机会抽中一张2