2020-2021学年新教材高中数学立体几何初步11.1空间几何体11.1.2构成空间几何体的基本元素学案

11.1.2构成空间几何体的基本元素必备知识·自主学习导思1.构成几何体的基本元素是什么?2平面有哪些主要特点?怎样表示一个平面?3.如何从运动的观点理解空间几何体的基本元素之间的关系?4.长方体中的点、线、面有怎样的位置关系?1.空间中的点与直线、直线与直线的位置关系(1)空间中点与直线的关系点A在直线l上,记作A∈l;点A不在直线l上,记作A∉l.(2)直线与直线的位置关系①直线a与直线b平行,记作a∥b;②直线a与直线b相交于点A,记作a∩b=A;③直线a与直线b异面.(3)异面直线的定义空间中的两条直线,既不平行,也不相交,此时称这两条直线异面.(1)为何点与直线、平面的关系用“∈”或“∉”表示?提示:因为直线与平面都看作是点构成的集合,而点是元素,因此点与直线、平面的关系就是元素与集合间的关系,所以用“∈”或“∉”表示.(2)如何从公共点个数的角度对空间两条直线分类?提示:两直线QUOTE(3)如何以是否共面的角度对空间两条直线分类?提示:两直线QUOTE(1)直线l上的所有点都在平面α内,称为直线l在平面α内(或平面α过直线l),记作l⊂α.(2)直线m与平面α有且只有一个公共点B,称为直线m与平面α相交,记作m∩α=B.(3)直线l与平面α没有公共点,称为直线l与平面α平行,记作l∥α.(1)如果l是空间中的一条直线,α是空间中的一个平面,l∩α=∅表示什么?提示:l∩α=∅表示直线l与平面α平行.(2)“直线与平面不相交”与“直线与平面没有公共点”是相同的意义吗?提示:不是.前者包括直线与平面平行及直线在平面内这两种情况,而后者仅指直线与平面平行.(3)如何从直线与平面公共点的个数的角度,将直线与平面的位置关系分类?提示:当直线与平面公共点的个数为0时,直线与平面平行;当直线与平面公共点的个数为1时,直线与平面相交;当直线与平面公共点的个数为无数个时,直线在平面内.(1)平面α与平面β有公共点,称为平面α与平面β相交,记作α∩β≠∅.(2)如果α与β是空间中的两个平面,当α∩β=∅时,称平面α与平面β平行,记作α∥β.(1)直线与平面垂直的定义一般地,如果直线l与平面α相交于一点A,且对平面α内任意一条过点A的直线m,都有l⊥m,则称直线l与平面α垂直(或l是平面α的一条垂线,α是直线l的一个垂面),记作l⊥α,其中点A称为垂足.(2)点在平面内的射影给定空间中一个平面α及一个点A,过A可以作而且只可以作平面α的一条垂线.如果记垂足为B,则称B为A在平面α内的射影(也称为投影),线段AB为平面α的垂线段,AB的长为点A到平面α的距离.(3)直线到平面的距离当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离称为这条直线到这个平面的距离.(4)平面到平面的距离当平面与平面平行时,一个平面上任意一点到另一个平面的距离称为这两平行平面之间的距离.(1)在什么条件下,才能求直线与平面的距离?提示:当直线与平面平行时,才能求直线与平面的距离.(2)在什么条件下,才能求平面与平面的距离?提示:当两个平面平行时,才能求平面与平面的距离.1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”)(1)若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α. ()(2)若平面α内的任意直线与平面β均无交点,则α∥β. ()(3)若两个平面都平行于同一条直线,则这两个平面平行. ()提示:(1)×.若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α或直线l与平面α相交.(2)√.由平面与平面平行的定义可知,此说法正确.(3)×.若两个平面都平行于同一条直线,则这两个平面平行或相交.2.(教材二次开发:练习改编)若平面α和直线a,b满足a∩α=A,b⊂α,则a与b的位置关系一定是 ()【解析】选D.当A∈b时a与b相交,当A∉b时a与b异面.3.如图,在正四棱柱(侧面为矩形,底面为正方形的棱柱)ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则以下结论中不成立的是(1)EF与BB1垂直;(2)EF与BD垂直;(3)EF与CD异面;(4)EF与A1C1【解析】连接A1B(图略),因为E,F分别是AB1,BC1的中点,所以EF是△A1BC1的中位线,所以EF∥A1C1答案:(4)4.已知如图,试用适当的符号表示下列点、直线和平面之间的关系:(1)点C与平面β:.

(2)点A与平面α:

.(3)直线AB与平面α:

.(4)直线CD与平面α:

.(5)平面α与平面β:

.【解析】(1)C∉β.(2)A∉α.(3)AB∩α=B.(4)CD⊂α.(5)α∩β=BD.答案:(1)C∉β(2)A∉α(3)AB∩α=B(4)CD⊂α(5)α∩β=BD关键能力·合作学习类型一文字语言、数学语言、图形语言间的相互转化(数学抽象、直观想象)1.点P在直线a上,直线a在平面α内可记为 ()A.P∈a,a⊂⊂a,a⊂α⊂a,a∈α D.P∈a,a∈α2.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1(1)AC∩BD=.

(2)平面AB1∩平面A1C1=(3)A1B1∩B1B∩B1C1=【解析】∈a,直线a在平面α内可表示为a⊂α,故A正确.2.由图形可知,AC∩BD=O,平面AB1∩平面A1C1=A1B1A1B1∩B1B∩B1C1=B1答案:(1)O(2)A1B1(3)B1三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.(2)要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示,直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示.【补偿训练】如图所示,平面ABEF记作平面α,平面ABCD记作平面β,根据图形填写:(1)A∈α,Bα,Eα,Cα,Dα.

(2)α∩β=.

(3)A∈β,Bβ,Cβ,Dβ,

Eβ,Fβ.

(4)ABα,ABβ,CDα,

CDβ,BFα,BFβ.

【解析】依据图形以及数学符号可知:(1)B∈α,E∈α,C∉α,D∉α;(2)α∩β=AB;(3)B∈β,C∈β,D∈β,E∉β,F∉β;(4)AB⊂α,AB⊂β,CD⊄α,CD⊂β,BF⊂α,BF⊄β.答案:(1)∈∈∉∉(2)AB(3)∈∈∈∉∉(4)⊂⊂⊄⊂⊂⊄类型二空间两条直线位置关系的判断(直观想象)【典例】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,CC1①直线DM与CC1是相交直线;②直线AM与NB是平行直线;③直线BN与MB1是异面直线;④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的为(把你认为正确结论的序号都填上).

【思路导引】利用平行直线、相交直线、异面直线的定义判断.【解析】①中直线DM与直线CC1在同一平面内,它们不平行,必相交.故结论正确.③④中的两条直线既不相交也不平行,即均为异面直线,故结论正确.②中AM与BN是异面直线,故②①③④.答案:①③④空间两条直线位置关系的判断方法两直线位置关系分为共面(平行和相交)和异面,其中共面时用平面几何知识处理即可,现在关键是把握异面的理解与直观想象,两直线不同在任何一个平面内,既不平行也不相交.1.若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是 ()A.a∥c C.a和c相交 D.a和c平行、相交或异面【解析】选D.如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,令A′D′所在直线为a,AB所在直线为b,由题意,a和b是异面直线,b和c是异面直线.若令B′C′所在直线为c,则a和c平行.若令C′C所在直线为c,则a和c异面.若令D′D所在直线为c,则a和c相交.2.两条直线没有公共点,则两条直线的位置关系为.

【解析】依据两条直线的位置关系知:当两条直线没有公共点时,这两条直线可能平行,也可能异面.答案:平行或异面类型三直线与平面、平面与平面位置关系的判断(直观想象)角度1直线与平面的位置关系

【典例】1.下列说法错误的是 ()A.若直线l平行于平面α,则平面α内存在直线与l平行B.若直线l平行于平面α,则平面α内存在直线与l异面C.若直线l平行于平面α,则平面α内存在直线与l垂直D.若直线l平行于平面α,则平面α内存在直线与l相交2.下列说法中,正确的个数是 ()①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交;②经过两条异面直线中的一条直线有一个平面与另一条直线平行;③两条相交直线,其中一条与一个平面平行,则另一条一定与这个平面平行.A.0 B.1 3.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1和BB1(1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系.(2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系.(3)AM所在的直线与平面CDD1C1(4)CN所在的直线与平面CDD1C1【思路导引】1.由直线l平行于平面α知直线l与平面α无公共点,据此逐项判断.2.依据直线与平面的三种位置关系的定义逐项判断.3.依据直线与平面的三种位置关系的定义和正方体的结构特征进行判断.【解析】α,则平面α内的直线与l平行或异面,故A,B正确;在C中,若直线l平行于平面α,则平面α内存在直线与l异面垂直,故C正确;在D中,若直线l平行于平面α,则平面α内的直线与l平行或异面,故D错误.2.选C.易知①正确,②正确.③中两条相交直线中一条与平面平行,另一条可能平行于平面,也可能与平面相交,故③错误.3.(1)AM所在的直线与平面ABCD相交.(2)CN所在的直线与平面ABCD相交.(3)AM所在的直线与平面CDD1C1(4)CN所在的直线与平面CDD1C1角度2平面与平面的位置关系

【典例】已知a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,α∩β=a,a∥b,则下面结论不可能成立的是 ()⊄⊄αC.b∥α,且b∥β D.b与α,β都相交【思路导引】借助正方体模型举反例说明有关结论不成立,用排除法选出正确答案.【解析】选D.由a,b为两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,α∩β=a,a∥b,知:对于选项A,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∩平面ABB1A1=AB,C1D1⊄平面ABCD,C1D1∥AB,此时有C1D1⊄平面ABB1A1,C1对于选项B,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∩平面ABB1A1=AB,C1D1∥平面ABCD,且C1D1∥平面ABB1A1,所以b⊄α有可能成立,故排除B;对于选项C,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABCD∩平面ABB1A1=AB,C1D1∥平面ABCD,且C1D1∥平面ABB1A1,所以b∥α,且b(1)以正方体为模型,将线面化归成正方体中的线面进行判断.(2)以身边的物体作为模型判断,如笔,墙角作为直线,桌面,墙面,地面作为平面.提醒:在判断直线与平面的位置关系时,三种情形都要考虑到,避免疏忽或遗漏.(1)平面与平面相交的判断,主要是找出一个交点.(2)平面与平面平行的判断,主要是说明两个平面没有公共点.1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B B.3个 【解析】选B.如图所示,结合图形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1B1C1D1(1)与直线AB平行的直线,并用“∥”表示;(2)与直线AA1异面的直线;(3)与直线AD垂直的平面,并用合适的符号表示.【解析】如图.(1)与直线AB平行的直线有A1B1,CD,C1D1,用符号表示为:AB∥A1B1,AB∥CD,AB∥C1D1;(2)与直线AA1异面的直线有CD,C1D1,BC,B1C1(3)与直线AD垂直的平面有平面ABB1A1,平面DCC1D1,用符号表示为:AD⊥平面ABB1A1,AD⊥平面DCC1D课堂检测·素养达标1.若α,β是两个不同的平面,则它们的公共点有 () C.无数个 【解析】选D.若两个平面有公共点,则公共点有无数个;若两个平面平行,则它们的公共点有0个.2.若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是 ()【解析】选D.由于直线a不平行于平面α,则a在α内或a与α相交,故A错;当a⊂α时,在平面α内存在与a平行的直线,故B错;因为α内的直线也可能与a平行或异面,故C错;由线面平行的定义知D正确.3.(教材二次开发:练习改编)能正确表示点A在直线l上且直线l在平面α内的是 ()【解析】选C.选项A只表示点A在直线l上;选项D表示直线l与平面α相交于点A;选项B中的直线l有部分在平行四边形的外面,所以不能表示直线在平面α内.4.如图所示,用符号语言表示以下各概念:①点A,B在直线a上;

②直线a在平面α内;

③点D在直线b上,点C在平面α内.

【解析】根据点、线、面位置关系及其表示方法可知:①A∈a,B∈a,②a⊂α,③D∈b,C∈α.答案:①A∈a,B∈a②a⊂α③D∈b,C∈α5.如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,则这两个平面位置关系如何?试画图分析.【解析】这两个平面平行(如图①)或相交(如图②).九构成空间几何体的基本元素(15分钟30分)⊂平面α,P∉m,Q∈m,则 ()∉α,Q∈α∈α,Q∉α∉α,Q∉α∈α【解析】选D.由点、线、面之间的位置关系可判断P与α的关系不确定,Q∈α.2.直线a在平面γ外,则 ()A.a∥γ C.a∩γ=A 【解析】γ外,其包括直线a与平面γ相交或平行两层含义,故a与γ至多有一个公共点.3.如果两条直线a∥b,且a∥平面α,那么b和平面α的位置关系是 ()A.相交 B.b∥α⊂α∥α或b⊂α【解析】⊄α时,b∥α;b⊂α也有可能成立.1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有【解析】如图所示,与平面ABB1A1平行的直线有6条:D1E1,E1E,ED,DD1,D1E,DE1答案:65.下列说法:①若直线a不与平面α相交,则a∥α;②若直线a∥b,直线b⊂α,则a∥α;③若直线a∥b,b⊂α,那么直线a就平行于平面α内的无数条直线.其中说法正确的为.(填序号)

【解析】对于①,直线a不与平面α相交包括两种情况:a∥α或a⊂α,所以a和α不一定平行,所以①②,因为直线a∥b,b⊂α,则只能说明a和b无公共点,但a可能在平面α内,所以a不一定平行于α,所以②③,因为a∥b,b⊂α,所以a⊂α或a∥α,所以a与平面α内的无数条直线平行,所以③说法正确.答案:③6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1(1)与直线B1C1(2)与直线B1C1(3)与直线B1C1(4)与平面BCC1B1平行的平面有哪几个?(5)与平面BCC1B1垂直的平面有哪几个?【解析】(1)与直线B1C1不平行也不相交的直线:直线AA1、直线DD1(2)与直线B1C1平行的平面:平面ADD1A(3)与直线B1C1垂直的平面:平面ABB1A1、平面CC1D(4)与平面BCC1B1平行的平面:平面ADD1A1(5)与平面BCC1B1垂直的平面:平面ABB1A1、平面A1B1C1D1、平面CDD1(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.如果一条直线与两条异面直线中的一条相交,那么它与另一条直线之间的位置关系是 ()D.可能平行、可能相交、可能异面【解析】选D.可以利用长方体的棱所在的直线找到平行,相交,异面的情况.l外两点可以作l的平行线条数为 ()A.1条 B.2条 【解析】1B1C1D1令A1B1所在直线为直线l,过l外的两点A、B可以作一条直线与l平行,过l外的两点B、C不能作直线与l平行.3.如图,模块①～⑤均由4个棱长为1的小正方体构成,模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成.现从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体,则下列选择方案中,能够完成任务的为 ()A.模块①,②,⑤ B.模块①,③,⑤C.模块②,④,⑤ D.模块③,④,⑤【解析】⑤放入⑥中的空缺部分,然后在上层放入①②可得棱长为3的大正方体.l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是 ()A.l1⊥l4B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行D.l1与l4的位置关系不确定【解析】选D.如图,构建长方体ABCD-A1B1C1D1记l1=DD1,l2=DC,l3=DA.若取l4=AA1,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,此时l1∥l4l4=C1D,则l1与l4相交;若取l4=BA,则l1与l4异面;若取l4=C1D1,则l1与l4相交且垂直,因此l1与l4的位置关系不能确定.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.关于直线与平面,下列说法中,正确的是 ()A.若一个平面内的任何直线都与另一个平面无公共点,则这两个平面平行D.若一条直线和一个平面平行,经过这条直线的任何平面都与已知平面平行【解析】AB.显然AB选项正确;对于选项C中,两点所在直线与平面平行时可以;对于选项D中,经过这条直线的平面与已知平面可能相交.6.平面α与平面β平行,且a⊂α,下列四种说法中正确的是 ()【解析】选BD.如图,在长方体ABCD-A′B′C′D′中,平面ABCD∥平面A′B′C′D′,A′D′⊂平面A′B′C′D′,AB⊂平面ABCD,A′D′与AB不平行,且A′D′与AB垂直,所以A、C错.三、填空题(每小题5分,共10分)7.已知下列说法:(1)若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;(2)若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;(3)若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;(4)若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.其中正确的序号是.(将你认为正确的序号都填上)

【解析】因为在两个平行平面内的两条直线没有公共点,所以可能平行,也可能异面,所以(3)正确;(4)中a与β也可能平行.答案:(3)8.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,设AB=3,BC=2,AA1=1,则点B到面ADD1A1的距离为,直线AC与面A1B1C1D1的距离为,面ABB1A1与面DCC1D【解析】在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB⊥面ADD1A所以点B到面ADD1A1即点B到面ADD1A1∥面A1B1C1D则直线AC上任意一点到面A1B1C1D1由AA1⊥面A1B1C1D1,所以点A到面A1B1C1D1的距离为AA1=1,所以直线AC与面A1B1C1面ABB1A1与面DCC1D1平行,且BC与面ABB1A1、面DCC1D所以线段BC为面ABB1A1与面DCC1D1故面ABB1A1与面DCC1D1答案:312四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′中,P是A′D的中点,Q是B′D′的中点,判断直线PQ与平面AA′B′B的位置关系,并利用定义证明.【解析】直线PQ与平面AA′