2.7函数的图象学案文含解析

第七节函数的图象【知识重温】一、必记2个知识点1．列表描点法作图其基本步骤是列表、描点、连线，首先：确定函数的定义域；化简函数解析式；讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性)；其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值、最小值、与坐标轴的交点)，描点，连线．2．图象变换法作图(1)平移变换(2)对称变换(ⅰ)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称))y＝①________；(ⅱ)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称))y＝②________；(ⅲ)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于原点对称))y＝③________；(ⅳ)y＝ax(a>0且a≠1)eq\o(→,\s\up7(关于y＝x对称))y＝④________.(3)翻折变换(ⅰ)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x轴上方图象),\s\do5(将x轴下方图象翻折上去))y＝⑤________.(ⅱ)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留y轴右边图象，并作其),\s\do5(关于y轴对称的图象))y＝⑥________.(4)伸缩变换y＝⑦________.(ⅱ)y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>1，纵坐标伸长为原来的a倍，横坐标不变),\s\do5(0<a<1，纵坐标缩短为原来的a倍，横坐标不变))y＝⑧________.二、必明2个易误点1．图象变换的根本是点的变换，如函数y＝f(2x)的图象到函数y＝f(2x＋2)的平移变换，是点(x，y)到对应点(x＋1，y)，而不是到点(x＋2，y)或其他．2．明确一个函数的图象本身关于y轴对称与两个函数的图象关于y轴对称的不同，前者是自身对称，后者是两个不同的函数的对称关系．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．()(2)若函数y＝f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．()(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同．()(4)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到．()二、教材改编2．函数f(x)＝x＋eq\f(1,x)的图象关于()A．y轴对称B．x轴对称C．原点对称D．直线y＝x对称3．下列图象是函数y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，x<0，,x－1，x≥0))的图象的是()三、易错易混4．函数f(x)＝ln(x2＋1)的图象大致是()5．将函数y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度得到函数________的图象．四、走进高考6．[2020·天津卷]函数y＝eq\f(4x,x2＋1)的图象大致为()eq\x(考点一)作函数的图象[自主练透型]分别画出下列函数的图象：(1)y＝|lg(x－1)|；(2)y＝2x＋1－1；(3)y＝eq\f(2x－1,x－1).悟·技法图象变换法作函数的图象(1)熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x＋eq\f(1,x)的函数．(2)若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序.考点二函数图象的辨识[互动讲练型][例1](1)[2020·浙江卷]函数y＝xcosx＋sinx在区间[－π，π]上的图象可能是()(2)[2021·唐山市高三年级摸底考试]函数f(x)＝eq\f(x2－1,|x|)的图象大致为()悟·技法识图3种常用的方法[变式练]——(着眼于举一反三)1．[2021·长沙市四校高三年级模拟考试]函数f(x)＝eq\f(sinx,x2＋1)的图象大致为()2．[2021·广东省七校联考试题]函数f(x)＝eq\f(ex－e－x,x2＋|x|－2)的部分图象大致是()考点三函数图象的应用[分层深化型]考向一：研究函数的性质[例2][2021·山西大同模拟]函数f(x)＝|lg(2－x)|在下列区间中为增函数的是()A．(－∞，1]B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(4,3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))D．[1,2)考向二：求参数的值或取值范围[例3]在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________．考向三：求不等式的解集[例4]已知函数f(x)＝2x－x－1，则不等式f(x)>0的解集是()A．(－1,1)B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(0,1)D．(－∞，0)∪(1，＋∞)悟·技法函数图象应用的常见题型与求解策略(1)研究函数性质：①根据已知或作出的函数图象，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值．②从图象的对称性，分析函数的奇偶性．③从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．④从图象与x轴的交点情况，分析函数的零点等．(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化为两函数图象的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图象，数形结合求解．(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解.[变式练]——(着眼于举一反三)3．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)C．f(x)是奇函数，递减区间是(－1,1)D．f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)4．[2021·北京八中月考]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ex－1，x>0，,x2－2x，x≤0，))若f(x)≥ax，则实数a的取值范围是________．第七节函数的图象【知识重温】①－f(x)②f(－x)③－f(－x)④logax⑤|f(x)|⑥f(|x|)⑦f(ax)⑧af(x)【小题热身】1．答案：(1)√(2)×(3)×(4)×2．解析：函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)且f(－x)＝－f(x)，即函数f(x)为奇函数，故选C.答案：C3．解析：其图象是由y＝x2图象中x<0的部分和y＝x－1图象中x≥0的部分组成．答案：C4．解析：依题意，得f(－x)＝ln(x2＋1)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，即函数f(x)的图象关于y轴对称，故排除C.因为函数f(x)过定点(0,0)，排除B，D，故选A.答案：A5．解析：y＝f(－x)的图象向右平移1个单位长度，是将f(－x)中的x变成x－1.答案：y＝f(－x＋1)6．解析：解法一令f(x)＝eq\f(4x,x2＋1)，显然f(－x)＝－f(x)，f(x)为奇函数，排除C，D，由f(1)>0，排除B，故选A.解法二(特殊点法)令f(x)＝eq\f(4x,x2＋1)，由f(1)>0，f(－1)<0，故选A.答案：A课堂考点突破考点一解析：(1)首先作出y＝lgx的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y＝lg(x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg(x－1)|的图象，如图①所示(实线部分)．(2)将y＝2x的图象向左平移1个单位，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y＝2x＋1－1的图象，如图②所示．(3)∵y＝2＋eq\f(1,x－1)，故函数的图象可由y＝eq\f(1,x)的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③所示．考点二例1解析：(1)令f(x)＝xcosx＋sinx，所以f(－x)＝(－x)cos(－x)＋sin(－x)＝－xcosx－sinx＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除C，D，又f(π)＝－π<0，排除B，故选A.(2)因为f(x)＝eq\f(x2－1,|x|)的定义域为{x|x≠0}，且f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，排除选项B，C.当x>0时，f(x)＝eq\f(x2－1,x)＝x－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上单调递增，排除选项A.故选D.答案：(1)A(2)D变式练1．解析：通解函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝eq\f(sin－x,－x2＋1)＝eq\f(－sinx,x2＋1)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数，则其图象关于原点对称，故排除选项C，D；当0<x<π时，f(x)＝eq\f(sinx,x2＋1)>0，故排除选项B.所以选A.优解由f(0)＝0，排除选项C，D；由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))>0，排除选项B.所以选A.答案：A2．解析：因为f(－x)＝eq\f(e－x－ex,x2＋|x|－2)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，当x∈(0,1)时，f(x)＝eq\f(ex－e－x,|x|＋2|x|－1)<0，当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0.故选D.答案：D

考点三例2解析：将y＝lgx的图象关于y轴对称得到y＝lg(－x)的图象，再向右平移两个单位长度，得到y＝lg[－(x－2)]的图象，将得到的图象在x轴下方的部分翻折上来，就可以得到f(x)＝|lg(2－x)|的图象如图所示，由图象知，在选项中的区间上，满足f(x)是增函数的显然只有D项．故选D项．答案：D例3解析：函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，故2a＝－1，解得a＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)例4解析：在同一平面直角坐标系中画出h(x)＝2x，g(x)＝x＋1的图象如图．由图象得交点坐标为(0,1)和(1,2)．又f(x)>0等价于2x>x＋1，结合图象，可得x<0或x>1.故f(x)>0的解集为(－∞，0)∪(1，＋∞)．故选D.答案：D变式练3．解析：将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x，x≥0，,－x2－2x，x<0，))画出函数f(x)的大致图象，如图，观察图象可知，函数f(x)为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．答案：C4．解析：作出函数f(x