3.3.2抛物线的简单几何性质课件高二上学期数学选择性

抛物线的简单几何性质湘教版

数学

选择性必修第一册第3章圆锥曲线与方程课标要求1.掌握抛物线的几何性质;2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题;3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题.基础落实·必备知识一遍过重难探究·能力素养速提升目录索引

学以致用·随堂检测促达标基础落实·必备知识一遍过知识点抛物线的几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)图象范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈R

y≤0,x∈R对称性对称轴:x轴对称轴:

顶点坐标原点(0,0)离心率e=1

抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离之比y≥0,x∈Ry轴

名师点睛1.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心.2.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线.3.抛物线的离心率是确定的,e=1.4.抛物线的焦点和准线分别在顶点的两侧,且它们到顶点的距离相等,均5.对于抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦(其中AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦,称为焦点弦,设A(x1,y1),B(x2,y2))有如下结论:(1)|AB|=x1+x2+p;(2)在所有的焦点弦中,垂直于对称轴的焦点弦弦长最短,称为抛物线的通径;(3)若直线AB的倾斜角为α(α≠0),则过关自诊1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)(1)原点是抛物线y2=2px(p>0)的对称中心.(

)(2)在方程y2=2px(p>0)中,对于同一个x,p越大,|y|也越大,说明抛物线的开口越大.(

)(3)不同抛物线的标准方程不同,但是离心率都是相等的.(

)2.结合直线与圆相切时直线与圆只有一个交点,那么当直线与抛物线只有一个公共点,直线与抛物线一定相切吗?×√√提示可能相切,也可能相交,当直线与抛物线的对称轴平行或重合时,直线与抛物线相交且只有一个公共点.重难探究·能力素养速提升探究点一抛物线几何性质的应用【例1】已知抛物线y2=8x.(1)求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围;(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,其中|OA|=|OB|.若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.分析

根据抛物线标准方程的特征及其几何性质求解.解

(1)抛物线y2=8x的顶点坐标、焦点坐标、准线、对称轴、自变量x的范围分别为(0,0),(2,0),直线x=-2,x轴,x≥0.规律方法

抛物线的几何性质的应用方法

(1)抛物线的焦点始终在对称轴上,顶点就是抛物线与对称轴的交点,准线始终与对称轴垂直,准线与对称轴的交点和焦点关于顶点对称,顶点到焦点的距离等于顶点到准线的距离,大小为

(p>0)

.(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时,要注意利用几何图形形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题.变式训练1已知A,B是抛物线y2=2px(p>0)上不同的两点,O为坐标原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点F,求直线AB的方程.探究点二直线与抛物线的位置关系角度1抛物线的焦点弦问题【例2】(1)过抛物线y2=8x的焦点,且倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为

.

16解析

由抛物线y2=8x的焦点坐标为(2,0),得直线的方程为y=x-2,设直线与抛物线的交点坐标为(x1,y1),(x2,y2).将y=x-2代入y2=8x得(x-2)2=8x,即x2-12x+4=0.所以x1+x2=12,所以弦长为x1+x2+p=12+4=16.(2)直线l过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线交于A,B两点,若|AB|=8,则直线l的方程为

.

x+y-1=0或x-y-1=0解析

因为抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),若l与x轴垂直,则|AB|=4,不符合题意,所以可设所求直线l的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2).所以所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.规律方法

直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,直线的斜率为k.(1)一般的弦长公式:|AB|=|x1-x2|.(2)焦点弦长公式:当直线经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点时,弦长|AB|=x1+x2+p.变式训练2已知直线l经过抛物线y2=6x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.解

设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p=x1+x2+3=9,所以x1+x2=6.于是线段AB的中点M的横坐标是3,角度2直线与抛物线的位置关系【例3】设直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时,l与C有一个公共点,有两个公共点,没有公共点?分析

讨论由直线方程与抛物线方程组成的方程组的解的情况,就可以判断直线l与抛物线C的位置关系.消去y并整理,得k2x2+(2k-4)x+1=0.当k≠0时,方程k2x2+(2k-4)x+1=0为关于x的一元二次方程.所以Δ=(2k-4)2-4k2=16(1-k).当Δ=0,即k=1时,l与C有一个公共点;当Δ>0,即k<1,且k≠0时,l与C有两个公共点;当Δ<0,即k>1时,l与C没有公共点.当k=0时,直线l的方程为y=1,显然与抛物线C交于点(,1),这时,l与C只有一个公共点.综上所述,当k=1或k=0时,l与C有一个公共点;当k<1且k≠0时,l与C有两个公共点;当k>1时,l与C没有公共点.规律方法

直线与抛物线位置关系的判断方法直线l:y=kx+b,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立消元得:k2x2+(2kb-2p)x+b2=0.(1)若k2=0,此时直线与抛物线有一个公共点,该直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.(2)若k2≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个公共点;当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个公共点;当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有公共点.变式训练3过点(0,1)且与抛物线y2=4x只有一个公共点的直线有(

)A.1条

B.2条

C.3条

D.0条C解析

易知过点(0,1),且斜率不存在的直线为x=0,满足与抛物线y2=4x只有一个公共点.当斜率存在时,设直线方程为y=kx+1,与y2=4x联立得k2x2+2kx+1=4x,即k2x2+(2k-4)x+1=0.当k=0时,方程有一个解,即直线与抛物线只有一个公共点;当k≠0时,令Δ=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,即直线与抛物线有一个公共点.所以满足题意的直线有3条.故选C.角度3数形结合法求解焦点分焦点弦的比值问题

B准方程为y2=6x.设准线l与x轴交于点A,则|AF|=3.过点Q作QQ1⊥l于点Q1,变式探究本例题条件不变,求直线PQ的斜率.规律方法

抛物线的焦点分焦点弦的比值问题的求法求解与过抛物线的焦点的弦与抛物线的交点有关的问题,可以借助抛物线的定义,将过焦点的弦的长度转化为抛物线上的点到准线的距离,再结合平面几何的有关性质(如平行线分线段成比例、三角形相似等知识)求解.探究点三利用抛物线的几何性质求解与抛物线上的点有关的最值问题【例5】若点P在抛物线y2=x上,点Q在圆(x-3)2+y2=1上,则|PQ|的最小值为

.

解析

将y2=x代入(x-3)2+y2=1,得x2-5x+8=0,Δ=25-32<0,故抛物线与圆不相交,圆的圆心为A(3,0),则|PQ|≥|PA|-|AQ|=|PA|-1,当且仅当P,Q,A三点共线且Q在A,P中间时,等号成立,所以当|PA|取得最小值时,|PQ|最小.规律方法

求解与抛物线上的点有关的最值问题,可借助抛物线的有关知识转化为函数的最值求解,但要注意抛物线的范围.变式训练4已知A(2,0),B为抛物线y2=x上的一点,则|AB|的最小值为

.

本节要点归纳1.知识清单:抛物线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).2.方法归纳:利用几何性质根据待定系数法求抛物线的标准方程,根据方程思想求解直线与抛物线的位置关系,根据函数最值转化法求与抛物线上的点有关的最值.3.注意事项:讨论抛物线的几何性质,一定要利用抛物线的标准方程;解焦点弦问题时注意应用抛物线的定义;直线与抛物线相切和直线与抛物线只有一个公共点不是充要条件.学以致用·随堂检测促达标123456789101112131415A级必备知识基础练1.以x轴为对称轴,通径长为8,顶点在坐标原点的抛物线的标准方程是(

)A.y2=8x或x2=8yB.y2=-8x或x2=-8yC.y2=8x或y2=-8xD.x2=8y或x2=-8yC123456789101112131415解析

当抛物线的焦点在x轴的正半轴上时,设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),可得2p=8,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=8x;当抛物线的焦点在x轴的负半轴上时,设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),可得2p=8,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=-8x.所以所求抛物线的标准方程为y2=±8x.故选C.1234567891011121314152.已知F为抛物线C:x2=4y的焦点,直线l与C交于A,B两点,若AB中点的纵坐标为3,则|AF|+|BF|的值(

)A.等于8 B.等于7C.等于5 D.随A,B两点坐标变化而变化A解析

设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|+|BF|=y1+y2+p=6+2=8,故选A.1234567891011121314153.抛物线C:y2=2px(p>0)上一点(1,y0)到其焦点的距离为3,则抛物线C的标准方程为(

)A.y2=4x B.y2=8xC.y2=12x D.y2=16xB解析

抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=,由抛物线的定义以及抛物线上一点(1,y0)到其焦点的距离为3,可得1-()=3,解得p=4,所以抛物线的标准方程为y2=8x.故选B.1234567891011121314154.已知点(x,y)在抛物线y2=4x上,则z=x2+y2+3的最小值是(

)A.2 B.3

C.4

D.0B解析

因为点(x,y)在抛物线y2=4x上,所以x≥0.1234567891011121314155.(多选题)平面内到定点F(0,1)和到定直线l:y=-1的距离相等的动点的轨迹为曲线C,则(

)A.曲线C的标准方程为x2=4yB.曲线C关于y轴对称C.当点P(x,y)在曲线C上时,y≥2D.当点P在曲线C上时,点P到直线l的距离d≥2AB解析

由抛物线定义可知曲线C是以F为焦点,直线l为准线的抛物线,其标准方程为x2=4y,曲线关于y轴对称,故A正确,B正确;由x2=4y知y≥0,故C错误;点P到直线l的距离d≥1,故D错误.故选AB.1234567891011121314156.如图1是抛物线型拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2米,水面宽

米,建立如图2所示的直角坐标系,则抛物线的标准方程为

;水面下降1米后,水面宽

米.

图1图2x2=-4y1234567891011121314151234567891011121314157.已知抛物线的焦点F在x轴的正半轴上,直线l过点F且垂直于x轴,l与抛物线交于A,B两点,O为坐标原点.若△OAB的面积等于4,则抛物线的标准方程为

.

1234567891011121314158.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,且抛物线C与y=2x的一个交点是M(m,2).(1)求抛物线C的标准方程;(2)若直线l:y=x+n(n≠0)与抛物线C交于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点),求n的值.123456789101112131415123456789101112131415B级关键能力提升练9.已知直线l过抛物线C:y2=x的焦点,并交抛物线C于A,B两点,|AB|=2,则弦AB的中点G的横坐标是(

)C123456789101112131415解析

如图所示,由题意可得抛物线的准线m的方程为x=.过点G向准线m作垂线,垂足为D,过A,B分别向准线m作垂线,垂足为A',B',则|AA'|+|BB'|=|AB|=2.因为弦AB的中点为G,12345678910111213141510.

如图,过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l交抛物线于点A,B,交其准线于点C,准线与对称轴交于点M.若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的标准方程为(

)B123456789101112131415解析

由抛物线定义,|BF|等于点B到准线的距离,因为|BC|=2|BF|,所以∠BCM=30°.故抛物线的标准方程为y2=3x.故选B.12345678910111213141511.[2024甘肃金昌高三统考阶段练习]倾斜角为135°的直线l与抛物线y2=8x相切,分别与x轴、y轴交于A,B两点,过A,B两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为(

)B解析

由题可设直线的方程l:y=-x+t,∴Δ=82-4×(-8t)=0,解得t=-2,∴l:y=-x-2.123456789101112131415令y=0,得x=-2,令x=0,得y=-2,即A(-2,0),B(0,-2),∴过A,B两点的最小圆即以AB为直径的圆,其圆心为(-1,-1),半径为

,方程为(x+1)2+(y+1)2=2.又抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,12345678910111213141512.(多选题)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离是2,过点F的直线l与抛物线交于A,B两点,M为线段AB的中点,O为坐标原点,则下列结论正确的是(

)A.C的准线方程为x=-1B.线段AB的长度的最小值为4C.M的坐标可能是(3,2)D.存在直线l,使得OA与OB垂直ABC

123456789101112131415解析

由已知可得p=2,所以抛物线的标准方程为y2=4x,则点F(1,0),准线的方程为x=-1,故A正确;当AB⊥x轴时,AB的长度取最小值,令x=1,代入抛物线方程解得y=±2,所以AB的长度的最小值为4,故B正确;设直线l的方程为x=my+1,A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),将x=my+1代入抛物线方程可得y2-4my-4=0,Δ=16(m2+1)>0,则yA+yB=4m,所以xA+xB=m(yA+yB)+2=4m2+2,xM=2m2+1,当m=1时,可得M(3,2),故C