第01讲 集合（八大题型）（讲义）（原卷版）

第01讲集合目录TOC\o"1-2"\h\z\u01考情透视·目标导航 202知识导图·思维引航 303考点突破·题型探究 4知识点1：元素与集合 4知识点2：集合间的基本关系 5知识点3：集合的基本运算 5知识点4：集合的运算性质 5解题方法总结 6题型一：集合的表示：列举法、描述法 6题型二：集合元素的三大特征 7题型三：元素与集合间的关系 7题型四：集合与集合之间的关系 8题型五：集合的交、并、补运算 9题型六：集合与排列组合的密切结合 9题型七：容斥原理 10题型八：集合的创新定义运算 1104真题练习·命题洞见 1205课本典例·高考素材 1306易错分析·答题模板 15易错点：在解含参数集合问题时忽视空集 15答题模板 15

考点要求考题统计考情分析（1）集合的概念与表示（2）集合的基本关系（3）集合的基本运算2024年I卷第1题，5分2023年I卷第1题，5分2023年II卷第2题，5分2022年I卷II卷第1题，5分2021年I卷II卷第1题，5分2020年I卷II卷第1题，5分本讲为高考命题热点，题型以选择题为主，考查内容、频率、题型、难度均变化不大.重点是集合间的基本运算，主要考查集合的交、并、补运算，常与一元二次不等式解法、一元一次不等式解法、分式不等式解法、指数、对数不等式解法结合.同时适当关注集合与充要条件相结合的解题方法.复习目标：1、了解集合的含义，了解全集、空集的含义.2、理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系.3、会求两个集合的并集、交集与补集.4、能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．

知识点1：元素与集合1、集合的含义与表示某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象．2、集合元素的特征（1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素．（2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现．（3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关．3、元素与集合的关系元素与集合之间的关系包括属于(记作)和不属于(记作)两种．4、集合的常用表示法集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)．知识点诠释：（1）列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号括起来.（2）描述法在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.5、常用数集的表示数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号或【诊断自测】（2024·广东惠州·一模）设集合，则的元素个数为（

）A．3 B．4 C．9 D．无穷多个知识点2：集合间的基本关系（1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）.（2）真子集：对于两个集合与，若，且存在，但，则集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于”或“真包含”.（3）相等：对于两个集合与，如果，同时，那么集合与相等，记作．（4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.【诊断自测】（2024·高三·四川成都·阶段练习）已知集合，则集合的子集个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8知识点3：集合的基本运算（1）交集：由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，叫做与的交集，记作，即．（2）并集：由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，叫做与的并集，记作，即．（3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即．【诊断自测】（2024·陕西西安·一模）已知全集，集合，，则（

）．A． B． C． D．知识点4：集合的运算性质（1），，，，．（2），，，，．（3），，．（4）【诊断自测】（2024·江西鹰潭·一模）已知集合，集合，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．解题方法总结（1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个．（2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．（3）．（4）,．题型一：集合的表示：列举法、描述法【典例1-1】（2024·广东江门·一模）已知集合，，则集合B中所有元素之和为（

）A．0 B．1 C．－1 D．【典例1-2】已知集合，则（

）A． B． C． D．【方法技巧】1、列举法，注意元素互异性和无序性，列举法的特点是直观、一目了然.2、描述法，注意代表元素.【变式1-1】（2024·新疆·一模）已知集合，则集合的元素个数为（

）A．3 B．2 C．4 D．5【变式1-2】（2024·高三·山东泰安·期中）已知集合，，则中的元素个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6题型二：集合元素的三大特征【典例2-1】设集合，，已知且，则的取值集合为.【典例2-2】由构成的集合中，元素个数最多是.【方法技巧】1、研究集合问题，看元素是否满足集合的特征：确定性、互异性、无序性。2、研究两个或者多个集合的关系时，最重要的技巧是将两集合的关系转化为元素间的关系。【变式2-1】（2024·高三·天津河西·期中）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则．【变式2-2】（2024·高三·山东潍坊·期中）英语单词“banana”所含的字母组成的集合中含有个元素.【变式2-3】（2024·云南大理·模拟预测）已知，其中，则（

）A．0 B．或 C． D．题型三：元素与集合间的关系【典例3-1】已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【典例3-2】（2024·高三·山东青岛·开学考试）已知，则的取值为（

）A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2【方法技巧】1、一定要牢记五个大写字母所表示的数集，尤其是N与N*的区别．2、当集合用描述法给出时，一定要注意描述的是点还是数．【变式3-1】（2024·全国·模拟预测）已知集合，则下列表示正确的是（

）.A． B．C． D．【变式3-2】（2024·贵州贵阳·模拟预测）若集合，其中且，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3-3】已知，若，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．题型四：集合与集合之间的关系【典例4-1】（2024·四川德阳·三模）已知集合，，若，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例4-2】（2024·全国·模拟预测）已知集合，则满足条件的集合的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【方法技巧】1、注意子集和真子集的联系与区别.2、判断集合之间关系的两大技巧：（1）定义法进行判断（2）数形结合法进行判断【变式4-1】（2024·河南驻马店·一模）已知集合，则与的关系是（

）A． B．C．且 D．不能确定【变式4-2】已知集合，若，则（

）A． B． C． D．【变式4-3】（2024·青海西宁·二模）设集合,若,则（

）A． B． C．1 D．3题型五：集合的交、并、补运算【典例5-1】已知集合，，则（

）A． B． C． D．【典例5-2】（2024·广东深圳·二模）对于任意集合，下列关系正确的是（

）A． B．C． D．【方法技巧】1、注意交集与并集之间的关系2、全集和补集是不可分离的两个概念【变式5-1】已知集合，，，则=（

）A． B．C． D．【变式5-2】（2024·四川德阳·二模）已知集合，则（

）A． B．C． D．题型六：集合与排列组合的密切结合【典例6-1】（2024·福建厦门·二模）设集合，，那么集合中满足的元素的个数为（

）A．60 B．100 C．120 D．130【典例6-2】（2024·全国·模拟预测）已知的三个顶点的横纵坐标均在集合内，则这样的三角形共有（

）A．64个 B．125个C．432个 D．516个【典例6-3】，且，则称为N的“有序子集列”．现有，则N的“有序子集列”的个数为（

）A．540个 B．1280个 C．3240个 D．7680个【方法技巧】利用排列与组合思想解决集合或者集合中元素个数的问题，需要运用分析与转化的思想方法。【变式6-1】设集合，则从A集合到B集合所有不同映射的个数是（

）A．81 B．64 C．12 D．以上都不正确【变式6-2】已知，则由集合构成的集合的个数为（

）A． B．C． D．【变式6-3】（2024·高三·四川雅安·开学考试）已知集合，非空集合，且中所有元素之和为奇数，则满足条件的集合共有（

）A．12个 B．14个 C．16个 D．18个【变式6-4】（2024·上海静安·一模）已知直线的斜率大于零，其系数a、b、c是取自集合中的3个不同元素，那么这样的不重合直线的条数是（

）A．11 B．12 C．13 D．14题型七：容斥原理【典例7-1】（2024·高三·北京·强基计划）一群学生参加学科夏令营，每名同学参加至少一个学科考试．已知有100名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，48名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的3倍，则学生总数为（

）A．108名 B．120名 C．125名 D．前三个答案都不对【典例7-2】“四书五经”是中国传统文化瑰宝，是儒家思想的核心载体，其中“四书”指《大学》《中庸》《论语》《孟子》．某大学为了解本校学生阅读“四书”的情况，随机调查了200位学生，其中阅读过《大学》的有60位，阅读过《论语》的有160位，阅读过《大学》或《论语》的有180位，阅读过《大学》且阅读过《论语》及《中庸》的有20位．则该校阅读过《大学》及《论语》但未阅读过《中庸》的学生人数与该校学生总数比值的估计值是（

）A．0.1 B．0.2C．0.3 D．0.4【方法技巧】容斥问题本身存在包容与排斥的一种计数问题，所以我们在处理这一类问题的时候必须要注意扣除掉重复的部分，也要保证没有遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理.【变式7-1】（2024·高三·湖北·期末）某校高一年级有1200人，现有两种课外实践活动供学生选择，要求每个同学至少选择一种参加.统计调查得知，选择其中一项活动的人数占总数的60%到65%，选择另一项活动的人数占50%到55%，则下列说法正确的是（

）A．同时选择两项参加的人数可能有100人B．同时选择两项参加的人数可能有180人C．同时选择两项参加的人数可能有260人D．同时选择两项参加的人数可能有320人【变式7-2】（2024·高三·福建三明·期中）某班有名同学参加语文、数学、英语兴趣小组.已知仅参加一个兴趣小组的同学有人，同时参加语文和数学兴趣小组的同学有人，同时参加数学和英语兴趣小组的同学有人，同时参加语文和英语兴趣小组的同学有人，则同时参加这三个兴趣小组的同学有人.【变式7-3】（2024·江西·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为.题型八：集合的创新定义运算【典例8-1】（多选题）（2024·山西·一模）群的概念由法国天才数学家伽罗瓦（1811-1832）在19世纪30年代开创，群论虽起源于对代数多项式方程的研究，但在量子力学､晶体结构学等其他学科中也有十分广泛的应用.设是一个非空集合，“”是一个适用于中元素的运算，若同时满足以下四个条件，则称对“”构成一个群：（1）封闭性，即若，则存在唯一确定的，使得；（2）结合律成立，即对中任意元素都有；（3）单位元存在，即存在，对任意，满足，则称为单位元；（4）逆元存在，即任意，存在，使得，则称与互为逆元，记作.一般地，可简记作可简记作可简记作，以此类推.正八边形的中心为.以表示恒等变换，即不对正八边形作任何变换；以表示以点为中心，将正八边形逆时针旋转的旋转变换；以表示以所在直线为轴，将正八边形进行轴对称变换.定义运算“”表示复合变换，即表示将正八边形先进行变换再进行变换的变换.以形如，并规定的变换为元素，可组成集合，则对运算“”可构成群，称之为“正八边形的对称变换群”，记作.则以下关于及其元素的说法中，正确的有（

）A．，且B．与互为逆元C．中有无穷多个元素D．中至少存在三个不同的元素，它们的逆元都是其本身【典例8-2】已知全集且集合、是非空集合，定义且，已知，，则.【方法技巧】1、集合的创新定义题核心在于读懂题意。读懂里边的数学知识，一般情况下，它所涉及到的知识和方法并不难，难在转化.2、集合的创新定义题，主要是在题干中定义“新的概念，新的计算公式，新的运算法则，新的定理”，要根据这些新定义去解决问题，有时为了有助于理解，还可以用类比的方法进行理解。【变式8-1】定义集合运算：，集合，则集合所有元素之和为．【变式8-2】如果集合U存在一组两两不交（两个集合交集为空集时，称为不交）的非空子集，且满足，那么称子集组构成集合U的一个k划分．若集合I中含有4个元素，则集合I的所有划分的个数为（

）A．7个 B．9个 C．10个 D．14个【变式8-3】（2024·上海嘉定·二模）若规定集合的子集为的第个子集，其中，则的第211个子集是．1．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知集合，则（

）A． B． C． D．2．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）集合，则（

）A． B． C． D．3．（2023年北京高考数学真题）已知集合，则（

）A． B．C． D．4．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）设集合，，若，则（

）．A．2 B．1 C． D．5．（2023年高考全国甲卷数学（理）真题）设全集,集合，（

）A． B．C． D．6．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）