考研数学一（多元函数积分的概念、计算及其应用）模拟试卷1（共122题）

考研数学一（多元函数积分的概念、计算及其应用）模拟试卷1（共4套）（共122题）考研数学一（多元函数积分的概念、计算及其应用）模拟试卷第1套一、解答题(本题共30题，每题1.0分，共30分。)1、f(x，y)dy；标准答案：如图9．12所示．知识点解析：暂无解析2、f(x，y)dy(t＞0)；标准答案：如图9．13所示．当x∈[0，t2]时，≤t(t＞0)，于是知识点解析：暂无解析3、极坐标系下的累次积分f(rcosθ，rsinθ)rdr．标准答案：在直角坐标系Oθr中画出D′的草图(如图9．14)．原积分=f(rcosθ．rsinθ)rdrdθ．r2=sin2θ=sin(π一2θ)．于是π一2θ=arcsinr2，θ=arcsinr2．因此原积分=f(rcosθ，rsinθ)rdθ．知识点解析：暂无解析4、I=dy；标准答案：如图9．15所示．知识点解析：暂无解析5、I=ln(1+x2+y2)dy(R＞0)．标准答案：如图9．16所示．知识点解析：暂无解析6、I=x3y2zdV，其中Ω是由x=1，x=2，y=0，y=x2，z=0及z=所围成的区域．标准答案：(Ⅰ)区域Ω由平面x=1，x=2，y=0，z=0及抛物柱面y=x2与双曲柱面z=围成，易求出Ω在xy平面(或zx平面)上的投影区域Dxy(或Dzx)．Dxy由x=1，x=2，y=0，y=x2围成，Dxy={(x，y)｜1≤x≤2，0≤y≤x2}，见图9．17一(a)．Dzx由x=1，x=2，z=0，z=围成，即Dzx={(z，x)｜1≤x≤2，0≤z≤}，见图9．17一(b)．于是Ω={(x，y，z)10≤z≤，(x，y)∈Dxy}，或Ω={(x，y，z)｜0≤y≤x2，(z，x)∈Dzx}．(Ⅱ)根据Ω的表示，宜选择先对z(或y)积分后对xy(或zx)积分的顺序．若先对z积分得知识点解析：暂无解析7、I=(lx2+my2+nz2)dV，其中Ω：x2+y2+z2≤a2，l，m，n为常数．标准答案：由变量的轮换对称性，可得用球坐标变换求知识点解析：暂无解析8、I=zdV，其中Ω：x2+y2+z2≤2，x2+y2≤z．标准答案：Ω是旋转体(如图9．18)，选用柱坐标变换．先求交线．由选择先z后r，θ的积分顺序，Ω的柱坐标表示：Ω：0≤θ≤2π，0≤r≤1，r2≤z≤于是知识点解析：暂无解析9、I=(x+y+z)dV，其中Ω：x2+y2+z2≤2az，≤z(a＞0)．标准答案：Ω关于yz平面与zx平面均对称用球坐标变换，球面x2+y2+z2=2az与锥面的球坐标方程分别为ρ=2acosφ，φ=．Ω的球坐标表示D：0≤θ≤2π，0≤φ≤，0≤ρ≤2acosφ，于是知识点解析：暂无解析10、f(x，y，z)dy，变成由z到y再到x的顺序．标准答案：这里每个二重积分都是矩形区域上二重积分的积分次序的交换．知识点解析：暂无解析11、f(x，y，z)dz，改换成先y最后x的顺序．标准答案：I=f(x，y，z)dydz，其中D(x)：0≤y≤1，0≤z≤x2+y2．现改为先y后z的顺序，将D(x)分成两块：0≤x≤x2，0≤y≤1；x2≤z≤1+x2，≤y≤1，如图9．19．则知识点解析：暂无解析12、考虑柱坐标系下的三重累次积分I=3dz．(Ⅰ)将I用直角坐标(Oxyz)化为累次积分；(Ⅱ)将I用球坐标化为累次积分；(Ⅲ)求I的值．标准答案：(Ⅰ)积分区域Ω：(x，y)∈Dxy，其中Dxy={(x，y)｜x2+y2≤2}．于是I=3dz．(Ⅱ)Ω是由锥面z=(球坐标方程是ρ=2)围成．Ω的球坐标表示是0≤θ≤2π，0≤φ≤，0≤ρ≤2，于是(Ⅲ)用球坐标最为方便．知识点解析：暂无解析13、求标准答案：I=，其中Ω：1≤z≤1+，(x，y)∈Dxy如图9．20一(a)．它是由半球面：(z一1)2=1一x2一y2(z≥1)与平面z=1所围成的y≥0部分．作球坐标变换．z=1对应ρ=，半球面对应p=2cosφ．Ω的球坐标表示(如图9．20一(b))知识点解析：暂无解析14、设L为抛物线y=x2上，从点A(－1，1)到B(1，1)的一段，求I=∫L(x2－2xy)dx+(y2－2xy)dy．标准答案：L：y=x2，x∈[－1，1]．知识点解析：暂无解析15、求积分I=dy，其中C：y=1，x=4，y=逆时针一周．标准答案：(直接计算)知识点解析：暂无解析16、计算曲面积分I=(x+y+z)dS，其中∑为左半球：x2+y2+z2=R2，y≤0．标准答案：∑关于xy平面，yz平面对称(如图9．22)投影到zx平面，由x2+y2+z2=R2，y≤0投影区域Dzx：x2+z2≤R2，于是I=dxdz=－R.πR2=－πR3．知识点解析：暂无解析17、计算曲面积分，其中∑为圆柱面x2+y2=R2界于z=0及z=H之间的部分，r为曲面上的点到原点的距离(H＞0)．标准答案：r2=x2+y2+z2．∑关于zx平面，yz平面均对称，则I=4，如图9．23．∑1：x2+y2=R2，x，y≥0，投影区域Dzx：0≤x≤R，0≤z≤H，知识点解析：暂无解析18、设S为柱面x2+y2=a2(0≤z≤h)的外侧，满足x≥0的一半，求I=zdydz+xyzdzdx+ydxdy．标准答案：S如图9．24，S垂直xy平面，于是ydxdy=0，I=zdydz+xyzdzdx．投影到yz平面直接计算较为方便．s表为x=(y，z)∈Dyz，其中Dyz：0≤z≤h，一a≤y≤a．代公式得知识点解析：暂无解析19、求曲面积分I=(x+cosy)dydx+(y+cosz)dzdx+(z+cosx)dxdy，其中S为x+y+z=π在第一卦限部分，取上侧．标准答案：I=xdydz+ydzdx+zdxdy+cosydydz+coszdzdx+cosxdxdyI1+I2．平面S的单位法向量N=(cosα，cosβ，cosγ)=(1，1，1)，由第一、二类曲面积分的关系，可得下面求I2．投影到xy平面上化为二重积分．S的投影区域为Dxy，如图9．25，则有I2=[cosy.(一z′x)+cos(π一(x+y)).(一z′y)+cosx]dxdy=cos(x+y)dxdy，其中由z=π一(x+y)得z′x=－1，z′y=－1．由于Dxy关于y=x对称，则有因此I2=2×2－(－2)=6．因此I=I1+I2=+6．知识点解析：暂无解析20、求曲线积分I=∫Cxydx+yzdy+xzdz，C为椭圆周：x2+y2=1，x+y+z=1，逆时针方向．标准答案：C的参数方程为t∈[0，2π]．I=[costsint(一sint)+sint(1一cost—sint)cost+cost(1一cost—sint)(sint一cost)]dt=cos3tdt=－π+(1－sin2t)dsint=－π．知识点解析：暂无解析21、求下列区域力的体积：(Ⅰ)Ω：x2+y2≤a2，z≥0，z≤mx(m＞0)；(Ⅱ)Ω：由y2=a2－az，x2+y2=ax，z=0(a＞0)围成；(Ⅲ)Ω：由z=x2+y2，x+y+z=1所围成．标准答案：(Ⅰ)Dxy：x2+y2≤a2，x≥0，如图9．26．Ω={x，y，z)｜0≤z≤mx，(x，y)∈Dxy}．(Ⅱ)Ω={(x，y，z)｜0≤z≤(a2一y2)，(x，y)∈Dxy}，(Ⅲ)由消去z得x2+y2+y=1，即于是Ω在Oxy平面上的投影区域(如图9．27)是D=[(x，y)｜(x+，围成Ω区域的上曲面是z=1一x一y，下曲面是z=x2+y2，因此Ω的体积知识点解析：暂无解析22、设曲面S是上半球面x2+y2+z2=a2(z≥0，a＞0)被柱面x2+y2=ax所割下部分，求S的面积．标准答案：S：z=(x，y)∈Dxy：，如图9．28．知识点解析：暂无解析23、设曲面z=(x2+y2)，其面密度μ为常数，求该曲面在0≤z≤部分S的质量与质心．标准答案：质量M=(x2+y2)，(x，y)∈Dxy：x2+y2≤3．又=y，于是知识点解析：暂无解析24、设质点P沿以为直径的下半圆周，从点A(1，2)运动到B(3，4)的过程中，受变力F的作用，F的大小等于点P到原点O之距离，方向垂直于线段，与y轴正向的夹角小于，求变力F对质点P做的功．标准答案：如图9．29．(Ⅰ)先求作用于P(x，y)的力F：｜F｜=与={x，y}垂直的向量±{－y，x}，其中与y轴正向成锐角的是{一y，x}，于是F={一y，x}．(Ⅱ)F对P所做的功W=－ydx+xdy．(Ⅲ)写出的参数方程：(x一2)2+(y一3)2=知识点解析：暂无解析25、设有平面光滑曲线l：x=x(t)，y=y(t)，z=0，t∈[α，β]，以及空间光滑曲线L：x=x(t)，y=y(t)．z=f(x(t)，y(t))，t∈[α，β]，t=α，t=β分别是起点与终点的参数．(Ⅰ)试说明l，L及曲面S：z=f(x，y)的关系；(Ⅱ)若P，Q，R连续，f(x，y)有连续的偏导数，求证：∫LP(x，y，z)dx+Q(x，y，z)dy+R(x，y，z)dz=∫lP(x，y，f(x，y))+R(x，y，f(x，y))]dx+[Q(x，y，f(x，y))+R(x，y，f(x，y))]dy．标准答案：(Ⅰ)l是L在xy平面上的投影曲线，定向相同．以l为准线，母线平行于z轴的柱面与曲面S相交得曲线L．(Ⅱ)按线积分化定积分公式得三式相加即得证．知识点解析：暂无解析26、设P(x，y，z)，Q(x，y，z)，R(x，y，z)在区域Ω连续，Г：x=x(t)，y=y(t)，z=z(t)是Ω中一条光滑曲线，起点A，终点B分别对应参数tA与tB，又设在Ω上存在函数u(x，y，z)，使得du=Pdx+Qdy+Rdz(称为Pdx+Qdy+Rdz在Ω的原函数)．求证：I=标准答案：由du=Pdx+Qdy+Rdz由曲线积分化定积分公式再由复合函数求导公式得知识点解析：暂无解析27、设f(x)在区间[0，1]上连续，请用重积分方法证明：标准答案：先将累次积分表成二重积分，则有其中D={(x，y)｜0≤x≤1，x≤y≤1}，如图9．30，它与D′={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x}关于y=x对称．于是因此，知识点解析：暂无解析28、设半径为R的球面∑的球心在定球面x2+y2+z2=a2(a＞0)上，问R为何值时球面∑在定球面内部的那部分面积最大?标准答案：可设∑的球心为(0，0，a)，∑的方程是x2+y2+(z一a)2=R2，与定球的交线为a2一z2=R2一(z—a)2，x2+y2=R2一(z—a)2，即∑在定球内部那部分在Oxy平面上的投影区域为这部分球面的方程是z=a一(x，y)∈D．它的面积是现计算S′(R)=4πR－．因S(0)=S(2a)=0，所以R=时，∑在定球内部的那部分面积最大．知识点解析：暂无解析29、求一段均匀圆柱面S：x2+y2=R2(0≤z≤h)对原点处单位质点的引力．假设该圆柱面的面密度为1．标准答案：(Ⅰ)设引力F={Fx，Fy，Fz}，由对称性知，Fx=0，Fy=0．因此只需求F沿z轴的分量Fz．如图9．31．(Ⅱ)在圆柱面上任一点(x，y，z)处取一小块曲面元dS，记r={x，y，z}，r=｜r｜=，则曲面元对原点处单位质点的引力dF=k.dS，它沿z轴的分量为dFz=kdS．(Ⅲ)圆柱面对原点单位质点的引力的z分量Fz=dS．(Ⅳ)计算曲面积分．要投影到yz平面(或zx平面)来计算．圆柱面S在yz平面的投影区域为Dyz={(y，z)｜0≤z≤h，一R≤y≤R}，曲面S的方程为x=，记S1为前半圆柱面，于是知识点解析：暂无解析30、求，其中L：x2+y2=R2的正方向．标准答案：将L表成参数方程的形式，即x=Rcosθ，y=Rsinθ(0≤0≤2π)，于是注意到右端积分存在且为一常数，所以=0．知识点解析：暂无解析考研数学一（多元函数积分的概念、计算及其应用）模拟试卷第2套一、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设D为两个圆x2+y2≤1及(x－2)2+y2≤4的公共部分，则I=ydσ=_____________．标准答案：0知识点解析：D关于x轴对称，被积函数对y为奇函数I=0．2、设D为y=x3及x=－1，y=1所围成的区域，则I=xydσ=_____________．标准答案：0知识点解析：D如图9．1所示．添加辅助线y=－x3(x≤0)，将D分解成D=D1∪D2，其中D1关于y轴对称，D2关于x轴对称，被积函数对x，y均为奇函数xydσ=0+0=0．3、I==｜xy｜dxdy=_____________．标准答案：知识点解析：区域如图9．2所示，由对称性与奇偶性I=4xydσ，其中D1：0≤y≤1一x，0≤x≤1．于是4、设D：0≤x≤1，0≤y≤1，则I=dσ=_____________．标准答案：知识点解析：D关于直线y=x对称与原式相加5、设I1=2x2y2dσ，则这三个积分的大小顺序是_____________＜_____________＜_____________．标准答案：I3＜I1＜I2知识点解析：比较I1与I2，被积函数是相同的连续非负函数，积分区域圆域(x2+y2≤1)包含在正方形区域(｜x｜≤1，｜y｜≤1)中I1＜I2．比较I1与I3积分区域相同，被积函数均是连续的，比较它们知x4+y4I1＞I3．因此I3＜I1＜I2．6、设D为圆域x2+y2≤x，则I=dσ=_____________．标准答案：知识点解析：D如图9．3．用极坐标变换，D的极坐标表示：7、设L是正方形边界：｜x｜+｜y｜=a(a＞0)，则I=∫Lxyds=_____________，J=∫L｜x｜ds=_____________．标准答案：0知识点解析：L如图9．4，它关于x(或y)轴对称，f(x，y)=xy对y(或x)为奇函数∫Lxyds=0．L关于直线y=x对称(变量的轮换对称性)J=∫L｜x｜ds=∫L｜y｜ds8、设∑为平面y+z=5被柱面x2+y2=25所截得的部分，则曲面积分I=(x+y+z)dS=_____________．标准答案：知识点解析：用∑的方程简化被积表达式得其中xdS=0，因为∑关于yz平面对称，被积函数x对x为奇函数．∑的一个单位法向量n=(cosα，cosβ，cosγ)=因此I=5.∑的面积=125二、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)9、求下列曲面积分：(Ⅰ)I=ydS，其中∑是平面x+y+z=1被圆柱面x2+y2=1截出的有限部分；(Ⅱ)I=zdS，其中∑是锥面z=在柱体x2+y2≤2x内的部分．标准答案：(Ⅰ)积分曲面的表达式为z=1－x－y，∑在xy平面上的投影为圆D：x2+y2≤1，所以(Ⅱ)利用锥面的表示式z=，可知又锥面∑在Oxy平面的投影区域D：x2+y2≤2x，极坐标表示是：，0≤r≤2cosθ，因此知识点解析：暂无解析10、求下列曲面积分：(Ⅰ)I=xyzdxdy+xzdydz+z2dzdx，其中x2+z2=a2在x≥0的一半中被y=0和y=h(h＞0)所截下部分的外侧(见图9．60)；(Ⅱ)I=xydzdx，其中S是由曲线x=ey2(0≤y≤a)绕x轴旋转成的旋转面，取外侧．标准答案：(Ⅰ)本题实际上可以分三个积分计算，即I=I1+I2+I3．将∑在yz平面上的投影记为Dyz，则Dyz：0≤y≤h，－a≤z≤a．注意到∑的法线方向与x轴正方向夹锐角，则I2=dydz．此时已化成了二重积分，注意到Dyz关于y轴对称，而被积函数为z的香函数。故I2=0．由于∑垂直于zx平面(它在zx平面上的投影域面积为零)，故I3=z2dzdx=0，而所以，I=I1+I2+I3=h2a3．(Ⅱ)曲面S的方程是：x=ey2+z2(y2+z2≤a2)，见图9．61．S在yz平面上的投影区域Dyz易求，Dyz：y2+z2≤a2，x=0，又=2yey2+z2，S的法向量与x轴正向成钝角，于是知识点解析：暂无解析11、求区域Ω的体积V．其中Ω：由z=xy，x2+y2=a2，z=0围成．标准答案：如图9．62，注意曲面z=xy，第一、三象限时位于Oxy平面的上方，第二、四象限时位于Oxy平面的下方．区域Ω由曲面z=xy，柱面x2+y2=a2及xy平面所围成．z=xy在Oxy平面的投影区域D={(x，y)｜x2+y2≤a2}．因此Ω的体积知识点解析：区域Ω由曲面z=z(x，y)及它在Oxy平面上的投影区域D及以D的边界为准线，母线平行于z轴的柱面所围成，则V=｜z(x，y)｜dxdy．关键是由所给条件得出曲顶的曲面方程与底面的区域D．12、求区域Ω的体积V，其中Ω是半球面z=及旋转抛物面x2+y2=2az所围成．标准答案：先解方程组得两曲面的交线为由立体的形状可知，它在Oxy平面上的投影为圆域D={(x，y)｜x2+y2≤2a2｜，如图9．63．因此Ω的体积为知识点解析：区域Ω是由上、下两张曲面z=z2(x，y)≥z=z1(x，y)所围成，这时关键要求出它在xy平面上的投影区域D．常用的方法是：由消去z得某方程F(x，y)=0，D就是xy平面上由曲线F(x，y)=0所围的区域．13、求区域Ω的体积，其中Ω是由曲面z=y2(y≥0)，z=4y2(y≥0)，z=z，z=2x，z=4所围成．标准答案：如图9．64，Ω={(x，y，z｜(z，x)∈Dzx}，Dzx={(z，x)｜≤x≤z，0≤z≤4}．力的体积为或Ω也可表成(如图9．65)：Ω={(x，y，z)｜≤x≤z，(y，z)∈Dyz)，Dyz={(y，z)｜，0≤z≤4}，于是知识点解析：这是侧面是柱面的曲顶、曲底柱体区域．对这类问题要由所给条件确定出侧面——柱面，然后再定上、下底曲面．确定了侧面(柱面)也就确定了Ω的投影区域．14、求下列曲面的面积：(Ⅰ)半球面z=及旋转抛物面2az=x2+y2所围立体的表面S；(Ⅱ)锥面z=被柱面z2=2x所割下部分的曲面S．标准答案：(Ⅰ)两曲面的交线及在Oxy平面上的投影区域D．曲面S分成两块．对曲面S1：z=来说．它的面积对于曲面S2：z=它的面积因此，整个曲面的面积A=A1+A2=πa2．(Ⅱ)先解方程组消去z得x2+y2=2x．这就是两曲面的交线在Oxy平面上的投影，也就是曲面S在Oxy平面上投影区域D的边界曲线，因而D={(x，y)｜x2+y2≤2x}={(x，y)｜(x－1)2+y2≤1}．在锥面z=，因此曲面S的面积A=(D是半径为1的圆，面积为π)知识点解析：在用公式dxdy求曲面S：z=f(x，y)((x，y)∈D)的面积时，关键之一是确定S在Oxy平面的投影区域D．因为题目中往往不是直接给出这个投影区域．若曲面是由垂直于Oxy平面的柱面所截，则它在Oxy平面上的投影区域就是柱面截下Oxy平面部分．若曲面是由两张相交曲面组成，则需求它们的交线才可求得投影区域如题(Ⅰ)．对于题(1I)，求投影区域的方法本质上与题(Ⅰ)相同．15、求八分之一球面x2+y2+z2=R2，x≥0，y≥0，z≥0的边界曲线的质心，设曲线线密度ρ=1．标准答案：设边界曲线在Oxy，Oyz，Ozx坐标平面内的弧段分别记为L1，L2，L3(见图9．66)．设曲线的质心为直接按质心计算公式知：其中L=L1∪L2∪L3，m=∫Lρds=∫Lds为曲线L的质量．由于ρ=1，则质量m=L的长度=3×πR．又因由对称性知即质心为知识点解析：暂无解析16、求密度为1的均匀圆柱体x2+y2≤a2，｜z｜≤h对直线L：x=y=z的转动惯量．标准答案：先求圆柱体上任意点(x，y，z)到直线L的距离的平方再求圆柱体对L的转动惯量知识点解析：这里不是求物体对坐标轴的转动惯量，因此不能套用已有的公式，要学会求转动惯量的方法．质量为m的质点对L的转动惯量是md2，d是质点到L的距离．因此，这里必须先求点(x，y，z)到直线L的距离．17、设位于点(0，1)的质点A对于质点M的引力大小为(k＞0为常数，r=｜AM｜)．分别求下列运动过程中A对质点M的引力所作的功(如图9．67)：(Ⅰ)质点M沿曲线y=自b(2，0)运动到O(0，0)；(Ⅱ)质点M在圆x2+y2=22上由B点沿逆时针方向运动到B点．标准答案：(Ⅰ)由曲线的参数方程计算曲线积分．半圆的参数方程θ∈[0，π]．(Ⅱ)求出了原函数，积分与路径无关，沿闭路积分为零，即W=0．知识点解析：首先求出引力F：｜F｜=F与(－x，1－y)．求功就是求曲线积分W=(－xdx+(1－y)dy)．题(Ⅰ)与题(Ⅱ)分别给出两种不同的路径．18、设流速V=(x2+y2)j+(z－1)k，求下列情形流体穿过曲面∑的体积流量Q(如图9．69)：(Ⅰ)∑为圆锥面x2+y2=z2(0≤z≤1)，取下侧；(Ⅱ)∑为圆锥体(z2≥x2+y2，0≤z≤1)的底面，法向量朝上．标准答案：(Ⅰ)首先，用曲面积分表示流量，即Q=(x2+y2)dzdx+(z－1)dxdy．直接投影到xy平面上代公式求Q．由∑的方程z=，∑在xy平面上的投影区域D：x2+y2≤1(z=0)(Ⅱ)圆锥体(z2≥x2+y2，0≤z≤1)的底面∑即x2+y2≤1，z=1，它垂直于zx平面，在∑上z－1=0，因此Q=(x2+y2)dzdx+(z－1)dxdy=0+0=0．知识点解析：暂无解析19、设f(u)连续，f(0)=1，区域Ω：t＞0，又设F(t)=f(x2+y2+z2)dV，求标准答案：因此知识点解析：本题需要先将F(t)化为定积分，由于力由球面与锥面围成，又被积函数只与ρ=有关，故应选用球坐标系．20、设函数f(x)在区间[a，b]上连续，且恒大于零，证明：标准答案：利用积分变量的改变，可得其中D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤b}．并且利用对称性(D关于y=x对称)，可得知识点解析：有时把一元函数的积分问题转化为二元函数的积分问题便可使问题得到解决．这里记D={(x，y)｜a≤x≤b，a≤y≤b}，则定积分之积就可表为二重积分：然后利用二重积分的性质便可得证．21、记Ω(R)={(x，y)｜x2+y2≤R2}，求dxdy；标准答案：首先用极坐标变换求出I(R)=dxdy，然后求极限I(R)．作极坐标变换X=rcosθ，y=rsinθ得因此，dxdy=π．知识点解析：暂无解析22、证明标准答案：因为e－x2在(－∞，+∞)可积，则e－x2dx．通过求e－x2dx再求极限的方法行不通，因为∫e－x2dx积不出来(不是初等函数)．但可以估计这个积分值．为了利用e－(x2+y2)dxdy，我们仍把一元函数的积分问题转化为二元函数的重积分问题．其中D(R)={(x，y)｜｜x｜≤R，｜y｜≤R}．显然I(R)≤又=π，于是知识点解析：暂无解析23、计算I=dxdy，其中D为曲线y=lnx与二直线y=0，y=(e+1)－x所围成的平面区域．标准答案：y=lnx与y=(e+1)一x的交点是(e，1)，D如图9．5所示，在Oxy坐标系中选择先x后y的积分顺序(D不必分块)得知识点解析：暂无解析24、计算I=x2e－y2dxdy，其中D是以O(0，0)，A(1，1)，B(－1，1)为顶点的三角形区域．标准答案：D如图9．6所示，D关于y轴对称，被积函数对x为偶函数．I=2x2e－y2dxdy，其中D1=D∩{x≥0}．选择先x后y的积分顺序知识点解析：暂无解析25、计算I=dσ，其中D：1≤x2+y2≤9，标准答案：令x=rcosθ，y=rsinθ，则D：1≤r≤3，．于是知识点解析：暂无解析26、计算I=｜sin(x－y)｜dxdy，其中D：0≤x≤y≤2π；标准答案：(分块积分法)D如图9．7一(a)，被积函数分块表示，要分块积分，将D分成D=D1∪D2，以y一x=π为分界线(如图9．7一(b))．在D1上，π≤y一x≤2π；在D2上，0≤y一x≤π，则I=－sin(y一x)dσ+sin(y一x)dσ在D2上边界分段表示(如图9．7一(c))，也要分块积分知识点解析：暂无解析27、计算I=(x+y)2dxdy，其中D：｜x｜+｜y｜≤1；标准答案：D关于x，y轴均对称，它在第一象限部分记为D1，如图9．8．知识点解析：暂无解析28、计算I=dxdy，其中D：x≥0，y≥0，x+y≤1；标准答案：极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ．D：0≤θ≤于是知识点解析：暂无解析29、设a＞0为常数，求积分I=xy2dσ，其中D：x2+y2≤ax．标准答案：D是圆域(如图9．10)：(x一作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，并由D关于x轴对称，x轴上方部分为D1：0≤θ≤．0≤r≤acosθ．于是知识点解析：暂无解析30、f(x，y)dy；标准答案：如图9．11所示．知识点解析：暂无解析考研数学一（多元函数积分的概念、计算及其应用）模拟试卷第3套一、选择题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、设空间区域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0及Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0，则下列等式成立的是A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由Ω1在xy平面上方，关于yz平面与zx平面均对称，Ω2是Ω1的第一象限部分，两次利用对称性，可以看出等式成立的充分条件是被积函数关于x与y为偶函数，即f(－x，y，z)=f(x，y，z)，f(x，－y，z)=f(x，y，z)．在本题的四个选项中，只有(C)的被积函数f(x，y，z)=z，关于x与y是偶函数，因为四个结论中只有一个正确，因此应选(C)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)2、设D是Oxy平面上以A(1，1)，B(－1，1)和C(－1，－1)为顶点的三角形区域，则I=sin(xy)+4]dxdy=__________．标准答案：8知识点解析：连将区域D分成D1(三角形OAB)，D2(三角形OBC)两个部分(见图9．28)，它们分别关于y轴与x轴对称．由于sin(xy)对x与y均为奇函数，因此又由于D的面积=.2.2=2，所以4dxdy=4.2=8．于是I=0+8=8．3、设L为曲线常数a＞0，则I=∮L(xy+yz+zx)ds=___________．标准答案：一πa3知识点解析：注意(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)，则xy+yz+zx=(x+y+z)2－(x2+y2+z2)，因此I=∮L(xy+yz+zx)ds=∮L(x+y+z)2ds－∮L(x2+y2+z2)ds．由L的方程，其中x+y+z=0，x2+y2+z2=a2，于是I=0－∮La2ds=a2.2πa=－πa3，其中L是球面x2+y2+z2=a2与平面x+y+z=0的交线，它是半径为a的圆周．4、设S为球面x2+y2+z2=9，取外侧，则zdxdy=__________；标准答案：36π知识点解析：S围成的球体为Ω，则由高斯公式得π.33=36π．(球体的体积)5、设D为平面区域：x2+y2≤4，则dxdy=__________；标准答案：π知识点解析：由二重积分的几何意义知dxdy=柱体的体积－锥体的体积=π.22×2－．6、设Ω是球体：(x－a)2+(y－b)2+(z－c)2≤R2，则(x+y+z)dV=__________．标准答案：πR3(a+b+c)知识点解析：由球的质心公式知则三、解答题(本题共25题，每题1.0分，共25分。)7、计算ds，其中，L是圆周x2+y2=4x(见图9．1)．标准答案：利用直角坐标系．知识点解析：暂无解析8、计算积分9x2dx+(y－x)dy，其中L：(Ⅰ)是半径为a，圆心在原点的上半圆周，起点A(a，0)，终点B(－a，0)(见图9．2)；(Ⅱ)x轴上由A(a，0)到B(－a，0)的直线段．标准答案：化成对x的定积分．(Ⅰ)上半圆周的表达式为：y=起点A对应于x=a，终点B对应于x=－a，则(Ⅱ)对于从A(a，0)到B(－a，0)的直线段，则知识点解析：暂无解析9、将f(x，y)dxdy化为累次积分，其中D为x2+y2≤2ax与x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．标准答案：如图9．5，x2+y2=2ax与x2+y2=2ay，是两个圆，其交点为O(0，0)，P(a，a)．因此，若先对y积分，就有若先对x求积分，则知识点解析：暂无解析10、设D是由曲线=1(a＞0，b＞0)与x轴，y轴围成的区域，求I=ydxdy．标准答案：先对x积分．区域D如图9．6所示．D={(x，y)｜0≤y≤b，0≤x≤a(1－)2}，知识点解析：暂无解析11、求I=xdV，，Ω由三个坐标面及平面x+y+2z=2围成．标准答案：因区域Ω可表成(9．9)的形式：Ω={(x，y，z)｜0≤z≤1－(x+y)，(x，y)∈Dxy}，Dxy={(x，y)｜x≥0，y≥0，x≤2－y}，见图9．7．所以可用公式(9．10)求得I值，即知识点解析：暂无解析12、计算z2ds，其中∑是曲面z=(0≤z≤1)．标准答案：由于∑为锥面z=(0≤z≤1)，因此=dσ．若记∑在xOy，平面上的投影域为D：z=0，x2+y2≤1，则知识点解析：暂无解析13、计算xyzdxdy，其中∑是x≥0，y≥0，x2+y2+z2=1的外侧(见图9．9)．标准答案：投影到xy平面．将积分曲面∑分成上下两部分，分别记为∑1与∑2，则∑=∑1∪∑2．并且在∑1上法向量n与z轴正方向的夹角为锐角，故公式(9．14)中符号应取“+”号；在∑2上法向量与x轴正方向的夹角为钝角，故应取“－”号．∑1，∑2在xOy平面上的投影域均为D：z=0，x≥0，y≥0，x2+y2≤1，所以知识点解析：暂无解析14、设Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤x+y+z+}，求I=(x+y+z)dxdydz．标准答案：将Ω改写成Ω={(x，y，z｜(x－≤1}，作平移变换：u=x－，则其中Ω′={(u，v，w)｜u2+v2+w2≤1}．知识点解析：暂无解析15、在极坐标变换下将f(x，y)dσ化为累次积分，其中D为x2+y2≤2ax与x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．标准答案：由于两个圆在极坐标下的表达式分别为：r=2acosθ与r=2asinθ，交点P处的极坐标是，于是连接OP将区域D分成两部分(见图9．16)，则或者先对θ积分，则f(rcosθ，rsinθ)dθ．知识点解析：暂无解析16、求积分I=dxdy，其中D由y=x与y=x4围成．标准答案：D的图形如图9．17所示，虽然D的边界不是圆弧，但被积函数是r=，选用极坐标变换方便．在极坐标变换下，D的边界方程是θ=．从而D：0≤θ≤，0≤r≤于是知识点解析：暂无解析17、利用柱坐标变换求三重积分：I=zdxdydz，Ω：x2+y2≤z，x2+y2+z2≤2．标准答案：区域Ω的边界面分别是旋转抛物面x2+y2=z与球面x2+y2+z2=2，见图9．18，两曲面的交线是作柱坐标变换：x=rcosθ，y=rsinθ，z=z，则边界面的方程是：z=r2，z=．又Ω在xOy平面上投影区域的极坐标表示为：D={(r，θ)｜0≤r≤1，0≤θ≤2π}，于是知识点解析：暂无解析18、将三重积分f(x，y，z)dV在三种坐标系下化成累次积分，其中Ω是由x2+y2+z2≤R2，x2+y2≤z2，z≥0所围成的区域(如图9．22所示)．标准答案：使用直角坐标系．先求区域Ω在xOy平面上的投影域D，它是由球面与锥面的交线所确定，即x2+y2≤R2，z=0．若依照由z到y再到x的顺序积分，则就本题积分域的特点先对z求积分是自然的．知识点解析：暂无解析19、利用球坐标变换求三重积分，I=dV，其中Ω：x2+y2+z2≤2z．标准答案：Ω是球体：x2+y2+(z－1)2≤1，在球坐标变换：x=ρsinφcosθ，y=ρsinφsinθ，z=ρcosφ下，Ω={(θ，φ，ρ)｜0≤θ≤2π，0≤φ≤，0≤ρ≤2cosφ)，于是知识点解析：暂无解析20、求I=dxdy，其中D为y=，y=x及x=0所围成区域．标准答案：区域D如图9．23．被积函数只含y，先对x积分，虽然积分区域要分块，但计算较简单．若先对y积分，则求积分dy要费点功夫．选择先对x积分，将D分块：D={(x，y)｜0≤y≤于是知识点解析：暂无解析21、求I=dxdy．其中D是由抛物线y2=x，直线x=0，y=1所围成．标准答案：dy的原函数不是初等函数，故dy积不出来，因此选先x后y的顺序．积分区域D如图9．24，于是知识点解析：暂无解析22、求I=xydy，其中Ω由z=xy，z=0，x+y=1围成．标准答案：区域Ω的图形不好画(可不必画出)，但易求出Ω在xOy平面上的投影区域D(见图9．25)，D的边界线是：x+y=1，x=0，y=0．因而易写出Ω的不等式表示Ω={(x，y，z)｜0≤z≤xy，(x，y)∈D}．于是选择先一(先z)后二(后x，y)的积分顺序：I=x2y2dxdy．再将二重积分化为定积分(先x后y或先y后x均可)知识点解析：暂无解析23、求I=y2dV，其中Ω由=1(0≤y≤b)及y=0围成．标准答案：区域Ω由右半椭球面及zx平面围成的右半椭球体(如图9．26所示)．它在zx平面的投影区域Dzx是：≤1，于是Ω={(x，y，z)｜0≤y≤b，(z，x)∈Dzx}．另一方面，过Y轴上任意点y∈[0，b]作垂直y轴的平面与Ω相交成区域D(y)，则D(y)：，0≤y≤b，它的面积S(y)=πac，于是Ω={(x，y，z)｜0≤y≤b，(z，x)∈D(y)}．由于被积函数仅与y有关，而D(y)面积已知，我们选择先二后一(先zx后y)的积分顺序得知识点解析：暂无解析24、求I=∫L｜x｜ds，其中L为｜x｜+｜y｜=1．标准答案：L为正方形的边界如图9．29．因为L关于x，y轴均对称，被积函数｜x｜关于y与x均为偶函数，于是I=4∫L1｜x｜ds=4，其中L1是L在第一象限部分．知识点解析：暂无解析25、计算曲面积分I=(ax+by+cz+γ)2ds，其中∑是球面：x2+y2+z2=R2．标准答案：I=(ax+by+cz+γ)2dS=[(ax)2+(by)2+(cx)2+2+2abxy+2aczx+2bcyz+2aγy+2bγy+2cγz]dS．根据积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性可知又由坐标的轮换对称性知因此知识点解析：暂无解析26、求I=dxdy，其中D：｜x｜≤1，0≤y≤2．标准答案：在积分区域D上被积函数分段表示为｜y－x2｜=(x，y)∈D，因此要将D分块，用分块积分法．又D关于y轴对称，被积函数关于x为偶函数，记D1={(x，y)｜(x，y)∈D，x≥0，y≥x2}，D2={(x，y)｜(x，y)∈D，x≥0，y≤x2}，于是知识点解析：暂无解析27、设D由抛物线y=x2，y=4x2及直线y=1所围成．用先x后y的顺序将I=f(x，y)dxdy化成累次积分．标准答案：区域D如图9．30所示，将D分成x≥0与x≤0两部分，用分块积分法得知识点解析：暂无解析28、求I=xydxdy，D由曲线x2+y2=2x+2y－1所围成．标准答案：D是圆域：(x－1)2+(y－1)2≤1，见图9．31．作平移变换：u=x－1，v=y－1，则I=dudv=0+π=π．其中D′={(u，v)｜u2+v2≤1}．知识点解析：暂无解析29、计算三重积分I=(x2+y2+z2)dV，其中Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤4，x2+y2+z2≤4z}．标准答案：Ω是两个球体x2+y2+z2≤4与x2+y2+z2≤4z(x2+y2+(z－2)2≤4)的公共部分，两球面的交线是图9．32是Ω在yz平面上的截面图．这里适宜用球坐标变换的情形．这时要用锥面z=(以原点为顶点，通过两球的交线)将Ω分成Ω=Ω1∪Ω2，其中Ω1={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤4，z≥}，Ω2={x，y，z)x2+y2+z2≤4z，z≤}，见截面图9．33，用球坐标表示Ω1：0≤ρ≤2，0≤φ≤，0≤θ≤2π，Ω2：0≤ρ≤4cosφ，，0≤θ≤2π，其中球面x2+y2+z2=4z的球坐标方程是ρ=4cosφ，锥面z=的方程是φ=．因此知识点解析：暂无解析30、求I=dydz，其中∑为下半球面z=的上侧，a＞0．标准答案：注意∑上x2+y2+z2=a2，则I=xdydz．∑在xy平面上的投影区域Dxy：x2+y2≤a2，且于是知识点解析：暂无解析31、求I=(x2－y2)dydz+(y2－z2)dzdx+(z2－x2)dxdy，S是上半椭球面+z2=1(z≥0)取上侧．标准答案：易求S在xy平面上的投影区域D：≤1．于是这里，D关于x，y轴均对称，对x是奇函数，对y也是奇函数，就有现归结为求其中D1=D∩{x≥0，y≥0}．用极坐标变换：x=rcosθ，y=rsinθ，则于是由对称性(将x，y互换，同时a，b也互换，D不变)dxdy．因此I=abπ－π(2－a2)．知识点解析：暂无解析考研数学一（多元函数积分的概念、计算及其应用）模拟试卷第4套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设D是有界闭区域，下列命题中错误的是A、若f(x，y)在D连续，对D的任何子区域D0均有f(x，y)dσ=0，则f(x，y)=0((x，y)∈D)．B、若f(x，y)在D可积，f(x，y)≥0但不恒等于0((x，y)∈D)，则f(x，y)dσ＞0．C、若f(x，y)在D连续，f2(x，y)dσ=0，则f(x，y)≡0((x，y)∈D)．D、若f(x，y)在D连续，f(x，y)＞0((x，y)∈D)，则f(x，y)dσ＞0．标准答案：B知识点解析：直接指出其中某命题不正确．因为改变有限个点的函数值不改变函数的可积性及相应的积分值，因此命题(B)不正确．设(x0，y0)是D中某点，令f(x，y)=则在区域D上f(x，y)≥0且不恒等于0，但f(x，y)dσ=0．因此选(B)．或直接证明其中三个是正确的．命题(A)是正确的．用反证法、连续函数的性质及二重积分的不等式性质可得证．若f(x，y)在D不恒为零(x0，y0)∈D，f(x0，y0)≠0，不妨设(x0，y0)＞0，由连续性有界闭区域D0D，且当(x，y)∈D0时f(x，y)＞0f(x，y)dσ＞0，与已知条件矛盾．因此，f(x，y)≡0((x，y)∈D)．命题(D)是正确的．利用有界闭区域上连续函数达到最小值及重积分的不等式性质可得证．这是因为f(x，y)≥f(x，y)=f(x0，y00)＞0，其中(x0，y0)是D中某点．于是由二重积分的不等式性质得f(x，y)dσ≥f(x0，y0)σ＞0，其中σ是D的面积．命题(C)是正确的．若f(x，y)≠0在(x，y)∈D上f2(x，y)≥0且不恒等于0．由假设f2(x，y)在D连续f2(x，y)dσ＞0，与已知条件矛盾．于是f(x，y)≡0在D上成立．因此选(B)．2、比较积分值的大小：I1=[sin(x+y)]3dxdy，其中D由x=0，y=0，x+y=，x+y=1围成，则I1，I2，I3之间的大小顺序为A、I1＜I2＜I3．B、I3＜I2＜I1．C、I1＜I3＜I2．D、I3＜I1＜I2．标准答案：C知识点解析：在区域D上，≤t≤1时，lnt≤sint≤t，从而有(x，y)∈D时，ln3(x+y)≤sin3(x+y)≤(x+y)3，则(x+y)3dσ．因此选(C)．3、比较积分值的大小：Ji=e－(x2+y2)dxdy，i=1，2，3，其中D1={(x，y)｜x2+y2≤R2}，D2={(x，y)｜x2+y2≤2R2}，D3={(x，y)｜x｜≤R，｜y｜≤R}．则J1，J2，J3之间的大小顺序为A、J1＜J2＜J3．B、J2＜J3＜J1．C、J1＜J3＜J2．D、J3＜J2＜J1．标准答案：C知识点解析：D1，D2是以原点为圆心，半径分别为R，R的圆，D3是正方形，显然有D1D2．因此(C)成立．二、填空题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)4、设f(x，y，z)在ΩR={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤R2}连续，又f(0，0，0)≠0，则R→0时，f(x，y，z)dV是R的__________阶无穷小．标准答案：三阶知识点解析：本题就是确定n=?使得=A≠0．由积分中值定理知，(x0，y0，z0)∈ΩR，使得f(x，y，z)dV=f(x0，y0，z0).πR3，则因此R→0时，f(x，y，z)dV是R的三阶无穷小．5、设L为｜x｜+｜y｜=1，取逆时针方向，则曲线积分=____________．标准答案：0知识点解析：由于曲线L关于x轴与y轴均对称(见图9．29)，且被积函数P=Q=关于x，y均为偶函数，则I=∫LPdx+Qdy=0．三、解答题(本题共26题，每题1.0分，共26分。)6、计算曲面积分x2zcosγdS，其中曲面∑是球面x2+y2+z2=a2的下半部分，γ是∑向上的法向量与z轴正向的夹角．标准答案：根据两类曲面积分的关系，知x2zdxdy．又根据∑的表达式：z=，以及γ为锐角，因此其中D为∑在xOy平面上的投影，实际上D为圆：x2+y2≤a2．知识点解析：暂无解析7、设Ω为曲面x2+y2=az与z=2a－所围成的空间区域(如图9．35)，求它的体积，其中a＞0．标准答案：用柱形长条区域的体积公式——求一个二重积分．由消去z，得投影柱面x2+y2=a2，于是，Ω在xy平面上投影区域D：x2+y2≤Ω={(x，y，z)｜，(x，y)∈D}，因此，Ω的体积为知识点解析：暂无解析8、求柱面x2+y2=ax含于球面x2+y2+z2=2内的曲面面积S．标准答案：由对称性只需考虑第一卦限部分．将柱面方程表成y为x的函数是方便的：y=dzdx，D是这部分柱面在Ozx平面的投影区域，求出D的关键是求柱面与球面的交线在Ozx平面的投影曲线．见图9．37．柱面与球面的交线为它在Ozx平面上的投影曲线为抛物线z2=a2－ax，它与Ox轴，Oz轴围成区域D，则所求曲面面积为知识点解析：暂无解析9、记Il为物体对l轴的转动惯量，为对平行于l轴并通过物体质心的轴l的转动惯量，d为两轴间的距离，M为物体的质量，证明：Il=+Md2．标准答案：取l轴为Oz轴，按右手系建立直角坐标系(如图9．39)．设物体占有空间区域Ω，物体的质心坐标为()，则由已知条件有其中ρ为物体的体密度．物体对的转动惯量为即Il=+Md2．知识点解析：暂无解析10、设一均匀物体由两曲面x2+y2=az．z=2a－(a＞0)所围成，求此物体质心．标准答案：根据质量分布的均匀性以及图形关于z轴的对称性可知，质心的坐标为(0，0，z*)，由质心坐标的计算公式得其中Ω是该物体占据的空间区域，ρ是物体的体密度，它为常数．已经求得πa3．用先二后一的顺序求三重积分：因此z*=a，所求质心为(0，0，a)．知识点解析：暂无解析11、求I=(x+y+z)2dxdydz，其中Ω：x2+y2≤1，｜z｜≤1．标准答案：I=(x2+y2+z2)dxdydz+2(xy+xz+yz)dxdydz=(x2+y2+z2)dV=2(x2+y2+z2)dV，这里Ω对三个坐标面均对称，xydV=0(被积函数对x为奇函数，Ω关于yz平面对称；或被积函数对y为奇函数，Ω关于zx平面对称)．类似理由得最后作柱坐标变换得知识点解析：暂无解析12、设S与S0分别为球面(x－a)2+(y－b)2+(z－c)2=R2与x2+y2+z2=R2，又f(x，y，z)在S上连续，求证：f(x，y，z)ds=f(x+a，y+b，z+c)ds．标准答案：我们将证f(x，y，z)ds的二重积分表示即是f(x+a，y+b，z+c)ds的二重积分表示．球面S的方程可写成：并分别记为S1与S2．它们在xy平面上的投影区域为Dxy：(x－a)2+(y－b)2≤R2，且对二重积分作平移变换：u=x－a，v=y－b，可得其中D′uv：u2+v2≤R2，将u，v换成x，y，上述二重积分也是f(x+a，y+b，z+c)dS的二重积分表示．因此结论成立．知识点解析：暂无解析13、求I=(x2+y2+z2)dS，其中(Ⅰ)S：x2+y2+z2=2Rx；(Ⅱ)S：(x－a)2+(y－b)2+(z－c)2=R2．标准答案：(Ⅰ)S的方程可改写成(x－R)2+y2+z2=R2，是以(R，0，0)为心，R为半径的球面，其面积为4πR2．于是I=2R2dS=0+8πR4=8πR4．(Ⅱ)I=2[(x－a)2+(y－b)2+(z－c)2]dS+2[a(x－a)+b(y－b)+c(z－c)]dS+(a2+b2+C2)dS=R2dS+0+(a2+b2+c2)dS=4πR4+(a2+b2+c2)4πR2．知识点解析：暂无解析14、设L为平面上分段光滑的定向曲线，P(x，y)，Q(x，y)连续．(Ⅰ)L关于y轴对称(图9．40)，则其中L1是L在右半平面部分．(Ⅱ)L关于x轴对称(图9．41)，则其中L1是L在上半平面部分．标准答案：(Ⅰ)记L=L1∪L2，L1，L2分别是L在右半平面与左半平面部分，则记L1的参数方程为x=x(t)，y=y(t)，t从a到b，则L2是：x=－x(t)，y=y(t)，t从b到a，于是Q(x(t)，y(t))y′(t)dt，则有其余类似．(Ⅱ)类似可得证．知识点解析：暂无解析15、设分块光滑定向曲面S关于xy平面对称，S在xy平面上方部分记为S1(方程为z=z(x，y)，(x，y)∈Dxy)，下方部分记为S2，又设R(x，y，z)在S连续，求证：标准答案：R(x，y，z)dxdy．注意，由S1的方程可得S2的方程：z=－z(x，y)((x，y)∈Dxy)．不妨设S1的法向量与z轴正向成锐角，于是S2的法向量与z轴正向成钝角．将曲面积分化为二重积分得知识点解析：暂无解析16、计算∮L(x2+y2)ds，其中L为x2+y2+z2=1与x+y+z=1的交线．标准答案：由于积分弧段关于x，y，z是对称的，所以由坐标的轮换对称性(坐标轴名称互换时，曲线L的方程不变)得这样，所要计算的就是L的长度．L为球面与平面的交线，所以它是圆，现求它的半径r．原点O到平面x+y+z=1的距离是d=，因此L的半径为r=，于是∮L(x2+y2)ds=知识点解析：暂无解析17、交换累次积分的积分顺序：I=f(x，y)dy．标准答案：对x积分，就是从区域D的左侧边界x=y2到右侧边界x=y+2．两边界线的交点为(1，－1)与(4，2)，于是由(9．8)式得知识点解析：将累次积分表为f(x，y)dσ，累次积分的表示式表明：积分区域D由两部分构成，当0≤x≤1时，区域D的下侧边界为y=，上侧边界为y=；当1≤x≤4时，D的下侧边界为y=x－2，上侧边界为y=，即D={(x，y)｜0≤x≤1，}∪{(x，y)｜1≤x≤4，x－2≤y≤}．其图形为图9．42所示，改变积分顺序，先对x求积分，就要把区域D的边界表成y的函数，即D的左侧边界为x=y2，右侧边界为x=y+2，最后再求出x=y2与x=y+2的两个交点的纵坐标y=－1和y=2，即可将区域D表为D：{(x，y)｜－1≤y≤2，y2≤x≤y+2}，由此不难写出新的累次积分．18、将极坐标变换后的二重积分f(rcosθ，rsinθ)rdrdθ的如下累次积分交换积分顺序：I=F(r，θ)dr，其中F(r，θ)=f(rcosθ，rsinθ)r．标准答案：r=2acosθ是圆周x2+y2=2ax，即(x－a)2+y2=a2，因此D的图形如图9．43所示．为了先θ后r的积分顺序，将D分成两块，如图9．43虚线所示，D=D1∪D2，且因此(*)知识点解析：在直角坐标系中画出D的图形，然后交换积分顺序确定积分限．或在Oθr直角坐标系中画出D′的图形，然后交换积分顺序．19、计算累次积分：I=ydy．标准答案：由累次积分限知：0≤x≤1时1≤y≤x+1；1≤x≤2时x≤y≤x+1；2≤x≤3时x≤y≤3，于是积分区域D如图9．45所示，因此D可表示为D={(x，y)｜x≤y≤3，y－1≤x≤y}，则原式==4．知识点解析：本题实质上是二重积分的计算，而且已经化成了累次积分，但由于这里项数较多，计算起来较复杂，所以不宜先对y积分，必须先确定积分区域D，然后再交换积分顺序．20、交换累次积分的积分顺序：I=f(x，y，z)dz，改换成先x最后y的顺序．标准答案：据以上分析，把该累次积分看成是三重积分按先一(z)后二的顺序化成的，则I=f(x，y，z)dz，其中Dxy={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1－x}，如图9．46．交换x与y的顺序得I=f(x，y，z)dz．再把它看成三重积分按先二后一(y)的顺序化成的，则I=f(x，y，z)dzdx，其中Dzx={(z，x)｜0≤x≤1－y，，0≤z≤x+y}，如图9．47．(对z、x积分时y是参数，z、x变动时y是不变的)，交换x与z的积分顺序(先对x积分要分块积分)得知识点解析：这是对已化成累次积分的三重积分f(x，y，z)dV交换积分顺序的问题．这时可不必画出Ω的图形(一般也很难画)，只要把它看成是一次定积分加一次二重积分化成的，对其中的二重积分交换积分顺序，因而有时需分两步走，其中的每一步均是二重积分交换积分顺序问题．如本题：第一步，交换x与y的次序；第二步，交换x与z的次序，就会得到以x，z，y的顺序的累次积分．这种顺序交换可如同二重积分一样进行，关键步骤是画出二重积分区域的图形．有了图形，积分限就容易写出了．21、求I=dz．标准答案：希望通过交换积分顺序，比较容易地算出这个累次积分．把它看成是三重积分dV按先一后二的顺序化成的．于是I=dz．其中Dxy={(x，y)，)｜0≤x≤1，x≤y≤1}，如图9．48．对外层积分按先x后y的顺序得其中D如图9．49，按先y后z的顺序配限得知识点解析：暂无解析22、将极坐标系中的累次积分转换成直角坐标系中的累次积分或相反：(Ⅰ)f(rcosθ，rsinθ)rdr写成直角坐标系下先对y后对x积分的累次积分；(Ⅱ)计算e－x2dx．标准答案：(Ⅰ)D的极坐标表示：≤θ≤π，0≤r≤sinθ，即≤0≤π，r2≤rsinθ，即x2+y2≤y，x≤0，则D为左半圆域：x2+y2≤y，x≤0，即x2+(y－，x≤0．用先对y后对x积分．D：，于是原式=(Ⅱ)积分区域D为扇形{(x，y)｜0≤y≤R，0≤x≤y}∪{(x，y)｜R≤y≤R，0≤x≤所以原式=(1－e－R2)．知识点解析：题(Ⅰ)是极坐标变换下的累次积分，先写成f(x，y)dxdy，确定积分区域D，再化成累次积分．题(Ⅱ)中无论是先对x，还是先对y积分都很难进行，这是因为e－x2，e－y2的原函数不是初等函数，所以必须改用其他坐标系．又由于被积函数属f(x2+y2)的形式，因此选用极坐标系较方便．23、计算(a＞0)，其中D是由圆心在点(a，a)、半径为a且与坐标轴相切的圆周的较短一段弧和坐标轴所围成的区域．标准答案：由于圆的方程为：(x－a)2+(y－a)2=a2，区域D的边界所涉及的圆弧为y=a－所以知识点解析：暂无解析24、计算二重积分｜｜x+y｜－2｜dxdy，其中D：0≤x≤2，－2≤y≤2．标准答案：因如图9．50，用直线y=－x+2，y=－x将D分成D1，D2与D3．于是知识点解析：暂无解析25、计算下列二重积分：(Ⅰ)xydσ，其中D是由曲线r=sin2θ(0≤θ≤)围成的区域；(Ⅱ)xydσ，其中D是由曲线y=，x2+(y－1)2=1与y轴围成的在右上方的部分．标准答案：(Ⅰ)积分域D见图9．51．D的极坐标表示是：0≤θ≤，0≤r≤sin2θ，于是(Ⅱ)选用极坐标系，所涉及两个圆的极坐标方程为r=1与r=2sinθ，交点的极坐标为(1，)，见图9．52，于是积分域D的极坐标表示为D={