2025年高考数学一轮专题复习-空间向量和立体几何专题十一（含解析）

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）空间向量和立体几何高考复习专题十一知识点一求点面距离,线面角的向量求法,点到平面距离的向量求法典例1、如图，在直三棱柱中，E，F，G分别为线段及的中点，P为线段上的点，，三棱柱的体积为240．（1）求点F到平面的距离；（2）试确定动点P的位置，使直线与平面所成角的正弦值最大．

随堂练习：如图，在直三棱柱中，，分别是，的中点，已知，．（1）证明：平面；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）求到平面的距离．典例2、如图，在三棱柱中，平面平面，是矩形，已知，动点在棱上，点在棱上，且.（1）求证：;（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值;（3）在满足（2）的条件下，求点到平面的距离.

随堂练习：如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，点为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离．

典例3、已知是锐角三角形，分别以为直径作三个球.这三个球交于一点.（1）若，求到平面的距离；（2）记直线与平面的夹角为，直线与平面的夹角为，直线与平面的夹角为，证明：为定值.

随堂练习：如图所示，在三棱柱中，，，，平面平面，点是线段的中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（3）若点在线段上，且平面，求点到平面的距离.知识点二证明线面垂直,求点面距离,证明面面垂直典例4、如图，四棱锥的底面是梯形，为延长线上一点，平面是中点.（1）证明：；（2）若，三棱锥的体积为，求点到平面的距离.随堂练习：边长为1的正方形中，点M，N分别是DC，BC的中点，现将，分别沿AN，AM折起，使得B，D两点重合于点P，连接PC，得到四棱锥.（1）证明：平面平面；（2）求四棱锥的体积.典例5、如图,在四棱锥中,已知棱两两垂直且长度分别1,1,2,,．（1）若中点为,证明:平面;（2）求点到平面的距离．

随堂练习：在边长为2的正方形外作等边（如图1），将沿折起到的位置，使得（如图2）.（1）求证：平面平面；（2）若F，M分别为线段的中点，求点P到平面的距离.

典例6、如图，在四棱锥中，底面ABCD，梯形ABCD中，，，E是PD的中点.（1）求证：平面平面PBC；（2）若，求P到平面AEC的距离.

随堂练习：如图，D，O是圆柱底面的圆心，是底面圆的内接正三角形，为圆柱的一条母线，P为的中点，Q为的中点，（1）若，证明：平面；（2）设，圆柱的侧面积为，求点B到平面的距离.空间向量和立体几何高考复习专题十一答案典例1、答案：（1）（2）P为中点解：（1）在中，，为的中点，，即，由直三棱柱的体积，则=240解得，以为原点，并分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，由为的中点，则，由为的中点，则，在平面中，取，，设该平面的法向量为，则，即，令，则，故平面的一个法向量为，取，由点面距公式，可得到平面的距离.（2）由（1）可知：，，，，，由，平面，则设，，设，即，，在平面内，取，，设其法向量，则，即，令，则，故平面的一个法向量，取，设直线与平面所成角为，则，则当时，P与B重合，当时，，令，当时，即，P为中点时，随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）（3）解：（1）证明：连接，，连接，在直三棱柱中为矩形，则为的中点，又为的中点，所以，平面，平面．平面．（2），，，，．由直三棱柱中，底面，底面，，．以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的法向量为，则，令，则，，所以，设与平面所成的角为，则，所以与平面所成角的正弦值为；（3）设到平面的距离为，则；典例2、答案：（1）证明见解析；（2）；（3）点到平面的距离为.解：（1）因为四边形是矩形，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，（2）因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面，又，所以两两相互垂直，以为原点，，，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，,设，则，所以，，设平面的法向量为，，则，，取，可得，设直线与平面的夹角为，则，所以，化简可得，又，所以，所以；（3）由(2)平面的法向量为，，又，设点到平面的距离为，则.所以点到平面的距离为.随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）（3）1解：（1）连接BD，交AC于点O，又P，O分别为DF和DB的中点，所以BF//PO，因为PO⊂平面APC，BF⊄平面APC，所以BF//平面APC；（2）直线AF⊥平面，AB⊂平面ABCD，所以AF⊥AB，由（1）得AD⊥AF，AD⊥AB，所以以A为原点，AB，AD，AF所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，，所以，，，设平面BCF的法向量，则，令，则设直线DE与平面BCF所成角的正弦值θ，所以，所以直线DE与平面BCF所成角的正弦值；（3）由（2），设平面APC的法向量为，则，令，则所以平面APC的法向量，则点E到平面APC的距离，所以E到平面APC的距离1．典例3、答案：（1）；（2）证明见解析.解：（1）依题意得，故可以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系.而，故，故，则，设平面的法向量为则，故，设到平面的距离为d，则.（2）按（1）方式建系，设，则，故，设平面的法向量为，同（1）可得：，，，故故为定值.随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）（3）解：（1）取线段的中点，连结，因为平面平面，，所以平面，所以平面，因为，，所以是正三角形，又点是线段的中点，所以.可以建立以为原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），可得，，，，，，，，证明：，，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得，又，故，因此平面.（2）依意，，由（I）知为平面的法向量.因此，所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）依题意，设，，所以，因此，设为平面的法向量，则，即，不妨令，可得，，因为平面，所以，解得，所以，设点到平面的距离为，，则，所以点到平面的距离为.典例4、答案：（1）证明见解析（2）解：（1）连接，平面平面，同理，，，.又平面,平面.平面.取的中点，连接为的中点，，.，，为的中点，.又平面，平面.平面.（2）.，且四边形为矩形，即，又由（1），平面，，平面.∴.连接，中，中.为中点，点到平面的距离中，.由（1）知面，在中，，中，∴，.设点到平面的距离为，则即，解得.所以点到平面的距离为.随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）解：（1）证明：在正方形中有，，，，又因为，所以平面，而平面，所以平面平面.（2）连接MN,由题意可得，，，由，所以为直角三角形，即，，设点到平面的距离为，由得，，即，得，即四棱锥的体积为典例5、答案：（1）证明见解析（2）解：（1）证明:取中点为,连接,如图所示:分别为中点,,且,,,,故四边形为平行四边形,故,不含于平面,平面,故平面;（2）连接,两两垂直且长度分别为1,1,2,且,,,将底面拿出考虑如下:,,,,,,记到平面的距离为,则,解得:,故到平面的距离为.随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）解：（1）由于，所以，由于四边形是正方形，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以平面平面.（2）连接，由于三角形是等边三角形，所以，由于平面平面且交线为，平面，所以平面.由于是的中点，所以到平面的距离是，且到平面的距离等于到平面的距离，设这个距离为.由于平面，所以，所以，，在三角形中，由余弦定理得，所以，，在三角形中，，则为锐角，，所以，，由得，解得，所以点P到平面的距离为.典例6、答案：（1）证明见解析（2）解：（1）∵PC⊥平面ABCD，平面ABCD，∴.取AB的中点M，连接CM，∵，，∴，，∴四边形ADCM为平行四边形.∵，∴为菱形，∴.∵，∴四边形BMDC为平行四边形,∴,∴.又有，平面PBC,∴AC⊥平面PBC.平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.（2）∵，，，∴，又有，，，∴.，E为PD的中点，，∴在中，.由,得,求得.在中，，则，∴的面积.设P到平面AEC的距离为d，又，解得.随堂练习：答案：（1）证明见解析（2）解：（1）∵D，O为圆柱底面的圆心，∴平面.而为圆柱的一条母线，∴.又∵P为的中点，Q为的