拔高点突破04 多元函数最值与双重变量最值问题（十三大题型）（原卷版）

拔高点突破04多元函数最值与双重变量最值问题目录TOC\o"1-2"\h\z\u01方法技巧与总结 202题型归纳与总结 2题型一：消元法 2题型二：判别式法 2题型三：基本不等式法 2题型四：辅助角公式法 3题型五：柯西不等式法 3题型六：权方和不等式法 3题型七：拉格朗日乘数法 4题型八：三角换元法 4题型九：构造齐次式 5题型十：数形结合法 5题型十一：向量法 5题型十二：琴生不等式法 6题型题型十三：双重变量最值问题 603过关测试 7

解决多元函数的最值问题不仅涉及到函数、导数、均值不等式等知识，还涉及到消元法、三角代换法、齐次式等解题技能．题型一：消元法【典例1-1】已知正实数x，y满足，则的最大值为______.【典例1-2】已知实数满足：，则的最大值为___________.【变式1-1】对任给实数,不等式恒成立,则实数的最大值为__________.题型二：判别式法【典例2-1】（2024·广东茂名·二模）已知实数a，b满足，则的最小值是.【典例2-2】已知，且，则的取值范围是.【变式2-1】（2024·浙江·二模）设，，若，且的最大值是，则.【变式2-2】设非零实数a，b满足，若函数存在最大值M和最小值m，则.题型三：基本不等式法【典例3-1】已知，则的最小值为.【典例3-2】已知正实数，，满足，则的最小值为．【变式3-1】已知，则的最大值为．【变式3-2】（2024·河南郑州·模拟预测）已知，，，则的最小值为．题型四：辅助角公式法【典例4-1】设是一个三角形的三个内角，则的最小值为.【典例4-2】曲线上的点到坐标原点的距离的最小值等于．【变式4-1】已知，则的最小值为．题型五：柯西不等式法【典例5-1】实数x、y满足，则的最大值是【典例5-2】函数的最大值与最小值之积为．【变式5-1】已知则的最大值为【变式5-2】已知，，，则的最大值是.题型六：权方和不等式法【典例6-1】已知为锐角，则的最小值为.【典例6-2】求的最大值为【变式6-1】已知，求的最小值为【变式6-2】（2024·四川·模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的．其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立．根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为（

）A． B． C． D．题型七：拉格朗日乘数法【典例7-1】，，，求的最小值．，，，【典例7-2】设为实数，若，则的最大值是．【变式7-1】已知为非负数,,求的最值.题型八：三角换元法【典例8-1】函数的值域为.【典例8-2】函数的值域是．【变式8-1】函数的值域是区间．【变式8-2】若，且，则二元函数的取值范围是（）A． B．C． D．题型九：构造齐次式【典例9-1】已知，，则的最大值是______.【典例9-2】已知实数，若，则的最小值为（

）A．12 B． C． D．8【变式9-1】（2024·天津南开·高三统考期中）已知正实数a，b，c满足，则的最大值为____________．题型十：数形结合法【典例10-1】的最小值为（

）A．5 B． C．6 D．【典例10-2】（2024·高三·山西太原·期末）已知函数的最大值为，最小值为，则的值为A． B． C． D．【变式10-1】（2024·湖北·模拟预测）设，其中，则的最小值为（）A． B． C． D．【变式10-2】已知点在直线，点在直线上，且，的最小值为（

）A． B． C． D．5题型十一：向量法【典例11-1】（2024·上海金山·二模）已知平面向量、、满足：，，则的最小值为．【典例11-2】如图，圆是的外接圆，，，，若，则的最大值是．【变式11-1】（2024·浙江杭州·二模）已知都是单位向量，且，则的最小值为；最大值为【变式11-2】（2024·四川成都·二模）已知向量，向量，则的最大值是．题型十二：琴生不等式法【典例12-1】在内，求的最大值．【典例12-2】已知函数，则的最小值是.【变式12-1】半径为的球的内接三棱锥的体积的最大值为.【变式12-2】半径为的圆的内接三角形的面积的最大值是．题型题型十三：双重变量最值问题【典例13-1】规定表示取、中的较大者，例如，，则函数的最小值为.【典例13-2】（2024·广东韶关·二模）定义，对于任意实数，则的值是（）A． B． C． D．【变式13-1】设，则.【变式13-2】（2024·全国·模拟预测）设为实数中最大的数．若，，则的最小值为．1．已知直线与抛物线相交于，两点，若，则的最小值为（

）A．4 B． C．8 D．162．函数的值域为.3．函数的值域为．4．已知正数，，满足，则的最小值为5．（2024·辽宁大连·模拟预测）已知x，y，z均为正实数，则的最大值为.6．已知实数，，满足，则的最大值为7．（2024·贵州·三模）以表示数集中最大（小）的数.设，已知，则.8．已知正实数x，y满足，则的最小值为．9．向量满足，，，则的最大值为.10．（2024·河北沧州·模拟预测）已知单位向量，向量与不共线，且，则的最大值为．11．已知两个非零向量满足，则的最大值是．12．设为正数，，则的最大值是13．函数的最大值为.14．已知实数满足：，则的最大值是．15．已知圆是上的两个动点，且.设，，则的最大值为.16．已知实数x，y满足，则的最大值和最小值分别为和