2025高考总复习专项复习-圆锥曲线的方程专题十

21世纪教育网精品试卷·第2页（共2页）人教A版数学--高考解析几何复习专题十知识点一根据离心率求椭圆的标准方程,椭圆中三角形（四边形）的面积,求椭圆中的最值问题典例1、已知椭圆的左焦点为F，C上任意一点M到F的距离最大值和最小值之积为3，离心率为.（1）求C的方程；（2）若过点的直线l交C于A，B两点，且点A关于x轴的对称点落在直线上，求n的值及面积的最大值.随堂练习：已知椭圆的离心率为，为其左焦点，过的直线与椭圆交于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）试求面积的最大值以及此时直线的方程.典例2、已知椭圆：的左右焦点分别为，，右顶点为，上顶点为，为坐标原点，（1）若的面积为，求椭圆的标准方程：（2）过点作斜率的直线交椭圆于不同两点，，点在椭圆的内部，在椭圆上存在点，使，记四边形的面积为，求的最大值.

随堂练习：已知椭圆：经过点，离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线：与椭圆C有两个不同的交点A，B，原点到直线的距离为2，求的面积的最大值.典例3、已知点与，动点满足直线，的斜率之积为，则点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）若点在直线上，直线，分别与曲线交于点，，求与面积之比的最大值.

随堂练习：已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，钝角三角形的面积为，斜率为的直线交椭圆C于P，Q两点.当直线经过，A两点时，点到直线的距离为.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设O为坐标原点，当直线的纵截距不为零时，试问是否存在实数k，使得为定值?若存在，求出此时面积的最大值；若不存在，请说明理由.知识点二双曲线定义的理解,根据a、b、c求双曲线的标准方程,等轴双曲线,双曲线中的定值问题典例4、已知双曲线的方程为.（1）直线与双曲线的一支有两个不同的交点，求的取值范围；（2）过双曲线上一点的直线分别交两条渐近线于两点，且是线段的中点，求证：为常数.

随堂练习：已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线与直线平行.（1）求双曲线的方程；（2）若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.典例5、以双曲线的右焦点为圆心作圆，与的一条渐近线切于点．（1）求双曲线的离心率及方程；（2）点分别是双曲线的左、右顶点，过右焦点作一条斜率为的直线，与双曲线交于点，记直线的斜率分别为，．求的值．

随堂练习：已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且点，，三个点中有且仅有两点在双曲线上．（1）求双曲线的标准方程；（2）直线交双曲线于轴右侧两个不同点的，连接分别交直线于点．若直线与直线的斜率互为相反数，证明：为定值．典例6、在平面直角坐标系中，动点M到点的距离等于点M到直线的距离的倍，记动点M的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）已知直线与曲线C交于A，B两点，曲线C上恰有两点P，Q满足，问是否为定值?若为定值，请求出该值；若不为定值，请说明理由.

随堂练习：已知双曲线的离心率为，左､右顶点分别为M，N，点满足（1）求双曲线C的方程；（2）过点P的直线l与双曲线C交于A，B两点，直线OP与直线AN交于点D.设直线MB，MD的斜率分别为，求证：为定值.人教A版数学--高考解析几何复习专题十答案典例1、答案：（1）；（2），面积的最大值为.解：（1）由题意可得，，，.又因为，，，由已知可得，即，又椭圆C的离心率，所以，则，解得，所以，所以椭圆C的方程为.（2）设，，又，因为，所以，所以，化简整理得①.设直线，联立直线与椭圆方程化简整理可得，，可得②，由韦达定理，可得，③，将，代入①，可得④，再将③代入④，可得，解得，所以直线l的方程为，且由②可得，，即，由点到直线l的距离，，.令，则，当且仅当时，即，等号成立，所以面积S最大值为.随堂练习：答案：（1）；（2）最大值为，此时直线的方程.解：（1）依题意，椭圆的半焦距，而离心率，则，，所以椭圆的标准方程为：.（2）显然直线不垂直于y轴，设其方程为：，设，由消去x得：，则，，因此的面积，令，有，而函数在上单调递增，因此当，即时，取得最小值4，取得最大值，此时直线，所以面积的最大值为，此时直线的方程.典例2、答案：（1）（2）解：（1），∴，，，又，解得，所以椭圆的标准方程为：.（2），∴，椭圆，令，直线l的方程为：，联立方程组：，消去y得，由韦达定理得，，有，因为：，所以，，将点Q坐标代入椭圆方程化简得：，而此时：.，而，O点到直线l的距离，所以：，因为点P在椭圆内部，所以，得，又，所以，当，即时等号成立.所以的最大值是.随堂练习：答案：（1）（2）4解：（1）由题意可得：，又离心率为，所以，可得，那么，代入可得：，，所以椭圆的标准方程为；（2）由题意可知，原点到直线的距离为2，那么，即：，设，，联立可得：，其判别式，可知由韦达定理可得：，，那么，所以的面积当且仅当时取得等号，所以△的面积的最大值.典例3、答案：（1）（2）解：（1），，化简得，（2）当位于轴上时，此时直线，的斜率均不存在，不合题意，舍去故曲线的方程为；设，则直线的方程为，联立得：，，直线的方程为，联立，得，.故，当且仅当时等号成立.最大值为.随堂练习：答案：（1）（2）存在，1解：（1）设，，则.当直线经过点，A时，由的面积为，到的距离为，得①，同时得，即②.联立①②，结合，解得，，或，，.因为为钝角三角形，所以，所以，，.故椭圆C的标准方程为.（2）由题意设直线的方程为，联立消元得.当，即时满足题意.设，，则，.，若为定值，则上式与无关，故，得，此时.又点到直线的距离，所以，当且仅当，即时，等号成立.经检验，此时成立，所以面积的最大值为1.典例4、答案：（1）；（2），证明见解析.解：（1）直线与双曲线即联立得即由题意得有两个同号根，则满足即，即解得：双曲线的方程为，所以双曲线的渐近线为则，所以的中点又因为点在双曲线上，即即，即.随堂练习：答案：（1）（2）是，2解：（1）设双曲线的焦距为，由题意可得：，则，则双曲线的方程为.（2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在，设直线的方程为，则，消得：，则，可得：①设与轴交点为，则，∵双曲线两条渐近线方程为：，联立，解得，即，同理可得：，则（定值）.典例5答案：（1）离心率为，方程为；（2）．解：（1）双曲线的渐近线为，所以圆与切于点，．①设，则，即，②又，③由①②③解得，，，所以双曲线的离心率为，方程为．（2）因为，，，设的方程为，，，由，消去整理得，所以且解得，所以，，，，．故的值为．随堂练习：答案：（1）；（2）证明见解析.解：（1）由题意知：不可能同时在双曲线上；若在双曲线上，则双曲线焦点在轴上，可设为，，解得：，双曲线方程为；若在双曲线上，则双曲线焦点在轴上，可设为，，方程组无解；综上所述：双曲线的标准方程为.（2）由题意知：直线，即直线斜率存在，可设，，，由得：，且，即且；，，直线与直线的斜率互为相反数，，即，化简得：，整理可得：，即；当时，，则，恒过点，与已知矛盾，舍去；当，即时，直线直线，即，，，即；要证为定值，即证为定值，即证为定值，，，即为定值.典例6、答案：（1）（2）是定值，解:（1）设，由题意得，化简得（2）存在.设，，联立直线与双曲线方程，有由韦达定理，有，法一：注意到上式当时，上式恒成立，即过定点和经检验两点恰在双曲线C上，且不与A，B重合，故为定值，该定值为法二：联立直线与双曲线方程，有……（1）（1）式两边平方，有，即……（2）注意到，是此方程的两个增根，故含有因式，记为代入（2），有即即即解得，代回（1）有或经检验直线不过这两点，故上述两点为P