山西省平遥中学2022年高考仿真卷数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知双曲线的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（）A． B． C． D．2．若平面向量，满足，则的最大值为（）A． B． C． D．3．已知抛物线的焦点为，是抛物线上两个不同的点，若，则线段的中点到轴的距离为（）A．5 B．3 C． D．24．如图，正三棱柱各条棱的长度均相等，为的中点，分别是线段和线段的动点（含端点），且满足，当运动时，下列结论中不正确的是A．在内总存在与平面平行的线段B．平面平面C．三棱锥的体积为定值D．可能为直角三角形5．若为过椭圆中心的弦，为椭圆的焦点，则△面积的最大值为（）A．20 B．30 C．50 D．606．已知，则（）A． B． C． D．27．一辆邮车从地往地运送邮件，沿途共有地，依次记为，，…（为地，为地）．从地出发时，装上发往后面地的邮件各1件，到达后面各地后卸下前面各地发往该地的邮件，同时装上该地发往后面各地的邮件各1件，记该邮车到达，，…各地装卸完毕后剩余的邮件数记为．则的表达式为（）．A． B． C． D．8．执行如下的程序框图，则输出的是（）A． B．C． D．9．已知复数为虚数单位），则z的虚部为（）A．2 B． C．4 D．10．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若，且，则面积的最大值是()A． B． C． D．11．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（）A．2对 B．3对C．4对 D．5对12．将一块边长为的正方形薄铁皮按如图（1）所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，将该容器按如图（2）放置，若其正视图为等腰直角三角形，且该容器的容积为，则的值为（）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，在棱长为2的正方体中，点、分别是棱，的中点，是侧面正方形内一点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是______.14．设直线过双曲线的一个焦点，且与的一条对称轴垂直，与交于两点，为的实轴长的2倍，则双曲线的离心率为.15．三棱锥中，点是斜边上一点.给出下列四个命题：①若平面，则三棱锥的四个面都是直角三角形；②若，，，平面，则三棱锥的外接球体积为；③若，，，在平面上的射影是内心，则三棱锥的体积为2；④若，，，平面，则直线与平面所成的最大角为.其中正确命题的序号是__________．（把你认为正确命题的序号都填上）16．边长为2的菱形中,与交于点O,E是线段的中点,的延长线与相交于点F,若,则______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数的导函数的两个零点为和．（1）求的单调区间；（2）若的极小值为，求在区间上的最大值．18．（12分）设点，分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任意一点，且的最小值为1．（1）求椭圆的方程；（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点，是直线上的两点，且，，求四边形面积的最大值．19．（12分）对于给定的正整数k，若各项均不为0的数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”.（1）证明：等比数列是“数列”；（2）若数列既是“数列”又是“数列”，证明：数列是等比数列.20．（12分）已知函数.（1）若对任意x0，f（x）0恒成立，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）有两个不同的零点x1，x2（x1x2），证明：.21．（12分）已知在中，角，，的对边分别为，，，的面积为.（1）求证：；（2）若，求的值.22．（10分）已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．A【解析】

根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍，可得出，结合，得出，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】解：由双曲线可知，焦点在轴上，则双曲线的渐近线方程为：，由于焦距是虚轴长的2倍，可得：，∴，即：，，所以双曲线的渐近线方程为：.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，以及双曲线的渐近线方程.2．C【解析】

可根据题意把要求的向量重新组合成已知向量的表达，利用向量数量积的性质，化简为三角函数最值.【详解】由题意可得：，，，故选：C【点睛】本题主要考查根据已知向量的模求未知向量的模的方法技巧,把要求的向量重新组合成已知向量的表达是本题的关键点.本题属中档题.3．D【解析】

由抛物线方程可得焦点坐标及准线方程,由抛物线的定义可知,继而可求出,从而可求出的中点的横坐标,即为中点到轴的距离.【详解】解：由抛物线方程可知，，即，.设则，即，所以.所以线段的中点到轴的距离为.故选:D.【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得两点横坐标的和.4．D【解析】

A项用平行于平面ABC的平面与平面MDN相交，则交线与平面ABC平行；B项利用线面垂直的判定定理；C项三棱锥与三棱锥体积相等，三棱锥的底面积是定值，高也是定值，则体积是定值;D项用反证法说明三角形DMN不可能是直角三角形.【详解】A项，用平行于平面ABC的平面截平面MND，则交线平行于平面ABC，故正确；B项，如图：当M、N分别在BB1、CC1上运动时,若满足BM=CN,则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O,由DO垂直于平面BCC1B1可得平面平面，故正确；C项,当M、N分别在BB1、CC1上运动时,△A1DM的面积不变,N到平面A1DM的距离不变,所以棱锥N-A1DM的体积不变,即三棱锥A1-DMN的体积为定值,故正确；D项,若△DMN为直角三角形,则必是以∠MDN为直角的直角三角形,但MN的最大值为BC1,而此时DM,DN的长大于BB1,所以△DMN不可能为直角三角形,故错误.故选D【点睛】本题考查了命题真假判断、棱柱的结构特征、空间想象力和思维能力，意在考查对线面、面面平行、垂直的判定和性质的应用，是中档题.5．D【解析】

先设A点的坐标为，根据对称性可得，在表示出面积，由图象遏制，当点A在椭圆的顶点时，此时面积最大，再结合椭圆的标准方程，即可求解.【详解】由题意，设A点的坐标为，根据对称性可得，则的面积为，当最大时，的面积最大，由图象可知，当点A在椭圆的上下顶点时，此时的面积最大，又由，可得椭圆的上下顶点坐标为，所以的面积的最大值为.故选：D.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角形面积公式的应用，着重考查了数形结合思想，以及化归与转化思想的应用.6．B【解析】

结合求得的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值.【详解】由，以及，解得..故选：B【点睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题.7．D【解析】

根据题意，分析该邮车到第站时，一共装上的邮件和卸下的邮件数目，进而计算可得答案．【详解】解：根据题意，该邮车到第站时，一共装上了件邮件，需要卸下件邮件，则，故选：D．【点睛】本题主要考查数列递推公式的应用，属于中档题．8．A【解析】

列出每一步算法循环，可得出输出结果的值.【详解】满足，执行第一次循环，，；成立，执行第二次循环，，；成立，执行第三次循环，，；成立，执行第四次循环，，；成立，执行第五次循环，，；成立，执行第六次循环，，；成立，执行第七次循环，，；成立，执行第八次循环，，；不成立，跳出循环体，输出的值为，故选：A.【点睛】本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等题.9．A【解析】

对复数进行乘法运算，并计算得到，从而得到虚部为2.【详解】因为，所以z的虚部为2.【点睛】本题考查复数的四则运算及虚部的概念，计算过程要注意.10．A【解析】

根据正弦定理可得，求出，根据平方关系求出.由两端平方，求的最大值，根据三角形面积公式，求出面积的最大值.【详解】中，，由正弦定理可得，整理得，由余弦定理，得.D是AB的中点，且，，即，即，，当且仅当时，等号成立.的面积，所以面积的最大值为.故选：.【点睛】本题考查正、余弦定理、不等式、三角形面积公式和向量的数量积运算，属于中档题.11．C【解析】

画出该几何体的直观图，易证平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，从而可选出答案．【详解】该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面平面，作PO⊥AD于O，则有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD，所以平面平面，同理可证：平面平面，由三视图可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD，所以，AP⊥平面PCD，所以，平面平面，所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题．12．D【解析】

推导出，且，，，设中点为，则平面，由此能表示出该容器的体积，从而求出参数的值．【详解】解：如图（4），为该四棱锥的正视图，由图（3）可知，，且，由为等腰直角三角形可知，，设中点为，则平面，∴，∴，解得.故选：D【点睛】本题考查三视图和锥体的体积计算公式的应用，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．【解析】

取中点，连结，，推导出平面平面，从而点在线段上运动，作于，由，能求出线段长度的取值范围．【详解】取中点，连结，，在棱长为2的正方体中，点、分别是棱、的中点，，，，，平面平面，是侧面正方形内一点（含边界），平面，点在线段上运动，在等腰△中，，，作于，由等面积法解得：，，线段长度的取值范围是，．故答案为：，．【点睛】本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14．【解析】

不妨设双曲线，焦点，令，由的长为实轴的二倍能够推导出的离心率.【详解】不妨设双曲线，焦点，对称轴，由题设知，因为的长为实轴的二倍，，，，故答案为.【点睛】本题主要考查利用双曲线的简单性质求双曲线的离心率，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.求离心率问题应先将用有关的一些量表示出来，再利用其中的一些关系构造出关于的等式，从而求出的值.15．①②③【解析】

对①，由线面平行的性质可判断正确；对②，三棱锥外接球可看作正方体的外接球，结合外接球半径公式即可求解；对③，结合题意作出图形，由勾股定理和内接圆对应面积公式求出锥体的高，则可求解；对④，由动点分析可知，当点与点重合时，直线与平面所成的角最大，结合几何关系可判断错误；【详解】对于①，因为平面，所以，，，又，所以平面，所以，故四个面都是直角三角形，∴①正确；对于②，若，，，平面，∴三棱锥的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，∴，，∴体积为，∴②正确；对于③，设内心是，则平面，连接，则有，又内切圆半径，所以，，故，∴三棱锥的体积为，∴③正确；对于④，∵若，平面，则直线与平面所成的角最大时，点与点重合，在中，，∴，即直线与平面所成的最大角为，∴④不正确，故答案为：①②③.【点睛】本题考查立体几何基本关系的应用，线面垂直的性质及判定、锥体体积、外接球半径求解，线面角的求解，属于中档题16．【解析】

取基向量，，然后根据三点共线以及向量加减法运算法则将，表示为基向量后再相乘可得．【详解】如图：设，又，且存在实数使得，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）单调递增区间是，单调递减区间是和；（2）最大值是．【解析】

（1）求得，由题意可知和是函数的两个零点，根据函数的符号变化可得出的符号变化，进而可得出函数的单调递增区间和递减区间；（2）由（1）中的结论知，函数的极小值为，进而得出，解出、、的值，然后利用导数可求得函数在区间上的最大值.【详解】（1），令，因为，所以的零点就是的零点，且与符号相同．又因为，所以当时，，即；当或时，，即.所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是和；（2）由（1）知，是的极小值点，所以有，解得，，，所以．因为函数的单调递增区间是，单调递减区间是和.所以为函数的极大值，故在区间上的最大值取和中的最大者，而，所以函数在区间上的最大值是．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间与最值，考查计算能力，属于中等题.18．（1）；（2）2.【解析】

（1）利用的最小值为1，可得，，即可求椭圆的方程；（2）将直线的方程代入椭圆的方程中，得到关于的一元二次方程，由直线与椭圆仅有一个公共点知，即可得到，的关系式，利用点到直线的距离公式即可得到，．当时，设直线的倾斜角为，则，即可得到四边形面积的表达式，利用基本不等式的性质，结合当时，四边形是矩形，即可得出的最大值．【详解】（1）设，则，，，，由题意得，，椭圆的方程为；

（2）将直线的方程代入椭圆的方程中，得．

由直线与椭圆仅有一个公共点知，，化简得：．

设，，当时，设直线的倾斜角为，则，，，，∴当时，，，．当时，四边形是矩形，．

所以四边形面积的最大值为2．【点睛】本题主要考查椭圆的方程与性质、直线方程、直线与椭圆的位置关系、向量知识、二次函数的单调性、基本不等式的性质等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想．19．（1）证明见详解；（2）证明见详解【解析】

（1）由是等比数列，由等比数列的性质可得：即可证明.（2）既是“数列”又是“数列”，可得，，则对于任意都成立，则成等比数列，设公比为，验证得答案.【详解】（1）证明：由是等比数列，由等比数列的性质可得：等比数列是“数列”.（2）证明：既是“数列”又是“数列”，可得，（）（），（）可得：对于任意都成立，即成等比数列，即成等比数列，成等比数列，成等比数列，设，（）数列是“数列”时，由（）可得：时，由（）可得：，可得，同理可证成等比数列，数列是等比数列【点睛】本题是一道数列的新定义题