新高考数学一轮复习第5章 第10讲 拓展五 四边形问题 精讲（教师版）

第10讲拓展五：四边形问题(精讲）目录第一部分：典型例题剖析高频考点一：求四边形中边（或角）高频考点二：求四边形面积高频考点三：求四边形面积最值第二部分：高考真题感悟第一部分：典型例题剖析第一部分：典型例题剖析高频考点一：求四边形中边（或角）1．（2022·福建·莆田一中高一期中）如图所示，四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0__________，SKIPIF1<0__________.【答案】

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8在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.故答案为：5；82．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0面积取最大值时，SKIPIF1<0___________.【答案】2−2##-2+2设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0面积SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，函数在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以函数在SKIPIF1<0上单调递增，在SKIPIF1<0上单调递减，所以当SKIPIF1<0时，函数取得最大值为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.3．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，四边形SKIPIF1<0是由等腰直角三角形SKIPIF1<0以及直角三角形SKIPIF1<0拼接而成，其中SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为__________．【答案】SKIPIF1<0解：因为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0是等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.4．（2022·河北·模拟预测）从①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．问题：如图，在平面四边形SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，且__________．(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)选①因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．选②由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．(2)由（1）知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．5．（2022·四川绵阳·高一期中）在平面四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)记SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)解：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.(2)解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，

由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.6．（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，在平面四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的面积；(2)当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积是SKIPIF1<0.(2)在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为锐角，所以SKIPIF1<0.7．（2022·河南·安阳一中高一阶段练习）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，使得如图所示的四边形ABCD满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求B；(2)求BC的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．(2)设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以BC的取值范围是SKIPIF1<0．8．（2022·山东·临沭县教育和体育局高一期中）已知平面四边形SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)当SKIPIF1<0时，求四边形SKIPIF1<0的面积；(2)求SKIPIF1<0的值（用SKIPIF1<0表示）；(3)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的函数表达式，并求出SKIPIF1<0的最小值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0(1)解：SKIPIF1<0又SKIPIF1<0又SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0为正三角形，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，∵SKIPIF1<0故四边形ABCD的面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0(3)在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.9．（2022·江苏·海安市曲塘中学高一期中）在平面四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0的长.【答案】(1)证明见解析；(2)SKIPIF1<0.(1)由题意可知，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由四边形SKIPIF1<0的内角和定理，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.(2)在SKIPIF1<0中，由正弦定理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理，得SKIPIF1<0，即，SKIPIF1<0，由①②得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.10．（2022·广东·佛山市南海区艺术高级中学模拟预测）如图，四边形SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)若点SKIPIF1<0是线段SKIPIF1<0上的一点，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)解：设SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中据余弦定理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，①又在SKIPIF1<0中据余弦定理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，②因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，联立①②可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．(2)解：在SKIPIF1<0中，由正弦定理知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，由勾股定理知，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0．高频考点二：求四边形面积1．（2022·吉林长春·模拟预测（文））如图，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的长；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0由余弦定理得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为锐角，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.2．（2022·山西大附中高一期中）（1）定理默写：请用数学符号语言表达余弦定理（写出三个式子）；（2）定理证明：请用向量方法证明余弦定理（只需证明你写出的其中一个式子即可）；（3）定理应用：如图在四边形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.①求SKIPIF1<0；②求四边形ABCD的面积.【答案】（1）见解析（2）见解析；（3）①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0.（1）余弦定理为：a2＝b2+c2﹣2bccosA．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）证明：SKIPIF1<0.证明：如图：设SKIPIF1<0，由三角形法则有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0.（3）①在SKIPIF1<0中，由余弦定理知：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由正弦定理知SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．②由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0的面积为：SKIPIF1<0．3．（2022·重庆一中高三阶段练习）在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，且_______，作SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0围成梯形SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求角SKIPIF1<0的大小；(2)求四边形SKIPIF1<0的面积【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)若选条件①，由正弦定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若选条件②，由正弦定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若选条件③，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(2)在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0中，由正弦定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.4．（2022·湖南·长郡中学高一期中）如图，四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A为锐角.(1)求SKIPIF1<0；(2)求四边形SKIPIF1<0的面积.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，A为锐角，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)在SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0.5．（2022·宁夏·石嘴山市第三中学模拟预测（理））如图在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)求四边形SKIPIF1<0的面积．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)在SKIPIF1<0中，由余弦定理知：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由正弦定理知SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．(2)由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0的面积为：SKIPIF1<0．高频考点三：求四边形面积最值1．（2022·江苏·盐城中学高一期中）在四边形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则四边形ABCD面积的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B在三角形SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以三角形SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：B．2．（2022·福建·三明一中高一期中）如图，平面四边形ABCD中，SKIPIF1<0，则四边形ABCD的面积的最大值为___________【答案】SKIPIF1<0解：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则由余弦定理SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<03．（2022·云南保山·高一期中）如图，在平面四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.(1)证明：SKIPIF1<0；(2)记SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的面积分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)14(1)证明：在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0由（1）知：SKIPIF1<0，代入上式得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取到最大值14.4．（2022·河北唐山·三模）如图，在四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．(1)证明：SKIPIF1<0为直角三角形；(2)若SKIPIF1<0，求四边形SKIPIF1<0面积S的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)12(1)∵SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0与余弦定理∴SKIPIF1<0，整理得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0为直角三角形．(2)∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．（当且仅当SKIPIF1<0时取等号）所以四边形SKIPIF1<0面积S的最大值为12．5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）如图，设SKIPIF1<0的内角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，点D是SKIPIF1<0外一点，SKIPIF1<0．(1)求角B的大小；(2)求四边形SKIPIF1<0面积的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)因为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）．故SKIPIF1<0，由正弦定理得，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0(2)设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0由①知SKIPIF1<0为正三角形，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．6．（2022·山东师范大学附中模拟预测）如图，在△ABC中，角A，B，C的对边分别为SKIPIF1<0，△ABC的面积为S，且SKIPIF1<0．(1)求角B的大小；(2)若SKIPIF1<0为平面ABC上△ABC外一点，DB=2，DC=1，求四边形ABDC面积的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)解：在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．(2)解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等腰直角三角形，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，四边形SKIPIF1<0的面积最大值，最大值为SKIPIF1<0．7．（2022·福建省厦门集美中学高一期中）如图，在平面四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)求四边形SKIPIF1<0面积的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.(2)由余弦定理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0.又∵SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，四边形SKIPIF1<0的面积取得最大值SKIPIF1<0.8．（2022·江苏·苏州市相城区陆慕高级中学高一阶段练习）现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，将它们全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形.（1）求出所有可能的三角形的面积；（2）如图，已知平面凸四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.①求SKIPIF1<0满足的数量关系；②求四边形SKIPIF1<0面积的最大值，并指出面积最大时SKIPIF1<0的值.【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）根据三角形两边之和大于第三边，由题意可知，所有符合情况的可能三角形为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0当三角形三边为SKIPIF1<0时，由余弦定理知等腰三角形顶角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当三角形三边为SKIPIF1<0时，由余弦定理知等腰三角形顶角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）①连接SKIPIF1<0，由余弦定理知SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0②SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0取得最大值，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0第二部分：高考真题感悟第二部分：高考真题感悟1．（2020·江苏·高考真题）在△AB