新高考数学一轮复习第8章 第09讲 高考难点突破一 圆锥曲线的综合问题（定点问题） 精讲（教师版）

第09讲高考难点突破一：圆锥曲线的综合问题（定点问题）(精讲）目录第一部分：典型例题剖析题型一：椭圆中的定点问题角度1：椭圆中的直线过定点问题角度2：椭圆中存在定点满足某条件问题题型二：双曲线中的定点问题角度1：双曲线中的直线过定点问题角度2：双曲线存在定点满足某条件问题题型三：抛物线中的定点问题角度1：抛物线中的直线过定点问题角度2：抛物线存在定点满足某条件问题第二部分：高考真题感悟第一部分：典型例题剖析第一部分：典型例题剖析题型一：椭圆中的定点问题角度1：椭圆中的直线过定点问题典型例题例题1．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知椭圆SKIPIF1<0的一个顶点为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0.(1)求椭圆的方程：(2)过椭圆右焦点且斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆相交于两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且垂直于SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为原点），证明直线SKIPIF1<0过定点.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析（1）依题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆的标准方程为SKIPIF1<0.（2）由（1）知右焦点坐标为SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0直线OP的斜率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得点SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0恒过定点SKIPIF1<0.例题2．（2022·北京市十一学校高二期末）已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆的上顶点，SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0.SKIPIF1<0是椭圆上一动点，SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上一点，且直线SKIPIF1<0轴.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程：(2)记直线SKIPIF1<0与椭圆另一交点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0是否过SKIPIF1<0轴上一定点？若是，求出该定点：若否，请说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)过定点NSKIPIF1<0.(1)解：因为椭圆的右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆的上顶点，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆方程为SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0，易知直线PQ斜率为0时，QM为x轴，则若QM过定点，则定点位于x轴上，当直线PQ斜率不为0时，设SKIPIF1<0，与椭圆方程联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直线QM的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故直线QM过定点NSKIPIF1<0.例题3．（2022·安徽·合肥工业大学附属中学高二期末）已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，一个焦点SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0的焦点重合．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，证明：直线SKIPIF1<0恒过一定点．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)详见解析.(1)由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又离心率为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴椭圆C的方程为SKIPIF1<0.(2)设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，恒过定点SKIPIF1<0.同类题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）椭圆SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相互垂直（斜率存在），SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中点．求证：直线SKIPIF1<0过定点．【答案】证明见解析由题意可知，设AB直线为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,则因为SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0点即是SKIPIF1<0点，此时，直线MN为SKIPIF1<0轴．（2）当SKIPIF1<0时，将上式SKIPIF1<0点坐标中的SKIPIF1<0换成SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0．①当直线MN不垂直于SKIPIF1<0轴时，直线MN的斜率SKIPIF1<0，其方程SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，∴直线MN过定点SKIPIF1<0．②当直线MN垂直于SKIPIF1<0轴时，SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0，直线MN也过定点SKIPIF1<0．综上所述，直线MN过定点SKIPIF1<0．2．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，过点P作椭圆的割线PAB，C为B关于x轴的对称点．求证：直线AC恒过定点．【答案】证明见解析设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设AC与x轴的交点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由定比分点公式坐标公式得：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，SKIPIF1<0③，SKIPIF1<0④，由②④得SKIPIF1<0⑤∵点A、B在椭圆上，得SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，将①②代入上式得SKIPIF1<0⑥∵点A、C在椭圆上，得SKIPIF1<0，将③④代入上式同理可得SKIPIF1<0⑦对比⑤⑥⑦得SKIPIF1<0，故直线AC恒过定点SKIPIF1<0．3．（2022·陕西·千阳县中学高三阶段练习（文））椭圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0的左顶点为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)已知经过点SKIPIF1<0斜率存在的直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上一点.若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(1)解：由题意得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.(2)解：设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.所以，直线l的方程为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.4．（2022·陕西汉中·高二期末（文））在平面直角坐标系xOy中，已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M是一个动点，且直线AM，BM的斜率之积是SKIPIF1<0，记M的轨迹为E．(1)求E的方程；(2)若过点SKIPIF1<0且不与x轴重合的直线l与E交于P，Q两点，点P关于x轴的对称点为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0与Q不重合），直线SKIPIF1<0与x轴交于点G，求点G的坐标．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)设SKIPIF1<0，则直线AM的斜率为SKIPIF1<0，直线BM的斜率为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，故E的方程为SKIPIF1<0．(2)由题意知，过点F的直线PQ的斜率存在且不为0，可设其方程为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．则直线SKIPIF1<0方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴点G的坐标为SKIPIF1<0．角度2：椭圆中存在定点满足某条件问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆SKIPIF1<0的两焦点分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，短轴的一个端点为SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程和离心率；(2)椭圆SKIPIF1<0上是否存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0?若存在，求SKIPIF1<0的面积；若不存在，请说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0;(2)不存在，理由见解析.（1）由焦点坐标知SKIPIF1<0，由短轴端点SKIPIF1<0知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故所求椭圆标准方程为SKIPIF1<0.（2）假设椭圆C上存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，此方程无解.故椭圆上不存在点P，使得SKIPIF1<0.例题2．（2022·北京市十一学校高二期末）已知椭圆C：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的右顶点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为其上一点.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程及离心率；(2)SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上异于左右顶点的一点，线段SKIPIF1<0的中垂线交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为等边三角形，求SKIPIF1<0点横坐标.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)B点横坐标SKIPIF1<0.(1)由题设，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在椭圆上，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以椭圆C的方程SKIPIF1<0，故离心率为SKIPIF1<0.(2)令SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0，中垂线斜率SKIPIF1<0，故线段SKIPIF1<0的中垂线为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为等边三角形，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，经验证SKIPIF1<0为等边三角形，满足题设；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，经验证SKIPIF1<0为等边三角形，满足题设；所以SKIPIF1<0横坐标为SKIPIF1<0.例题3．（2022·河南许昌·高二期末（文））已知双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，右焦点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0的连线与其一条渐近线平行.(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程；(2)经过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的右支交于点SKIPIF1<0､SKIPIF1<0，试问是否存在一定点SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0恒成立，若存在，请求出点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，SKIPIF1<0(1)设SKIPIF1<0，由条件知SKIPIF1<0的斜率等于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0双曲线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0.(2)存在点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0恒成立，且点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上.理由如下:设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设直线SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由韦达定理得SKIPIF1<0，①,SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0､SKIPIF1<0的斜率之和为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以代入整理得：SKIPIF1<0，③将①②代入③可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,④SKIPIF1<0④式对任意实数SKIPIF1<0都成立，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,即存在点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0恒成立，且点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上.同类题型归类练1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C：SKIPIF1<0的左右顶点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在椭圆上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)SKIPIF1<0为椭圆上不与SKIPIF1<0重合的任意一点，直线SKIPIF1<0分别与直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析（1）由题知：SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0代入方程得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆C的标准方程为SKIPIF1<0.（2）由(1)知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆SKIPIF1<0的左右顶点是双曲线SKIPIF1<0的顶点，且椭圆SKIPIF1<0的上顶点到双曲线SKIPIF1<0的渐近线距离为SKIPIF1<0．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)点F为椭圆的左焦点，不垂直于x轴且不过F点的直线l与曲线SKIPIF1<0相交于A、B两点，若直线FA、FB的斜率之和为0，则动直线l是否一定经过一定点？若存在这样的定点，则求出该定点的坐标；若不存在这样的定点，请说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)存在，SKIPIF1<0.(1)双曲线SKIPIF1<0的顶点坐标为SKIPIF1<0，渐近线方程为SKIPIF1<0，依题意，SKIPIF1<0，椭圆上顶点为SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆的方程为SKIPIF1<0．(2)依题意，设直线l的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0消去y并整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线FA、FB的斜率之和为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，否则SKIPIF1<0，直线l过F点，因此当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，直线l与椭圆SKIPIF1<0交于两点，直线l：SKIPIF1<0，所以符合条件的动直线l过定点SKIPIF1<0．3．（2022·上海中学东校高二期末）已知椭圆的C的方程：SKIPIF1<0．(1)设P为椭圆C异于椭圆左右顶点SKIPIF1<0上任一点，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，试证明SKIPIF1<0为定值．(2)求椭圆中所有斜率为1的平行弦的中点轨迹方程．(3)设椭圆上一点SKIPIF1<0，且点M，N在C上，且SKIPIF1<0，D为垂足．证明：存在定点Q，使得SKIPIF1<0为定值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(3)存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为定值.(1)设SKIPIF1<0，因为P为椭圆C上一点，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0.(2)设弦的两个端点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，②①减②得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由于弦中点轨迹在已知椭圆内，联立SKIPIF1<0故斜率为SKIPIF1<0的平行弦中点的轨迹方程：SKIPIF1<0(3)设点SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0斜率存在时，设直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0，代入椭圆方程消去SKIPIF1<0并整理得：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0,代入整理可得：SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，整理化简得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0不在直线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以直线过定点直线过定点SKIPIF1<0.当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍）.此时直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，即SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不重合，则由题设知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的斜边，故SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0重合，则SKIPIF1<0，故存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0为定值.4．（2022·上海·格致中学高二期末）已知椭圆SKIPIF1<0，过定点SKIPIF1<0的直线交椭圆于SKIPIF1<0两点，其中SKIPIF1<0.(1)若椭圆短轴长为SKIPIF1<0且经过点SKIPIF1<0，求椭圆方程；(2)对（1）中的椭圆，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面积的最大值，并求此时直线SKIPIF1<0的方程；(3)若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴不垂直，问：在SKIPIF1<0轴上是否存在点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0恒成立？如果存在，求出SKIPIF1<0的关系；如果不存在，说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0(3)存在，SKIPIF1<0(1)SKIPIF1<0椭圆短轴长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0椭圆方程为SKIPIF1<0；SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在椭圆上，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆方程为SKIPIF1<0.(2)由题意可设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号），SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0，此时直线SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.(3)SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴不垂直，可设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴上存在点SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0恒成立，此时SKIPIF1<0.题型二：双曲线中的定点问题角度1：双曲线中的直线过定点问题典型例题例题1．（2022·江苏·高二期末）已知双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，两条准线间的距离为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的标准方程；(2)斜率为SKIPIF1<0的直线l过点SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的两支分别交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①求SKIPIF1<0的取值范围；②若SKIPIF1<0是点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点，证明：直线SKIPIF1<0过定点.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)①SKIPIF1<0；②证明见解析．(1)由已知得SKIPIF1<0

可得SKIPIF1<0

，又双曲线中SKIPIF1<0，所以C的标准方程为：SKIPIF1<0．(2)设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去y可得，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①因为直线与双曲线交于两支，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0；②设SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即直线AD过定点SKIPIF1<0.例题2．（2022·安徽·高二期末）设直线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）与双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的两条渐近线分别交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为坐标原点）的面积为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)与坐标轴不垂直的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴的对称点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的右焦点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，证明：直线SKIPIF1<0经过SKIPIF1<0轴上的一个定点.【答案】(1)m=1(2)证明见解析(1)双曲线C：SKIPIF1<0（m>0）的渐近线方程为SKIPIF1<0，不妨设点A在x轴上方，则A，B两点的坐标分别为（m，SKIPIF1<0m）和（m，-SKIPIF1<0m），所以SKIPIF1<0

解得m=1.(2)由（1）知C：SKIPIF1<0，则F的坐标为（2，0），设l与x轴交于点（p，0），则l的方程为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），设SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0.联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由题可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，F，N三点共线，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因为k≠0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，

所以直线l经过x轴上的定点SKIPIF1<0例题3．（2022·广东深圳·高二期末）已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，圆N：SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，一动圆与圆SKIPIF1<0内切，与圆SKIPIF1<0外切，动圆的圆心SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0的方程；(2)已知点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)过，SKIPIF1<0.(1)设圆E的圆心为SKIPIF1<0，半径为r，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由双曲线定义可知，E的轨迹是以M，N为焦点、实轴长为6的双曲线的右支，所以动圆的圆心E的轨迹方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；(2)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直线l的方程为SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，则直线l的方程为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0，与题意矛盾，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以直线l的方程为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0．同类题型归类练1．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，动点Р与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：SKIPIF1<0的距离之比是常数SKIPIF1<0，记P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)设过点A(SKIPIF1<0，0)两条互相垂直的直线分别与曲线E交于点M，N(异于点A)，求证：直线MN过定点.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析(1)解：设P(x，y)，因为P与定点F(2，0)的距离和它到定直线l：SKIPIF1<0的距离之比是常数SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，所以曲线E的方程为SKIPIF1<0.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当直线MN斜率不存在，直线AM，AN分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分别联立SKIPIF1<0，解得M(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)，N(SKIPIF1<0，－SKIPIF1<0)，此时直线MN的方程为SKIPIF1<0，过点(SKIPIF1<0，0)；当直线MN斜率存在时设其方程为SKIPIF1<0，(SKIPIF1<0)由SKIPIF1<0，消去y得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为AM⊥AN，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入化简得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，直线MN方程为SKIPIF1<0(不符合题意舍去)，当SKIPIF1<0时，直线MN方程为SKIPIF1<0，MN恒过定点(SKIPIF1<0，0)，综上所述直线MN过定点(SKIPIF1<0，0).2．（2022·山西·怀仁市大地学校高中部高二阶段练习）已知双曲线的离心率为SKIPIF1<0，且该双曲线经过点SKIPIF1<0.(1)求双曲线C：SKIPIF1<0方程；(2)设斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的两条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均经过点SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若SKIPIF1<0，试判断直线AB是否经过定点，若存在定点，求出该定点坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)过定点，（0，1）(1)离心率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即双曲线方程为SKIPIF1<0.又点SKIPIF1<0在双曲线C上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以双曲线C的方程为SKIPIF1<0.(2)当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不符合题意，所以直线AB的斜率存在.不妨设直线AB的方程为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，直线AB的方程为SKIPIF1<0，经过定点SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，直线AB的方程为SKIPIF1<0，经过定点SKIPIF1<0，不符合题意.综上，直线AB过定点（0，1）.3．（2022·全国·高三专题练习）双曲线SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，且虚轴的一个顶点到一条渐近线的距离为SKIPIF1<0.（1）求双曲线SKIPIF1<0的方程；（2）过点SKIPIF1<0的两条直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0分别交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点不与SKIPIF1<0点重合)，设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，证明：直线SKIPIF1<0过定点.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）证明见解析.（1）由题得双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线方程为SKIPIF1<0，虚轴的一个顶点为SKIPIF1<0，依题意得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，①又点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，②由①②解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以双曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）当直线SKIPIF1<0的斜率不存在时，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不符合题意，所以直线SKIPIF1<0的斜率存在.不妨设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，经过定点SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，经过定点SKIPIF1<0，不符合题意.综上，直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0.角度2：双曲线存在定点满足某条件问题典型例题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，离心率为2，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的一条渐近线交于点P，且SKIPIF1<0．(1)求双曲线SKIPIF1<0的标准方程；(2)设SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0右支上的一个动点在SKIPIF1<0轴上是否存在定点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求出点SKIPIF1<0的坐标；若不存在请说明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)满足条件的点M存在，坐标为SKIPIF1<0(1)根据双曲线的对称性不妨设直线SKIPIF1<0与渐近线SKIPIF1<0的交点为P，则联立SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由离心率SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0所以双曲线的标准方程为：SKIPIF1<0