新高考数学一轮复习第5章 第06讲 拓展一 平面向量的拓展应用 精讲（教师版）

第06讲拓展一：平面向量的拓展应用(精讲）目录第一部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量夹角为锐角（或钝角）问题高频考点二：平面向量模的最值（或范围）问题高频考点三：平面向量数量积最值（或范围）问题高频考点四：平面向量与三角函数的结合第二部分：高考真题感悟第一部分：典型例题剖析第一部分：典型例题剖析高频考点一：平面向量夹角为锐角（或钝角）问题例题1．（2021·重庆第二外国语学校高三阶段练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0，SKIPIF1<0夹角为锐角”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B由题设，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，注意可能SKIPIF1<0，故充分性不成立；当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0夹角为锐角时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故必要性成立；故选：B例题2．（2022·河北承德·高一阶段练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角是锐角，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角是锐角，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．所以，实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：C例题3．（2022·山东·淄博中学高一阶段练习）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为钝角时，SKIPIF1<0的取值范围为___________.【答案】SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为钝角时，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0反向共线时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0

故答案为：SKIPIF1<0题型归类练1．（2022·河南·唐河县第一高级中学高一阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角SKIPIF1<0为锐角，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D由SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角SKIPIF1<0为锐角知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.故选：D.2．（2022·广东茂名·高一期中）已知向量SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角，则SKIPIF1<0且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线.SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角的充要条件是SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的真子集，即“SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为锐角”是“SKIPIF1<0”的充分不必要条件，A正确.故选：A3．（2022·广东·海珠外国语实验中学高一期中）已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为钝角.则实数SKIPIF1<0的取值范围为______________.【答案】SKIPIF1<0且SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为钝角，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0反向共线时，即SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.4．（2022·重庆·西南大学附中模拟预测）设向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．若向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为钝角，则实数m的取值范围是________．【答案】SKIPIF1<0由题设可得：SKIPIF1<0，因为向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为钝角，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不反向共线，可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，若向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0反向共线时，存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，可得SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0（正解舍），所以SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不反向共线，SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0.高频考点二：平面向量数量积的最值（或范围）问题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0所在平面内的一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值等于（

）A．8 B．10 C．12 D．13【答案】C∵SKIPIF1<0，∴可以A为原点，SKIPIF1<0所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系；不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故点P坐标为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0递增，在SKIPIF1<0上递减，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值为12．故选：C．例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知SKIPIF1<0是边长为2的正方形，SKIPIF1<0为平面SKIPIF1<0内一点，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BSKIPIF1<0是边长为2的正方形，则以点A为原点，直线AB，AD分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图：则SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故选：B例题3．（2021·河北武强中学高一阶段练习）已知SKIPIF1<0是边长为1的正六边形SKIPIF1<0内或其边界上的一点，则SKIPIF1<0的取值范围是________.【答案】SKIPIF1<0如图，作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0是锐角时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0是钝角时，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0取最小值SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0是直角时，SKIPIF1<0，综上，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．题型归类练1．（2022·北京市第五十中学高一期中）如图，线段SKIPIF1<0，点A，B分别在x轴和y轴的非负半轴上运动，以AB为一边，在第一象限内作矩形ABCD，SKIPIF1<0，设O为原点，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C解：如图令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，同理可求得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的最大值是3，最小值是1，故选：C．2．（2021·云南·昆明市官渡区第一中学高二期中）已知直角梯形SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的一点，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D法一：因为SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0法二：如图，以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系.则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中∠ABC=45°，设点SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故选：D.3．（2022·全国·高一课时练习）在矩形ABCD中，AB=2SKIPIF1<0，AD=2，点E为线段BC的中点，点F为线段CD上的动点，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．[2，14] B．[0，12]C．[0，6] D．[2，8]【答案】A如图建立平面直角，则A(0，0)，E(2SKIPIF1<0，1)，设F(x，2)(0≤x≤2SKIPIF1<0)，所以SKIPIF1<0=(2SKIPIF1<0，1)，SKIPIF1<0=(x，2)，因此SKIPIF1<0=2SKIPIF1<0x+2，设f(x)=2SKIPIF1<0x+2(0≤x≤2SKIPIF1<0)，f(x)为增函数，则f(0)=2，f(2SKIPIF1<0)=14，故2≤f(x)≤14，SKIPIF1<0的取值范围是[2，14].故选：A4．（2021·上海市延安中学高三期中）如图，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0外接圆SKIPIF1<0上一个动点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为__________.【答案】SKIPIF1<0由余弦定理得SKIPIF1<0，由正弦定理得外接圆半径SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的投影，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交圆于点SKIPIF1<0，如图所示，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0高频考点三：平面向量模的最值（或范围）问题例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0的最小值为A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】DSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0例题2．（2022·全国·高一专题练习）已知单位向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，两边平方，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选:B.例题3．（2022·贵州毕节·模拟预测（理））已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．2 B．3 C．4 D．7【答案】C因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，于是有SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向共线时取“=”，所以SKIPIF1<0的最大值为4.故选：C题型归类练1．（2022·全国·高一专题练习）已知SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所在平面内的点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CSKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，由平面向量模的三角不等式可得SKIPIF1<0.当且仅当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0方向相反时，等号成立.因此，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：C.2．（2022·广东·广州市第二中学高一阶段练习）如图，在等腰SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0的点，且SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若线段SKIPIF1<0的中点分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D在等腰SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0别是边SKIPIF1<0的点，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，左右两边平方得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：D.3．（2022·江苏·辅仁高中高一期中）已知向量SKIPIF1<0为单位向量，且SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D由题意，向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共线，故存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时等号成立故选：D4．（2022·全国·高一专题练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足：|SKIPIF1<0+SKIPIF1<0|=3，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则|SKIPIF1<0－SKIPIF1<0|的取值范围是______．【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0而SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0高频考点四：平面向量与三角函数的结合例题1．（多选）（2022·河北石家庄·高三阶段练习）已知SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，则下列选项正确的是（

）A．函数SKIPIF1<0的值域为SKIPIF1<0．B．将函数SKIPIF1<0图像上各点横坐标变为原来的SKIPIF1<0（纵坐标不变），再将所得图像向左平移SKIPIF1<0个单位长度，可得函数SKIPIF1<0的图像．C．函数SKIPIF1<0是偶函数．D．函数SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0内所有零点之和为SKIPIF1<0．【答案】AD解：因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正确；将SKIPIF1<0图像上各点横坐标变为原来的SKIPIF1<0（纵坐标不变）得到SKIPIF1<0，再将SKIPIF1<0向左平移SKIPIF1<0个单位长度得到SKIPIF1<0，故B错误；SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为非奇非偶函数，故C错误；令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故D正确；故选：AD例题2．（2022·河南宋基信阳实验中学高一阶段练习）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)当SKIPIF1<0时，求SKIPIF1<0的值；(2)设函数SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0的图像向左平移SKIPIF1<0个单位得到函数SKIPIF1<0的图像，求SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的值域．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.(1)向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.(2)由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的值域是SKIPIF1<0.例题3．（2022·贵州·遵义四中高一期中）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上的值域为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.(1)由题设，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.(2)由（1）得：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，且对应值域为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.例题4．（2022·河北·张北县第一中学高一阶段练习）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)化简函数SKIPIF1<0的解析式，并求最小正周期；(2)若不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0(1)因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以最小正周期为SKIPIF1<0；(2)由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，由题意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故实数m的取值范围为SKIPIF1<0；综上，SKIPIF1<0，最小正周期为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.第二部分：高考真题感悟第二部分：高考真题感悟1．（2020·海南·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ASKIPIF1<0的模为2，根据正六边形的特征，可以得到SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影的取值范围是SKIPIF1<0，结合向量数量积的定义式，可知SKIPIF1<0等于SKIPIF1<0的模与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0方向上的投影的乘积，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故选：A.2．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，SKIPIF1<0且交AB于点E．SKIPIF1<0且交AC于点F,则SKIPIF1<0的值为____________；SKIPIF1<0的最小值为____________．【答案】

1

SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为边长为1的等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为边长为SKIPIF1<0的等边三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0