全国统考2025版高考数学大一轮复习第10章圆锥曲线与方程第2讲双曲线1备考试题文含解析

第十章圆锥曲线与方程其次讲双曲线练好题·考点自测1.给出以下关于双曲线的命题:①双曲线y29-x24=1的渐近线方程是②若点(2,3)在焦距为4的双曲线x2a2-y2b2=1(③若点F,B分别是双曲线x2a2-y2b2=1(a>④等轴双曲线的渐近线相互垂直,离心率等于2;⑤若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)与y2b2-x2a2以上说法正确的个数是()A.1 B.2 C.3 D.42.[2024全国卷Ⅰ,10,5分][文]双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线的倾斜角为130A.2sin40° B.2cos40° C.1sin50° D.3.[2024全国卷Ⅱ,9,5分][文]设O为坐标原点,直线x=a与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于D,E两点.若△A.4 B.8 C.16 D.32图10-2-14.[2024大同市调研测试]如图10-2-1,双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F2作线段F2P与C交于点Q,且Q为PF2的中点.若等腰三角形PF1F2的底边PF2的长等于A.-2+2157C.2+2157 D.35.[2024天津,7,5分]已知双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1A.x24-y2C.x23-y26.[2024北京,14,5分]已知双曲线C:x26-y23=1,则C的右焦点的坐标为7.[2024全国卷Ⅰ,15,5分]已知F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x轴拓展变式1.(1)[2024广东七校第一次联考]P是双曲线C:x22-y2=1右支上一点,直线l是双曲线C的一条渐近线.P在l上的射影为Q,F1是双曲线C的左焦点,则|PF1|+|PQ|的最小值为(A.1 B.2+155 C.4+155 D.22(2)[2024全国卷Ⅰ,11,5分][文]设F1,F2是双曲线C:x2-y23=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为(A.72 B.3 C.52 D2.[2024天津,7,5分]设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与A.x24-y24C.x24-y2=1 D.x2-3.[2024成都三诊]已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,经过点F2且与x轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A,且π6≤∠F1A.[5,13] B.[5,3] C.[3,13] D.[7,3]答案第十章圆锥曲线与方程其次讲双曲线1.D对于①,双曲线y29-x24对于②,双曲线的焦点为(-2,0),(2,0),2a=|(2+2)2+(3-0)2对于③,F(±c,0),B(0,±b),FB的中点坐标(±c2,±b2)不满意双曲线的渐近线方程y=±b对于④,由等轴双曲线的性质可得④正确;对于⑤,由共轭双曲线的性质可知⑤正确.故选D.2.D依题意知,-ba=tan130°=tan(130°-180°)=-tan50°,两边同时平方得c2-a2a2=tan250°=e2-1,e2=1+tan250°=1【拓展结论】事实上,若双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b3.B由题意知双曲线的渐近线方程为y=±bax.因为D,E分别为直线x=a与双曲线C的两条渐近线的交点,所以不妨设D(a,b),E(a,-b),所以S△ODE=12×a×|DE|=12×a×2b=ab=8,所以c2=a2+b2≥2ab=16,当且仅当a=b=22时等号成立.所以c≥4,所以2c≥8,所以4.C连接F1Q,由△PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形,且Q是PF2的中点,知F1Q⊥PF2,又|PF2|=c,所以|QF2|=c2,由双曲线的定义可得|F1Q|=c2+2a,依据F1Q⊥PF2和|F1F2|=2c得,(c2)2+(c2+2a)2=(2c)2,化简整理得7c2-4ac-8a2=0,方程两边同时除以a2得7e2-4e-8=0,又e>1,所以e5.C解法一因为直线AB经过双曲线的右焦点,所以不妨取A(c,b2a),B(c,-b2a),取双曲线的一条渐近线为直线bx-ay=0,由点到直线的距离公式可得d1=|bc-b2|a2+b2=bc-b2c,d2=|bc+b2|a2+b2=bc解法二由直线AB过双曲线的右焦点且垂直于x轴,d1+d2=6,得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3,所以b=3.因为双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,所以ca=2,所以a6.(3,0)3双曲线C:x26-y23=1中,c2=6+3=9,∴c=3,则C的右焦点的坐标为(3,0),C的渐近线方程为y=±36x,即x±2y7.2设B(c,yB),因为B为双曲线C:x2a2-y2b2=1上的点,所以c2a2-yB2b2=1,所以yB2=b4a2.因为AB的斜率为3,所以yB=b2a,b2ac-a=3,所以b2=3ac-3a2,所以c2-【易错警示】本题的易错点有两处:一是忽视题眼“AB的斜率为3”,由yB2=b4a2得yB=±b2a;二是将双曲线中a,b,1.(1)D设双曲线的右焦点为F2,因为|PF1|-|PF2|=22,所以|PF1|=22+|PF2|,|PF1|+|PQ|=22+|PF2|+|PQ|.当且仅当Q,P,F2三点共线,且P在Q,F2之间时,|PF2|+|PQ|最小,且最小值为点F2到直线l的距离.由题意可得直线l的方程为y=±22x,焦点F2(3,0),点F2到直线l的距离d=1,故|PQ|+|PF1|的最小值为22+1,故选D(2)B解法一设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,则由题意可知F1(-2,0),F2(2,0),又|OP|=2,所以|OP|=|OF1|=|OF2|,所以△PF1F2是直角三角形,所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=16.不妨令点P在双曲线C的右支上,则有|PF1|-|PF2|=2,两边平方,得|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=4,又|PF1|2+|PF2|2=16,所以|PF1|·|PF2|=6,则S△PF1F2=12|解法二(结论解法)设F1,F2分别为双曲线C的左、右焦点,则由题意可知F1(-2,0),F2(2,0),又|OP|=2,所以|OP|=|OF1|=|OF2|,所以△PF1F2是直角三角形,所以S△PF1F2=b2解法三设点P的坐标为(xP,yP),因为|OP|=2,则xP2+yP2=4,把yP2=4-xP2代入双曲线方程得|yP|=32,所以S△PF1F2=1【真题互鉴】本题与2024年全国卷Ⅲ(文)T10的已知和所求相像,解题思维一样,因此在平常训练中应重视真题的训练.附:[2024全国卷Ⅲ,10,5分][文]已知F是双曲线C:x24-y25=1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点.若|OP|=|OF|,则△OPF的面积为A.32 B.52 C.72.D解法一由题知y2=4x的焦点坐标为(1,0),则过焦点和点(0,b)的直线方程为x+yb=1,而x2a2-y2b2=1的渐近线方程为xa解法二由题知双曲线C的两条渐近线相互垂直,则a=