《数字图像处理及工程应用》课件第4章

2024/8/21第1页第4章图像变换4.1图像的几何变换

图像几何变换是指用数学建模的方法来描述图像位置、大小、形状等变化的方法，是通过数学建模实现对数字图像进行几何变换的处理。

图像几何变换主要包括图像的平移变换、比例缩放、旋转、仿射变换、透视变换和图像插值等，其实质是改变像素的空间位置或估算新空间位置上的像素值。2024/8/21第2页1.图像几何变换的一般表达式

图像几何变换就是建立一幅图像与其变换后的图像中所有各点之间的映射关系，其通用数学表达式为

(4.1)式中，为变换后图像像素的笛卡尔坐标；为原始图像像素的笛卡尔坐标；和分别定义了在水平和垂直两个方向上的空间变换的映射函数。这样就得到了原始图像与变化后图像的像素的对应关系。第4章图像变换2024/8/21第3页如果，,则有,即变换后图像仅仅是原图像的简单复制。2.平移变换

图像的平移变换就是将图像中的所有像素点按照要求的偏移量进行垂直、水平移动。

平移变换只是改变了原有景物在画面上的位置，而图像的内容不发生变化。第4章图像变换2024/8/21第4页第4章图像变换若将图像像素点平移到，则变换函数为，，其矩阵表达式为

(4.2)式中,和分别为和的坐标平移量。2024/8/21第4章图像变换

【例4.1】用MATLAB实现图像的平移变换。

【解】MATLAB程序如下。closeall;clearall;clc;I=imread('lena.bmp');%读取图像a=50;b=50;%设置平移坐标J1=move(I,a,b);%移动原图像a=-50;b=50;%设置平移坐标J2=move(I,a,b);%移动原图像figure,subplot(1,3,1),imshow(I),axison;subplot(1,3,2),imshow(J1),axison;subplot(1,3,3),imshow(J2),axison;第5页2024/8/21第4章图像变换程序运行的结果如图4.1所示。(a)原始图像(b)右下平移后的图像

(c)右上平移后的图像图4.1【例4.1】运行结果

第6页2024/8/21第7页第4章图像变换3.比例缩放

图像缩放是指将给定的图像在x轴方向按比例缩放倍，在y轴方向按比例缩放倍，从而获得一幅新的图像。如果，则称这样的比例缩放为图像的全比例缩放。如果，则图像比例缩放会改变原始图像像素间的相对位置，产生几何畸变。若图像坐标缩放到倍，则变换函数为(4.3)式中，分别为和坐标的缩放因子，其大于1表示放大，小于1表示缩小。2024/8/21第8页第4章图像变换【例4.2】用MATLAB实现图像的缩放操作。【解】MATLAB程序如下。

[X,map]=imread('trees.tif')%读取图像J1=imresize(X,0.25);%设置缩放比例，实现缩放图像并显示J2=imresize(X,3.5);figure，subplot(131),imshow(X);subplot(132),imshow(J1);subplot(133),imshow(J2);2024/8/21第9页第4章图像变换程序运行的结果如图4.2所示。(a)原始图像(b)缩小后的图像(c)放大后的图像图4.2【例4.2】运行结果

2024/8/21第10页第4章图像变换4.旋转变换

图像的旋转是指以图像中的某一点为原点以逆时针或顺时针方向旋转一定的角度。图像的旋转属于图像的位置变换，通常是以图像的中心为原点，将图像上的所有像素都旋转一个相同的角度。旋转后，图像的大小一般会改变。将输入图像绕笛卡尔坐标系的原点逆时针旋转角度，则变换后图像坐标为(4.4)2024/8/21第11页第4章图像变换【例4.3】用MATLAB实现图像的旋转变换。【解】MATLAB程序如下：I=imread('office_2.jpg');%读取图像J1=imrotate(I,30);%设置旋转角度，实现逆时针旋转30oJ2=imrotate(I,-30);%设置旋转角度，实现顺时针旋转30ofigure,%显示旋转处理结果subplot(131),imshow(I);subplot(132),imshow(J1);subplot(133),imshow(J2);2024/8/21第12页第4章图像变换程序运行的结果如图4.3所示。(a)原始图像(b)逆时针旋转30o后的图像(c)顺时针旋转30o后的图像图4.3【例4.3】运行结果

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第4章图像变换

5.仿射变换

平移变换、比例缩放和旋转变换都是仿射变换的特殊情况。仿射变换的一般表达式为

仿射变换具有如下性质：

(4.5)2024/8/21第14页第4章图像变换(1)仿射变换只有6个自由度（对应变换中的6个系数），因此，仿射变换后互相平行直线仍然为平行直线，三角形映射后仍是三角形。但不能保证四边形以上的多边形映射为等边数的多边形。(2)仿射变换的乘积和逆变换仍是仿射变换。(3)仿射变换能够实现平移、旋转、缩放等几何变换。2024/8/21第15页第4章图像变换(4.6)显然上式是线性的，故可以表示成如下的线性表达式图像先进行平移，然后进行比例变换，最后进行旋转的复合几何变换表达式为2024/8/21第16页

第4章图像变换(4.7)由上式可知，平移、比例缩放和旋转变换是仿射变换的特殊情况。设定加权因子和的值，可以得到不同的变换。2024/8/21第17页

第4章图像变换【例4.4】用MATLAB实现图像的仿射变换。【解】MATLAB程序如下：I=imread('cameraman.tif');%读取图像tform=maketform('affine',[100;.510;001]);%定义仿射变换结构J=imtransform(I,tform);%进行仿射变换subplot(121),imshow(I),axison;%显示原始图像subplot(122),imshow(J),axison;%显示仿射处理结果2024/8/21第18页第4章图像变换程序运行的结果如图4.4所示。(a)原始图像(b)仿射变换后的图像图4.4【例4.4】运行结果2024/8/21第19页第4章图像变换6.透视变换把物体的三维图像表示转变为二维表示的过程，称为透视变换（投影映射），其表达式为透视变换的向前映射函数可以表示为(4.8)(4.9)2024/8/21第20页第4章图像变换式中，，。与仿射变换类似，透视变换也是一种平面映射，并且正变换和逆变换都是单值的，而且可以保证任意方向上的直线经过透视变换后仍然保持是直线，但是由于透视变换具有9个自由度（其变换系数为9个），故可以实现平面四边形到四边形的映射。2024/8/21第21页第4章图像变换【例4.5】用MATLAB实现图像的透视变换。【解】MATLAB程序如下：I=imread('cameraman.tif');%读取图像tform=maketform('projective',[00;10;11;01],%根据定义的透视结构进行变换[-42;-8-3;-3-5;63]);[B,xdata,ydata]=imtransform(I,tform,'bicubic',%立方卷积插值'udata',udata,...%定义输出空间'vdata',vdata,...'size',size(I),...%定义输出图像大小'fill',128);%变换数据外的空间用128灰度填充subplot(121),imshow(I),axison;%显示原始图像subplot(122),imshow(B),axison;%显示透视变换后的图像2024/8/21第22页第4章图像变换程序运行的结果如图4.5所示。(a)原始图像(b)透视变换后的图像图4.5【例4.5】运行结果2024/8/21第23页第4章图像变换7.灰度插值

在数字图像中，由于其灰度值只在整数位置被定义，即规定所有的像素值都位于采样栅格的整数坐标处。而通过几何变换后的灰度值往往会出现在原始图像中相邻像素值的点之间。为此，需要通过插值运算来获得变换后不在采样点上的像素的灰度值。常用的灰度值插值方法有最近邻插值法、双线性插值法和卷积插值法等3种。2024/8/21第24页第4章图像变换（1）.最近邻插值法

最近邻插值也称作零阶插值，也就是令变换后像素的灰度值等于距它最近的输入像素的灰度值。该方法所造成的空间偏移误差为像素单位，计算简单。但当图像中的像素灰度级有细微变化时，该方法会在图像中产生人工的痕迹。2024/8/21第25页第4章图像变换（2）.双线性插值法双线性插值也称作一阶插值，该方法通常是沿图像矩阵的每一列（行）进行插值，然后对插值后所得到的矩阵再沿着行（列）方向进行线性插值。例如，令表示坐标处的像素灰度值，根据四点(0,0)、(0,1)、(1,0)和(1,1)来进行双线性插值。首先对(0,0)和(1,0)两点进行线性插值，得到点的像素灰度值为(4.10)2024/8/21第26页第4章图像变换对(0,1)和(1,1)两点进行线性插值，得到然后进行水平方向的线性插值，得到(4.11)(4.12)当对相邻4个像素点采用双线性插值时，所得表面在邻域处是吻合的，但斜率不吻合，并且双线性灰度值插值的平滑作用可能使图像的细节产生退化，这种现象在进行图像放大时尤其明显。2024/8/21第27页第4章图像变换（3）.卷积插值法

当图像放大时，图像像素的灰度值插值可以通过卷积来实现。卷积插值法就是在输入图像的两行两列中间插零值，然后通过低通模板滤波便可得到插值后的图像。输入图像邻域插零的邻域2024/8/21第28页第4章图像变换常用的低通模板有柱形棱锥形钟形三次B样条2024/8/21第29页第4章图像变换【例4.6】用MATLAB实现图像的灰度插值。【解】MATLAB程序如下：I=imread('lena.bmp');%读取图像J=imresize(I,0.25);%缩小图像Z1=interp2(double(J),2,'nearest');%最邻近插值法Z1=uint8(Z1);figure(1),subplot(121),imshow(J);subplot(122),imshow(Z1);Z2=interp2(double(J),2,'linear');%双线性内插法Z2=uint8(Z2);figure(2),imshow(Z2);Z3=interp2(double(J),2,'cubic');%立方卷积插值法Z3=uint8(Z3);figure(3),imshow(Z3);2024/8/21第30页第4章图像变换程序运行的结果如图4.6所示。(a)待插值图像(b)最邻近插值法(c)双线性内插法(d)立方卷积插值法图4.6【例4.6】运行结果2024/8/21第31页第4章图像变换4.2图像的正交变换

正交变换一般是线性变换，其基本线性运算式是严格可逆的，并且满足一定的正交条件，因此，也将其称作酉变换。目前，在图像处理技术中正交变换被广泛地运用于图像特征提取、图像增强、图像复原、图像识别以及图像编码等处理中。下面我们将对几种主要的正交变换进行讨论。2024/8/21第32页第4章图像变换1.离散傅里叶变换(DFT)

离散傅里叶变换（discreteFouriertransform，DFT）建立了离散空域和离散频域之间的联系，在数字信号处理和数字图像处理中得到了广泛的应用。利用计算机对变换后的信号进行频域处理，比在空域直接处理更加方便。并且，由于DFT具有快速算法(fastFouriertransform，FFT)，可大大减少运算量，提高处理速度。2024/8/21第33页第4章图像变换（1）.一维离散傅里叶变换(1D-DFT)对于有限长序列,其DFT定义为则傅里叶逆变换(IDFT)定义为(4.13)(4.14)2024/8/21第34页第4章图像变换

由式(4.13)和式(4.14)可见，离散傅里叶变换是直接处理离散时间信号的傅里叶变换。如果要对一个连续信号进行计算机数字处理，那么就必须经过离散化处理。这样，对连续信号进行的傅里叶变换的积分过程就会自然地蜕变为求和过程。（2）.二维离散傅里叶变换（2D-DFT）

一幅静止的数字图像可看作是二维数据阵列。因此，数字图像处理主要是二维数据处理。2024/8/21第35页第4章图像变换二维离散傅里叶变换的定义可用下面二式来表示。正变换式为逆变换式为(4.15)(4.16)2024/8/21第36页第4章图像变换

在图像处理中，一般总是选择方形阵列，所以通常情况下总是M=N。因此，二维离散傅里叶变换多采用下面两式形式：(4.17)(4.18)式中，都为整数，它们的取值范围均为。2024/8/21第37页第4章图像变换通常傅里叶变换为复数形式，可表示为式中，和分别为的实部和虚部。上式也可表示成指数形式通常称为的频谱或幅度谱，为的相位。(4.19)(4.20)(4.21)(4.22)2024/8/21第38页第4章图像变换频谱的平方称为功率谱，即二维离散傅里叶变换的可分离性是显而易见的：该性质说明二维离散傅里叶变换可通过两次一维离散傅里叶变换实现。(4.23)(4.24)(4.25)2024/8/21第39页第4章图像变换即：或除此之外，二维离散傅里叶变换还有平移特性，即周期性，即(4.26)(4.27)(4.28)2024/8/21第40页第4章图像变换共轭对称性，即

二维离散傅里叶变换也具有线性、旋转性、相关定理、卷积定理、比例性等性质。

用傅里叶变换分析处理图像信息有许多优点，应用也相当普遍。但是，它也有一些缺点，其一是傅里叶变换需要计算复数而不是实数，其二是收敛速度慢。因此，在有些场合下，傅里叶变换不一定是理想的变换方法。(4.29)2024/8/21第41页第4章图像变换【例4.7】用MATLAB实现图像的傅里叶变换。【解】MATLAB程序如下：I=imread('lena.bmp');%读取图像imshow(I);%显示图像F1=fft2(I);%计算二维傅里叶变换figure,imshow(log(abs(F1)+1),[]);%显示对数变换后的频谱图F2=fftshift(F1);%将直流分量移到频谱图的中心figure,imshow(log(abs(F2)+1),[]);%显示对数变换后中心化的频谱图2024/8/21第42页第4章图像变换程序运行的结果如图4.7所示。(a)原始图像(b)图像的频谱图(c)中心化的频谱图图4.7【例4.7】运行结果2024/8/21第43页第4章图像变换2.离散余弦变换(DCT)（1）．一维离散余弦变换(1D-DCT)一维离散余弦变换的定义如下：式中，是第个余弦变换系数，是广义频率变量；是时域N点序列。(4.30)(4.31)2024/8/21第44页第4章图像变换一维离散余弦逆变换的定义如下：

显然，式(4.30)，式(4.31)和式(4.32)构成了一维离散余弦变换对。比较式(4.31)和式(4.32)可以清楚地看到，离散余弦变换具有以下两个特点：a.在广义频域上，离散余弦变换的系数为实数；b.正变换的核与逆变换的核相同。(4.32)2024/8/21第45页第4章图像变换(2).二维离散余弦变换(2D-DCT)二维离散余弦变换的定义如下：式中的符号意义同正变换式一样。式(3.36)和式(3.37)是离散余弦变换的解析式定义，更为简洁的定义方法是采用矩阵式定义。(4.37)2024/8/21第46页第4章图像变换一维离散余弦变换的矩阵定义可写成如下形式：同理，可得到逆变换展开式，即：类似地，二维离散余弦变换也可以写成矩阵的形式，即(4.38)(4.39)(4.40)(4.41)2024/8/21第47页第4章图像变换

式中，是空间域数据阵列，是变换系数阵列，是与式(4.36)相关的系数阵列,变换矩阵是的转置。

离散余弦变换是一种正交的线性变换。因此，为了方便计算与分析，离散余弦变换还可以用矩阵的形式来表示。下面介绍一个简单的离散余弦变换例子。2024/8/21第48页第4章图像变换【例4.8】用MATLAB实现图像的DCT变换。【解】MATLAB程序如下：I=imread('lena.bmp');%读取图像J=dct2(I);%计算图像的2-DCT变换figure,subplot(121),imshow(I);%显示原图像subplot(122),mesh(J);colormap(jet),colorbar;%显示DCT图像2024/8/21第49页第4章图像变换程序运行的结果如图4.8所示。(a)原始图像(b)DCT结果图4.8【例4.8】运行结果2024/8/21第50页第4章图像变换3.离散沃尔什-哈达玛变换（1）.沃尔什变换(DWT)沃尔什函数有三种排列或编号方式，即列率排列、佩利(Paley)排列（自然排列）和哈达玛排列。按沃尔什排列的沃尔什函数实际上就是按列率排列的沃尔什函数。通常把正交区间内波形变号次数的1/2称为列率。2024/8/21第51页第4章图像变换a.一维沃尔什变换。设,一维沃尔什变换核为式中，。沃尔什变换核是一个对称阵列，其行和列是正交的。对离散函数序列可以定义一维沃尔什变换为(4.42)(4.43)2024/8/21第52页第4章图像变换一维沃尔什逆变换为一维沃尔什逆变换核为(4.44)(4.45)2024/8/21第53页第4章图像变换b.二维沃尔什变换。对于二维图像，沃尔什变换要求图像的大为逆变换核为正交变换核为(4.46)(4.47)2024/8/21第54页第4章图像变换二维沃尔什变换和逆变换分别为对于二维沃尔什变换，其正变换核、逆变换核均为可分离的和对称的。即(4.48)(4.49)(4.50)2024/8/21第55页第4章图像变换因此，二维沃尔什变换可以像二维DFT一样，分为两次一维沃尔什变换实现。二维沃尔什变换的矩阵形式为式中，G为N阶沃尔什变换的核矩阵。二维沃尔什逆变换的矩阵形式为(4.51)(4.52)2024/8/21第56页第4章图像变换(2).哈达玛变换(DHT)

哈达玛变换本质上是一种特殊排序的沃尔什变换。达玛变换矩阵是元素仅由+1和-1组成的正交方阵，它的任意两行或两列都彼此正交，即它们的对应元素之和为零。a.一维哈达玛变换。一维哈达玛变换核为式中，。(4.53)2024/8/21第57页第4章图像变换一维哈达玛变换为式中，。一维哈达玛逆变换为(4.54)(4.55)2024/8/21第58页第4章图像变换b.二维哈达玛变换。二维哈达玛变换为二维哈达玛逆变换为可见，二维哈达玛变换和逆变换具有相同的形式。哈达玛变换核是可分离的和对称的。因此，二维哈达玛变换和逆变换都可通过两个一维变换来实现。(4.56)(4.57)2024/8/21第59页第4章图像变换哈达玛变换核的构造具有递推关系。2N阶哈达玛矩阵H2N与N阶哈达玛矩阵HN的递推关系为：最低阶的哈达玛矩阵为则(4.58)(4.59)(4.60)2024/8/21第60页第4章图像变换可见，对于任意N阶哈达玛矩阵，其元素仍然只含有+1和-1,而且可以根据上一阶的矩阵求得，这就使得该变换的复杂度降低了。为了方便变换表达式的书写，往往利用对相应的矩阵规格化。例如，N=8的哈达玛矩阵为(4.61)矩阵右端的值代表该行的列率，即该行中信号符号改变的次数。可见其列率的排列是无规则的2024/8/21第61页第4章图像变换将无序的哈达玛核进行列率排序，即可得到有序的沃尔什变换核：二维WHD有快速算法，其统计特性与二维DFT类似，图像中的直流成分和低序率成分占绝大部分能量，且大部分高序率的变换幅度为零。(4.62)2024/8/21第62页第4章图像变换【例4.9】已知二维图像信号是均匀分布的，即求此图像的二维沃尔什变换和二维哈达玛变换。【解】由于图像是4×4矩阵，则2D-DWT和2D-DHT为可知，DWT和DHT都具有能量集中的性质，原始图像数据越是均匀分布能量越集中，这个特性可用于图像信息的压缩。2024/8/21第63页第4章图像变换【例4.10】用MATLAB实现图像的哈达玛变换。【解】MATLAB程序如下：I=imread('peppers.png');%读取RGB图像I=rgb2gray(I);%转换为灰度图像I=im2double(I);h1=size(I,1);%图像的行h2=size(I,2);%图像的列H1=hadamard(h1);%Hadamard矩阵H2=hadamard(h2);J=H1*I*H2/sqrt(h1*h2);%Hadamard变换2024/8/21第64页第4章图像变换figure;set(0,'defaultFigurePosition',[100,100,1000,500]);set(0,'defaultFigureColor',[111])subplot(121),imshow(I);%显示原始图像subplot(122),imshow(J);%显示Hadamard变换后的图像程序运行的结果如图4.9所示。(a)原始图像(b)DHT结果图4.9【例4.10】运行结果2024/8/21第65页第4章图像变换4.K-L变换不同于前面介绍的傅里叶变换、离散余弦变换、沃尔什-哈达玛变换，离散K-L变换是以变换矢量的统计性质为基础，在均方误差最小意义下得到的最佳变换，因此常被用来作为衡量其他变换性能的标准。K-L变换首先由Karhunen和Leoeve引入，用来处理随机过程中的连续信号的去相关问题。2024/8/21第66页第4章图像变换（1）.图像的向量表示和统计参数若一幅N×N的图像在信道中传送了L次，或一物体形成了L个波段的多光谱图像，则会得到L幅（帧）图像组成的图像集合为由于成像或传输过程中受到噪声或干扰的影响，图像中不可避免地包含有一些随机的成分，因此对图像可计算其统计特性。(4.63)2024/8/21第67页第4章图像变换a.图像的向量表示。对图像集合中的每一个样本可以用堆叠方式表示成N2维向量,即其中的元素式中，为图像集合中的第i个样本；为第i帧第j行元素形成的列向量。(4.64)(4.65)2024/8/21第68页第4章图像变换b.图像的统计参数。图像f向量的协方差阵定义为式中，为f的均值向量，E[·]为求统计平均。在L帧图像样本组成的集合中，可用如下两式近似，求得和式中，均值向量为N2维的列向量；方差向量为维的矩阵。(4.66)(4.67)(4.68)2024/8/21第69页第4章图像变换(2).的特征值和特征向量a.的特征值。由矩阵理论可知，对于为的矩阵,有个标量，i=1,2,…,N2，能使式中，为矩阵的特征值。b.的特征向量。重新排列特征值，使得若设是的维特征向量，则有(4.69)(4.70)(4.71)2024/8/21第70页第4章图像变换因此，是一个实对称方阵，则一定存在有个互为正交的实特征向量，构成一个维的完备正交向量集。特征向量所组成的正交矩阵B为式中，为第i个特征向量的第j个分量。(4.72)2024/8/21第71页第4章图像变换(3).离散K-L变换及其性质