广西玉林市容县2024届九年级上学期期中考试数学试卷(含解析)

九年级数学（全卷共三大题，共4页，满分为120分，考试时间：120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确答案涂在答题卡相应的位置上．1．下列方程是一元二次方程的是（

）A． B． C． D．2．“创新是一个民族进步的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力．”下列图形是我国自主创新的国产汽车标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（

）A．

B．

C．

D．

3．抛物线的顶点坐标是（

）A． B． C． D．4．用公式法解方程时，a，b，c的值依次是（

）A．0， B．1，3， C．1， D．1，5．关于方程的根的情况，下列说法正确的是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法判断6．抛物线与轴的公共点是，，则这条抛物线的对称轴是直线（

）A． B． C． D．7．如图将绕点A顺时针旋转到，若，则（

）

A． B． C． D．8．抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）A． B．C． D．9．在二次函数的图象上，若随的增大而减小，则的取值范围是（

）A． B． C． D．10．在“双减政策”的推动下，我区某中学学生每天书面作业时长明显减少，2022年上学期每天书面作业平均时长为，经过2022年下学期和2023年上学期两次调整后，2023年上学期平均每天书面作业时长为．设该校这两学期平均每天作业时长每期的下降率为，则可列方程为（

）A． B．C． D．11．如图，二次函数的图象与轴的其中一个交点为，另一个交点位于和之间（不含端点），且与轴交于点．则下列结论不正确的是（

）A． B． C． D．12．如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，再将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，…，依此方式，绕点连续旋转2023次得到正方形，如果点的坐标为，那么点的坐标为（

）

A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题2分，共12分．请将答案填入答题卡相应的位置上．13．平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是．14．已知一元二次方程有一个根为，则．15．已知三角形两边长分别为4和7，第三边的长是方程的一个根，则第三边长是．16．如图，直线、垂直相交于点，曲线关于点成中心对称，点的对称点是点，于点，于点．若，，则阴影部分的面积之和为．17．某型号飞机降落后滑行的距离（单位：米）关于滑行时间（单位：秒）的函数关系式为，则该飞机着陆后滑行秒停止．18．如图，平行四边形中，，E是边上一点，且是边上的一个动点，将线段绕点E逆时针旋转，得到，连接，则的最小值是．

三、解答题：本大题共8小题，满分共72分．将解答过程写在答题卡的相应位置上，作图或添辅助线先用铅笔画完，再用水性笔描黑．19．解方程：.20．在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点在格点上（每个方格的边长均为1个单位长度）．(1)请画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1(2)将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C221．用一条长的绳子围成一个矩形，设矩形的一边长为．(1)若围成的矩形面积为，求的值；(2)当为何值时围成的矩形面积最大，最大面积是多少？22．已知关于一元二次方程有两个实数根．（1）求m的取值范围；（2）若满足，求m的值．23．转化是数学解题的一种极其重要的数学思想，实质是把新知识转化为旧知识，把未知转化为已知，把复杂的问题转化为简单的问题．例如，为了解方程，我们就可以通过转化，设，将原方程化为①，解得，．当时，，，，当时，，，，原方程的解为，，，．(1)在由原方程得到方程①的过程中，利用______法进行转化，达到了降次的目的；(2)请参考例题解法，解方程：．24．阅读以下材料，完成课题研究任务：【研究课题】设计公园喷水池【素材】某公园计划修建一个图所示的喷水池，水池中心处立着一个高为的实心石柱，水池周围安装一圈喷头，使得水流在各个方向上都沿形状相同的抛物线喷出，并在石柱顶点处汇合为使水流形状更漂亮，要求水流在距离石柱处能达到最大高度，且离池面的高度为．【素材】距离池面米的位置，围绕石柱还修了一个小水池，要求小水池不能影响水流．【任务解决】

(1)小张同学设计的水池半径为，请你结合已学知识，判断他设计的水池是否符合要求．(2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过多少米？25．（1）【探究】如图，正方形中，、分别在边、上，且．我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．求证：．（2）【拓展】如图，在四边形中，，，，以为顶点的，、与、边分别交于、两点且，求五边形的周长．26．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．(1)求抛物线的解析式；(2)如图，点是上方抛物线上一点，若，求点的坐标；(3)如图2，过点的直线交抛物线于，两点，过点的直线与过点的直线交于点，若直线和与抛物线均只有一个公共点，求的最小值．

参考答案与解析1．B解析：解：A、是一元一次方程，故本选项不符合题意；B、是一元二次方程，故本选项符合题意；C、是二元二次方程，故本选项不符合题意；D、是分式方程，故本选项不符合题意．故选：B．2．D解析：解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；D、是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D．3．A解析：解：抛物线的顶点坐标是故选A4．B解析：解：，整理得：，∴a，b，c的值依次是1，3，；故选B．5．C解析：解：∵方程中的，，，∴，∴方程没有实数根．故选：C．6．C解析：解：∵抛物线与轴的公共点是，，两交点关于抛物线的对称轴对称，则此抛物线的对称轴是直线．故选：C．7．B解析：解：由旋转的性质，得，，∴，故选：B．8．D解析：解：抛物线向右平移1个单位可得，再向上平移3个单位可得，故选：D9．B解析：解：二次函数，函数图像开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，故选B．10．C解析：解：设根据题意得：．故选：C．11．D解析：解：∵抛物线开口方向向上，∴．∵二次函数的图象与轴的其中一个交点为，另一个交点位于和之间（不含端点），∴对称轴，且即，∴．，故正确；∵抛物线与轴交于点，∴，∴．故选项正确；根据图示知，当时，，即．故选项正确；∵二次函数的对称轴，即，且与轴交于点．∴结合图形可知，∴，故选项错误；故选D．12．B解析：解：点的坐标为，，四边形是正方形，，，，如图，连接，

由勾股定理得：，由旋转的性质得：，将正方形绕点逆时针旋转后得到正方形，相当于线段绕点逆时针旋转，依次得到，，点的坐标每8次一个循环，，点和重合，由图可得：，点的坐标为，故选：B．13．解析：解：平面直角坐标系内一点关于原点对称的点的坐标是，故答案为：．14．解析：解：把代入方程，得：，解得：，故答案为．15．5解析：解：方程，分解因式得：（x-3）（x-5）=0，解得：x=3或x=5，当x=3时，三边长为3，4，7，不符合题意舍去；当x=5时，三边长为3，5，7，符合题意，则第三边长为5．故答案为：5．16．12解析：解：如图，∵直线a、b垂直相交于点O，曲线C关于点O成中心对称，点A的对称点是点，于点B，于点D，，，∴，∴图形①与图形②面积相等，∴阴影部分的面积之和=长方形的面积．故答案为：12．17．18解析：解：∵，∴当时，取得最大值，即此时飞机停下，故答案为：．18．解析：解：如图，取的中点N，连接，作交CD的延长线于H，

由题意可得：∵点N是的中点，∴∴∵∴是等边三角形，∴∴∵∴∴∴∴点G的运动轨迹是射线，∵∴∴∴在中，∴，∴在中，==，∴≥，∴的最小值为；故答案为．19．，解析：故：，20．（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求，（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．21．(1)的值为或；(2)当时，面积最大，最大面积为．解析：（1）解：由题意可得：另一边长为：，设矩形的面积为则，当时，，解得：，∴的值为或；（2）由题意可得：，故当为时，矩形面积最大，最大面积为：．22．（1）；（2）．解析：解：（1）∵关于x的一元二次方程x2-3x+m-2=0有两个实数根，∴△≥0，即9-4（m-2）≥0解得．答：m的求值范围为；（2）根据根与系数的关系：x1+x2=3，x1•x2=m-2，∵x1，x2满足2x1=x2+1，把x2=3-x1代入，得2x1=3-x1+1解得，∴，∴，∴．23．(1)换元；(2)，．解析：（1）解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法进行转化，达到了降次的目的,故答案是：换元；（2）解：令，则，解得，，当时，，解得，，当时，，，方程无解，综上：方程的解是，．24．(1)符合要求，花坛的半径至少为，理由见解析(2)为了不影响水流，小水池的半径不能超过米解析：（1）解：符合要求，理由如下：由题意可得，顶点为，设解析式为，函数过点，代入解析式得，，解得，解析式为：，令，则，解得或舍去，花坛的半径至少为；（2）令，则，解得或舍，为了不影响水流，小水池的半径不能超过米．25．（1）见解析；（2）．解析：（1）证明：∵将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到，∴，，，,∵四边形是正方形，∴，，∴,∴点、、三点共线，∴,∵，∴,在和中，，∴，∴∴；（2）将绕点顺时针旋转得到，

，，，，，，∴、、三点共线，，，，，，，，∴五边形的周长（），故答案为：．26．(1)；(2)点为或；(3)．解析：（1）解：∵抛物线与轴交于，与轴交于点，∴，解得，∴抛物线的解析式为：．（2）解：令中，，得，∴或，∴，，，∵，∴，，∵点是上方抛物线上一点，若，∴，∴，过点作轴于点，由点是上方抛物线上一点，设，∴