空间直线平面的垂直课件 高三数学一轮复习

第四节空间直线、平面的垂直课前自主预习案课堂互动探究案课前自主预习案必

备

知

识1.直线与平面垂直(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α.直线l叫做平面α的________，平面α叫做直线l的________．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．垂线垂面(2)判定定理与性质定理定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，“相交”是定理的关键词，应用定理时不能省略那么该直线与此平面垂直性质定理垂直于同一个平面的两条直线________平行a⊥α2.平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直．直二面角(2)判定定理与性质定理定理文字语言图形语言符号语言判定定理实际应用：找出一个平面的垂面的依据如果一个平面过另一个平面的______，那么这两个平面垂直性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一定不能漏掉“垂直于交线”这一条件一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直垂线b⊥α【常用结论】1．若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．2．若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．3．垂直于同一条直线的两个平面平行．4．一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．5．两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．夯

实

基

础1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.(

)(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(

)(3)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(

)(4)垂直于同一个平面的两个平面平行．(

)××××2．(教材改编)已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(

)A．m∥l B．m∥nC．n⊥l

D．m⊥n答案：C解析：对于A，m与l可能平行或异面，故A错；对于B、D，m与n可能平行、相交或异面，故B、D错；对于C，因为n⊥β，l⊂β，所以n⊥l，故C正确．故选C.3．(教材改编)在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．答案：(1)外(2)垂解析：(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G．∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．4．(易错)“直线与平面α内无数条直线垂直”是“直线与平面α垂直”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B解析：根据直线垂直平面的定义，由“直线与平面α垂直”可推出“直线与平面α内无数条直线都垂直”，反之不能由“直线与平面α内无数条直线都垂直”推出“直线与平面α垂直”．故选B.

答案：5

因为PA⊂平面PAB，PA⊂平面PAD，所以平面PAB⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，因为AB⊥AD，AB⊥PA，AD∩PA＝A，所以AB⊥平面PAD，因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD，同理可得BC⊥平面PAB，BC⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC，因为AB∥CD，所以CD⊥平面PAD，CD⊂平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD，故互相垂直的面有5对．课堂互动探究案1.理解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，并会证明．2．掌握直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质，并会简单应用．问题思考·夯实技能【问题1】如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线就垂直于这个平面吗？提示：不一定．如图，当平面α内的无数条直线a，b，c，…都互相平行时，直线l在保证与直线a，b，c，…都垂直的条件下，与平面α可能平行、垂直也可能斜交．【问题2】当两个平面互相垂直时，一个平面内一条直线垂直另一个平面内任意一条直线？提示：不一定．当两个平面互相垂直时，一个平面内的一条直线只有垂直于这两个平面的交线时，这条直线才垂直于另一个平面．

题后师说证明直线与平面垂直的常用方法(1)判定定理，它是最常用的思路．(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)．(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)．(4)面面垂直的性质．巩固训练1如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．(1)证明：CD⊥AE；(2)证明：PD⊥平面ABE.证明：(1)在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PA.又CD⊥AC，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，∵AE⊂平面PAC，故CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得PA＝AC，∵E是PC的中点，∴AE⊥PC，由(1)知，AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，PD在底面ABCD内的射影是AD，AB⊥AD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.题型二

平面与平面垂直的判定与性质例2[2023·全国乙卷]如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C⊥平面ABC，∠ACB＝90°.(1)证明：平面ACC1A1⊥平面BB1C1C；(2)设AB＝A1B，AA1＝2，求四棱锥A1-BB1C1C的高．解析：(1)证明：因为A1C⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以A1C⊥BC，因为∠ACB＝90°，所以BC⊥AC，又A1C∩AC＝C，A1C，AC⊂平面ACC1A1，所以BC⊥平面ACC1A1，又BC⊂平面BB1C1C，所以平面ACC1A1⊥平面BB1C1C.(2)如图，过点A1作A1H⊥CC1，交CC1于点H，由(1)知平面ACC1A1⊥平面BB1C1C，又平面ACC1A1∩平面BB1C1C＝CC1，A1H⊂平面ACC1A1，所以A1H⊥平面BB1C1C，即四棱锥A1-BB1C1C的高为A1H.

题后师说(1)面面垂直的方法：①面面垂直的定义．②面面垂直的判定定理．(2)面面垂直性质的应用：①面面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”．②若两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．

解析：(1)证明：依题意平面EFM∥平面SCD，由于平面EFM∩平面ABCD＝EM，平面SCD∩平面ABCD＝CD，所以EM∥CD，由于正方形ABCD中，E是AD的中点，所以M是线段BC的中点．(2)证明：由于平面SAD⊥平面ABCD，且交线为AD，由于CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面SAD，由于CD⊂平面SCD，所以平面SAD⊥平面SCD.

题后师说(1)对于三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．(2)对于线面关系中的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面关系的相关定理、性质进行推理论证．

1．[2024·广东深圳模拟]若直线a在平面α内，直线b在平面α外，则“b⊥a”是“b⊥α”的(

)A．充要条件

B．既不充分也不必要条件C．充分不必要条件

D．必要不充分条件答案：D解析：如图所示，若直线b与平面α相交点A，但不垂直时，当直线a垂直于直线b在平面α内的射影，此时b⊥a，得不出b⊥α.因为b⊥α，且直线a在平面α内，所以b⊥a，则“b⊥a”是“b⊥α”的必要不充分条件，故选D.2．空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是(

)A．平行B．垂直C．相交D．不确定答案：B解析：因为三角形的两边AC，BC有交点C，且直线l和AC，BC同时垂直，所以该直线垂直平面ABC，故该直线与AB垂直．故选B.3．[2024·九省联考]设α，β是两个平面，m，l是两条直线，则下列命题为真命题的是(

)A．若α⊥β，m∥α，l∥β，则m⊥lB．若m⊂α，l⊂β，m∥l，则α∥βC．若α∩β＝m，l∥α，l∥β，则m∥lD．若m⊥α，l⊥β，m∥l，则α⊥β答案：C