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文档简介
浙江省百校2024-2025学年高三下暑假联考数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.执行下面的程序框图,如果输入,,则计算机输出的数是()A. B. C. D.2.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图所示,圆柱表面上的点在正视图上的对应点为,圆柱表面上的点在左视图上的对应点为,则在此圆柱侧面上,从到的路径中,最短路径的长度为()A. B. C. D.23.已知定义在上的函数,若函数为偶函数,且对任意,,都有,若,则实数的取值范围是()A. B. C. D.4.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有A.72种 B.36种 C.24种 D.18种5.已知函数,若,则的最小值为()参考数据:A. B. C. D.6.古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28,进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496,8128,33550336,现将这五个“完全数”随机分为两组,一组2个,另一组3个,则6和28恰好在同一组的概率为A. B. C. D.7.已知椭圆的中心为原点,为的左焦点,为上一点,满足且,则椭圆的方程为()A. B. C. D.8.若复数在复平面内对应的点在第二象限,则实数的取值范围是()A. B. C. D.9.已知,且,则在方向上的投影为()A. B. C. D.10.若不等式在区间内的解集中有且仅有三个整数,则实数的取值范围是()A. B.C. D.11.是定义在上的增函数,且满足:的导函数存在,且,则下列不等式成立的是()A. B.C. D.12.已知数列满足:)若正整数使得成立,则()A.16 B.17 C.18 D.19二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例:勾三,股四,弦五.此发现早于毕达哥拉斯定理五百到六百年.我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数.现从3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13这11个数中随机抽取3个数,则这3个数能构成勾股数的概率为__________.14.已知满足且目标函数的最大值为7,最小值为1,则___________.15.若,,则___________.16.在平面直角坐标系xOy中,若圆C1:x2+(y-1)2=r2(r>0)上存在点P,且点P关于直线x-y=0的对称点Q在圆C2:(x-2)2+(y-1)2=1上,则r的取值范围是________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列的各项都为正数,,且.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设,其中表示不超过x的最大整数,如,,求数列的前2020项和.18.(12分)设函数,().(1)若曲线在点处的切线方程为,求实数a、m的值;(2)若对任意恒成立,求实数a的取值范围;(3)关于x的方程能否有三个不同的实根?证明你的结论.19.(12分)已知,函数有最小值7.(1)求的值;(2)设,,求证:.20.(12分)如图,四棱锥中,底面ABCD为菱形,平面ABCD,BD交AC于点E,F是线段PC中点,G为线段EC中点.Ⅰ求证:平面PBD;Ⅱ求证:.21.(12分)在三角形中,角,,的对边分别为,,,若.(Ⅰ)求角;(Ⅱ)若,,求.22.(10分)已知函数.(1)当时,试求曲线在点处的切线;(2)试讨论函数的单调区间.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
先明确该程序框图的功能是计算两个数的最大公约数,再利用辗转相除法计算即可.【详解】本程序框图的功能是计算,中的最大公约数,所以,,,故当输入,,则计算机输出的数是57.故选:B.本题考查程序框图的功能,做此类题一定要注意明确程序框图的功能是什么,本题是一道基础题.2.B【解析】
首先根据题中所给的三视图,得到点M和点N在圆柱上所处的位置,将圆柱的侧面展开图平铺,点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点处,根据平面上两点间直线段最短,利用勾股定理,求得结果.【详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征,将圆柱的侧面展开图平铺,可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽,圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处,所以所求的最短路径的长度为,故选B.点睛:该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题,在解题的过程中,需要明确两个点在几何体上所处的位置,再利用平面上两点间直线段最短,所以处理方法就是将面切开平铺,利用平面图形的相关特征求得结果.3.A【解析】
根据题意,分析可得函数的图象关于对称且在上为减函数,则不等式等价于,解得的取值范围,即可得答案.【详解】解:因为函数为偶函数,所以函数的图象关于对称,因为对任意,,都有,所以函数在上为减函数,则,解得:.即实数的取值范围是.故选:A.本题考查函数的对称性与单调性的综合应用,涉及不等式的解法,属于综合题.4.B【解析】
根据条件2名内科医生,每个村一名,3名外科医生和3名护士,平均分成两组,则分1名外科,2名护士和2名外科医生和1名护士,根据排列组合进行计算即可.【详解】2名内科医生,每个村一名,有2种方法,3名外科医生和3名护士,平均分成两组,要求外科医生和护士都有,则分1名外科,2名护士和2名外科医生和1名护士,若甲村有1外科,2名护士,则有C3若甲村有2外科,1名护士,则有C3则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种,故选:B.本题主要考查了分组分配问题,解决这类问题的关键是先分组再分配,属于常考题型.5.A【解析】
首先的单调性,由此判断出,由求得的关系式.利用导数求得的最小值,由此求得的最小值.【详解】由于函数,所以在上递减,在上递增.由于,,令,解得,所以,且,化简得,所以,构造函数,.构造函数,,所以在区间上递减,而,,所以存在,使.所以在上大于零,在上小于零.所以在区间上递增,在区间上递减.而,所以在区间上的最小值为,也即的最小值为,所以的最小值为.故选:A本小题主要考查利用导数研究函数的最值,考查分段函数的图像与性质,考查化归与转化的数学思想方法,属于难题.6.B【解析】
推导出基本事件总数,6和28恰好在同一组包含的基本事件个数,由此能求出6和28恰好在同一组的概率.【详解】解:将五个“完全数”6,28,496,8128,33550336,随机分为两组,一组2个,另一组3个,基本事件总数,6和28恰好在同一组包含的基本事件个数,∴6和28恰好在同一组的概率.故选:B.本题考查概率的求法,考查古典概型、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.7.B【解析】由题意可得c=,设右焦点为F′,由|OP|=|OF|=|OF′|知,∠PFF′=∠FPO,∠OF′P=∠OPF′,所以∠PFF′+∠OF′P=∠FPO+∠OPF′,由∠PFF′+∠OF′P+∠FPO+∠OPF′=180°知,∠FPO+∠OPF′=90°,即PF⊥PF′.在Rt△PFF′中,由勾股定理,得|PF′|=,由椭圆定义,得|PF|+|PF′|=2a=4+8=12,从而a=6,得a2=36,于是b2=a2﹣c2=36﹣=16,所以椭圆的方程为.故选B.点睛:椭圆的定义:到两定点距离之和为常数的点的轨迹,当和大于两定点间的距离时,轨迹是椭圆,当和等于两定点间的距离时,轨迹是线段(两定点间的连线段),当和小于两定点间的距离时,轨迹不存在.8.B【解析】
复数,在复平面内对应的点在第二象限,可得关于a的不等式组,解得a的范围.【详解】,由其在复平面对应的点在第二象限,得,则.故选:B.本题考查了复数的运算法则、几何意义、不等式的解法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.9.C【解析】
由向量垂直的向量表示求出,再由投影的定义计算.【详解】由可得,因为,所以.故在方向上的投影为.故选:C.本题考查向量的数量积与投影.掌握向量垂直与数量积的关系是解题关键.10.C【解析】
由题可知,设函数,,根据导数求出的极值点,得出单调性,根据在区间内的解集中有且仅有三个整数,转化为在区间内的解集中有且仅有三个整数,结合图象,可求出实数的取值范围.【详解】设函数,,因为,所以,或,因为时,,或时,,,其图象如下:当时,至多一个整数根;当时,在内的解集中仅有三个整数,只需,,所以.故选:C.本题考查不等式的解法和应用问题,还涉及利用导数求函数单调性和函数图象,同时考查数形结合思想和解题能力.11.D【解析】
根据是定义在上的增函数及有意义可得,构建新函数,利用导数可得为上的增函数,从而可得正确的选项.【详解】因为是定义在上的增函数,故.又有意义,故,故,所以.令,则,故在上为增函数,所以即,整理得到.故选:D.本题考查导数在函数单调性中的应用,一般地,数的大小比较,可根据数的特点和题设中给出的原函数与导数的关系构建新函数,本题属于中档题.12.B【解析】
计算,故,解得答案.【详解】当时,,即,且.故,,故.故选:.本题考查了数列的相关计算,意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
由组合数结合古典概型求解即可【详解】从11个数中随机抽取3个数有种不同的方法,其中能构成勾股数的有共三种,所以,所求概率为.故答案为本题考查古典概型与数学文化,考查组合问题,数据处理能力和应用意识.14.-2【解析】
先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值,表示直线在轴上的截距,只需求出可行域直线在轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可.【详解】由题意得:目标函数在点B取得最大值为7,在点A处取得最小值为1,∴,,∴直线AB的方程是:,∴则,故答案为.本题主要考查了简单的线性规划,以及利用几何意义求最值的方法,属于基础题.15.【解析】
因为,所以,又,所以,则,所以.16.【解析】
设圆C1上存在点P(x0,y0),则Q(y0,x0),分别满足两个圆的方程,列出方程组,转化成两个新圆有公共点求参数范围.【详解】设圆C1上存在点P(x0,y0)满足题意,点P关于直线x-y=0的对称点Q(y0,x0),则,故只需圆x2+(y-1)2=r2与圆(x-1)2+(y-2)2=1有交点即可,所以|r-1|≤≤r+1,解得.故答案为:此题考查圆与圆的位置关系,其中涉及点关于直线对称点问题,两个圆有公共点的判定方式.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ);(Ⅱ)4953【解析】
(Ⅰ)递推公式变形为,由数列是正项数列,得到,根据数列是等比数列求通项公式;(Ⅱ),根据新定义和对数的运算分类讨论数列的通项公式,并求前2020项和.【详解】(Ⅰ)∵,∴,∴又∵数列的各项都为正数,∴,即.∴数列是以2为首项,2为公比的等比数列,∴.(Ⅱ)∵,∴,.∴数列的前2020项的和为.本题考查根据数列的递推公式求通项公式和数列的前项和,意在考查转化与化归的思想,计算能力,属于中档题型.18.(1),;(2);(3)不能,证明见解析【解析】
(1)求出,结合导数的几何意义即可求解;(2)构造,则原题等价于对任意恒成立,即时,,利用导数求最值即可,值得注意的是,可以通过代特殊值,由求出的范围,再研究该范围下单调性;(3)构造并进行求导,研究单调性,结合函数零点存在性定理证明即可.【详解】(1),,曲线在点处的切线方程为,,解得.(2)记,整理得,由题知,对任意恒成立,对任意恒成立,即时,,,解得,当时,对任意,,,,,即在单调递增,此时,实数的取值范围为.(3)关于的方程不可能有三个不同的实根,以下给出证明:记,,则关于的方程有三个不同的实根,等价于函数有三个零点,,当时,,记,则,在单调递增,,即,,在单调递增,至多有一个零点;当时,记,则,在单调递增,即在单调递增,至多有一个零点,则至多有两个单调区间,至多有两个零点.因此,不可能有三个零点.关于的方程不可能有三个不同的实根.本题考查了导数几何意义的应用、利用导数研究函数单调性以及函数的零点存在性定理,考查了转化与化归的数学思想,属于难题.19.(1).(2)见解析【解析】
(1)由绝对值三解不等式可得,所以当时,,即可求出参数的值;(2)由,可得,再利用基本不等式求出的最小值,即可得证;【详解】解:(1)∵,∴当时,,解得.(2)∵,∴,∴,当且仅当,即,时,等号成立.∴.本题主要考查绝对值三角不等式及基本不等式的简单应用,属于中档题.20.(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析:(1)先证明,再证明FG//平面PBD.(2)先证明平面,再证明BD⊥FG.详解:证明:(
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