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文档简介

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知非零向量,满足,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解:2.已知函数,,且在上是单调函数,则下列说法正确的是()A. B.C.函数在上单调递减 D.函数的图像关于点对称3.已知.给出下列判断:①若,且,则;②存在使得的图象向右平移个单位长度后得到的图象关于轴对称;③若在上恰有7个零点,则的取值范围为;④若在上单调递增,则的取值范围为.其中,判断正确的个数为()A.1 B.2 C.3 D.44.已知命题若,则,则下列说法正确的是()A.命题是真命题B.命题的逆命题是真命题C.命题的否命题是“若,则”D.命题的逆否命题是“若,则”5.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值是()A.7 B.5 C.3 D.26.已知复数z满足,则z的虚部为()A. B.i C.–1 D.17.已知等比数列满足,,则()A. B. C. D.8.若集合,则=()A. B. C. D.9.点在所在的平面内,,,,,且,则()A. B. C. D.10.已知数列是公比为的正项等比数列,若、满足,则的最小值为()A. B. C. D.11.对于任意,函数满足,且当时,函数.若,则大小关系是()A. B. C. D.12.公差不为零的等差数列{an}中,a1+a2+a5=13,且a1、a2、a5成等比数列,则数列{an}的公差等于()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.数列的前项和为,则数列的前项和_____.14.(5分)函数的定义域是____________.15.已知向量,,且,则实数m的值是________.16.已知直线与圆心为的圆相交于两点,且,则实数的值为_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)为了检测某种零件的一条生产线的生产过程,从生产线上随机抽取一批零件,根据其尺寸的数据得到如图所示的频率分布直方图,若尺寸落在区间之外,则认为该零件属“不合格”的零件,其中,s分别为样本平均数和样本标准差,计算可得(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(1)求样本平均数的大小;(2)若一个零件的尺寸是100cm,试判断该零件是否属于“不合格”的零件.18.(12分)已知椭圆C的中心在坐标原点,其短半轴长为1,一个焦点坐标为,点在椭圆上,点在直线上,且.(1)证明:直线与圆相切;(2)设与椭圆的另一个交点为,当的面积最小时,求的长.19.(12分)椭圆的右焦点,过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为.(1)求椭圆的方程;(2)过点且斜率不为0的直线与椭圆交于,两点.为坐标原点,为椭圆的右顶点,求四边形面积的最大值.20.(12分)已知函数.(1)解不等式;(2)若,,,求证:.21.(12分)已知函数(,为自然对数的底数),.(1)若有两个零点,求实数的取值范围;(2)当时,对任意的恒成立,求实数的取值范围.22.(10分)在平面直角坐标系中,已知椭圆的中心为坐标原点焦点在轴上,右顶点到右焦点的距离与它到右准线的距离之比为.(1)求椭圆的标准方程;(2)若是椭圆上关于轴对称的任意两点,设,连接交椭圆于另一点.求证:直线过定点并求出点的坐标;(3)在(2)的条件下,过点的直线交椭圆于两点,求的取值范围.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】

根据向量的数量积运算,由向量的关系,可得选项.【详解】,,∴等价于,故选:C.【点睛】本题考查向量的数量积运算和命题的充分、必要条件,属于基础题.2.B【解析】

根据函数,在上是单调函数,确定,然后一一验证,A.若,则,由,得,但.B.由,,确定,再求解验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算是否为0.【详解】因为函数,在上是单调函数,所以,即,所以,若,则,又因为,即,解得,而,故A错误.由,不妨令,得由,得或当时,,不合题意.当时,,此时所以,故B正确.因为,函数,在上是单调递增,故C错误.,故D错误.故选:B【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用,还考查了运算求解的能力,属于较难的题.3.B【解析】

对函数化简可得,进而结合三角函数的最值、周期性、单调性、零点、对称性及平移变换,对四个命题逐个分析,可选出答案.【详解】因为,所以周期.对于①,因为,所以,即,故①错误;对于②,函数的图象向右平移个单位长度后得到的函数为,其图象关于轴对称,则,解得,故对任意整数,,所以②错误;对于③,令,可得,则,因为,所以在上第1个零点,且,所以第7个零点,若存在第8个零点,则,所以,即,解得,故③正确;对于④,因为,且,所以,解得,又,所以,故④正确.故选:B.【点睛】本题考查三角函数的恒等变换,考查三角函数的平移变换、最值、周期性、单调性、零点、对称性,考查学生的计算求解能力与推理能力,属于中档题.4.B【解析】

解不等式,可判断A选项的正误;写出原命题的逆命题并判断其真假,可判断B选项的正误;利用原命题与否命题、逆否命题的关系可判断C、D选项的正误.综合可得出结论.【详解】解不等式,解得,则命题为假命题,A选项错误;命题的逆命题是“若,则”,该命题为真命题,B选项正确;命题的否命题是“若,则”,C选项错误;命题的逆否命题是“若,则”,D选项错误.故选:B.【点睛】本题考查四种命题的关系,考查推理能力,属于基础题.5.B【解析】

由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件,表示的可行域,如图,由可得,将变形为,平移直线,由图可知当直经过点时,直线在轴上的截距最大,最大值为,故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.6.C【解析】

利用复数的四则运算可得,即可得答案.【详解】∵,∴,∴,∴复数的虚部为.故选:C.【点睛】本题考查复数的四则运算、虚部概念,考查运算求解能力,属于基础题.7.B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=,选B.8.C【解析】

求出集合,然后与集合取交集即可.【详解】由题意,,,则,故答案为C.【点睛】本题考查了分式不等式的解法,考查了集合的交集,考查了计算能力,属于基础题.9.D【解析】

确定点为外心,代入化简得到,,再根据计算得到答案.【详解】由可知,点为外心,则,,又,所以①因为,②联立方程①②可得,,,因为,所以,即.故选:【点睛】本题考查了向量模长的计算,意在考查学生的计算能力.10.B【解析】

利用等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数的单调性求得再根据此范围求的最小值.【详解】数列是公比为的正项等比数列,、满足,由等比数列的通项公式得,即,,可得,且、都是正整数,求的最小值即求在,且、都是正整数范围下求最小值和的最小值,讨论、取值.当且时,的最小值为.故选:B.【点睛】本题考查等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数性质等基础知识,考查数学运算求解能力和分类讨论思想,是中等题.11.A【解析】

由已知可得的单调性,再由可得对称性,可求出在单调性,即可求出结论.【详解】对于任意,函数满足,因为函数关于点对称,当时,是单调增函数,所以在定义域上是单调增函数.因为,所以,.故选:A.【点睛】本题考查利用函数性质比较函数值的大小,解题的关键要掌握函数对称性的代数形式,属于中档题..12.B【解析】

设数列的公差为.由,成等比数列,列关于的方程组,即求公差.【详解】设数列的公差为,①.成等比数列,②,解①②可得.故选:.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

解:两式作差,得,经过检验得出数列的通项公式,进而求得的通项公式,裂项相消求和即可.【详解】解:两式作差,得化简得,检验:当n=1时,,所以数列是以2为首项,2为公比的等比数列;,,令故填:.【点睛】本题考查求数列的通项公式,裂项相消求数列的前n项和,解题过程中需要注意n的范围以及对特殊项的讨论,侧重考查运算能力.14.【解析】

要使函数有意义,则,即,解得,故函数的定义域是.15.1【解析】

根据即可得出,从而求出m的值.【详解】解:∵;∴;∴m=1.故答案为:1.【点睛】本题考查向量垂直的充要条件,向量数量积的坐标运算.16.0或6【解析】

计算得到圆心,半径,根据得到,利用圆心到直线的距离公式解得答案.【详解】,即,圆心,半径.,故圆心到直线的距离为,即,故或.故答案为:或.【点睛】本题考查了根据直线和圆的位置关系求参数,意在考查学生的计算能力和转化能力。三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)66.5(2)属于【解析】

(1)利用频率分布直方图的平均数公式求解;(2)求出,即可判断得解.【详解】(1)(2)所以该零件属于“不合格”的零件【点睛】本题主要考查频率分布图中平均数的计算和应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.18.(1)见解析;(2).【解析】

(1)分斜率为0,斜率不存在,斜率不为0三种情况讨论,设的方程为,可求解得到,,可得到的距离为1,即得证;(2)表示的面积为,利用均值不等式,即得解.【详解】(1)由题意,椭圆的焦点在x轴上,且,所以.所以椭圆的方程为.由点在直线上,且知的斜率必定存在,当的斜率为0时,,,于是,到的距离为1,直线与圆相切.当的斜率不为0时,设的方程为,与联立得,所以,,从而.而,故的方程为,而在上,故,从而,于是.此时,到的距离为1,直线与圆相切.综上,直线与圆相切.(2)由(1)知,的面积为,上式中,当且仅当等号成立,所以面积的最小值为1.此时,点在椭圆的长轴端点,为.不妨设为长轴左端点,则直线的方程为,代入椭圆的方程解得,即,,所以.【点睛】本题考查了直线和椭圆综合,考查了直线和圆的位置关系判断,面积的最值问题,考查了学生综合分析,数学运算能力,属于较难题.19.(1)(2)最大值.【解析】

(1)根据通径和即可求(2)设直线方程为,联立椭圆,利用,用含的式子表示出,用换元,可得,最后用均值不等式求解.【详解】解:(1)依题意有,,,所以椭圆的方程为.(2)设直线的方程为,联立,得.所以,.所以.令,则,所以,因,则,所以,当且仅当,即时取得等号,即四边形面积的最大值.【点睛】考查椭圆方程的求法和椭圆中四边形面积最大值的求法,是难题.20.(1);(2)证明见解析.【解析】

(1)分、、三种情况解不等式,即可得出该不等式的解集;(2)利用分析法可知,要证,即证,只需证明即可,因式分解后,判断差值符号即可,由此证明出所证不等式成立.【详解】(1).当时,由,解得,此时;当时,不成立;当时,由,解得,此时.综上所述,不等式的解集为;(2)要证,即证,因为,,所以,,,.所以,.故所证不等式成立.【点睛】本题考查绝对值不等式的求解,同时也考查了利用分析法和作差法证明不等式,考查分类讨论思想以及推理能力,属于中等题.21.(1);(2)【解析】

(1)将有两个零点转化为方程有两个相异实根,令求导,利用其单调性和极值求解;(2)将问题转化为对一切恒成立,令,求导,研究单调性,求出其最值即可得结果.【详解】(1)有两个零点关于的方程有两个相异实根由,知有两个零点有两个相异实根.令,则,由得:,由得:,在单调递增,在单调递减,又当时,,当时,当时,有两个零点时,实数的取值范围为;(2)当时,,原命题等价于对一切恒成立对一切恒成立.令令,,则在上单增又,,使即①当时,,当时,,即在递减,在递增,由①知函数在单调递增即,实数的取值范围为.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,极值,最值问题,考查学生转化能力和分析能力,是一道难度较大的题目.22.(1);(2)证明详见解析,;(3).【解析】

(1)根据题意列出关于的等式求解即可.(2)先根据对称性,直线过的定点一定在轴上,再设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,进而求得的方程,并代入,化简分析即可.(3)先分析过点的直线斜率不存在时的值,再分析存在时,设直线的方程为,联立直线与椭圆的方程,得出韦达定理再代入求解出关于的解析式,再求解范围即可.【详解】解:设椭圆的标准方程焦距为,由题意得

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