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文档简介
云南省昆明市师范大学附属中学2024-2025学年高三阶段性测试(四)数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设,则A. B. C. D.2.胡夫金字塔是底面为正方形的锥体,四个侧面都是相同的等腰三角形.研究发现,该金字塔底面周长除以倍的塔高,恰好为祖冲之发现的密率.设胡夫金字塔的高为,假如对胡夫金字塔进行亮化,沿其侧棱和底边布设单条灯带,则需要灯带的总长度约为A. B.C. D.3.已知数列是公差为的等差数列,且成等比数列,则()A.4 B.3 C.2 D.14.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的体积是()A. B. C. D.85.设,,分别是中,,所对边的边长,则直线与的位置关系是()A.平行 B.重合C.垂直 D.相交但不垂直6.函数()的图像可以是()A. B.C. D.7.已知函数,其图象关于直线对称,为了得到函数的图象,只需将函数的图象上的所有点()A.先向左平移个单位长度,再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标保持不变B.先向右平移个单位长度,再把所得各点横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变C.先向右平移个单位长度,再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标保持不变D.先向左平移个单位长度,再把所得各点横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变8.设全集,集合,则=()A. B. C. D.9.已知直线,,则“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.陀螺是中国民间最早的娱乐工具,也称陀罗.如图,网格纸上小正方形的边长为,粗线画出的是某个陀螺的三视图,则该陀螺的表面积为()A. B.C. D.11.已知抛物线的焦点为,为抛物线上一点,,当周长最小时,所在直线的斜率为()A. B. C. D.12.若函数()的图象过点,则()A.函数的值域是 B.点是的一个对称中心C.函数的最小正周期是 D.直线是的一条对称轴二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.“”是“”的__________条件.(填写“充分必要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”之一)14.已知四棱锥,底面四边形为正方形,,四棱锥的体积为,在该四棱锥内放置一球,则球体积的最大值为_________.15.已知F为抛物线C:x2=8y的焦点,P为C上一点,M(﹣4,3),则△PMF周长的最小值是_____.16.已知x,y满足约束条件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0,则三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知直线与椭圆恰有一个公共点,与圆相交于两点.(I)求与的关系式;(II)点与点关于坐标原点对称.若当时,的面积取到最大值,求椭圆的离心率.18.(12分)已知函数.(1)设,若存在两个极值点,,且,求证:;(2)设,在不单调,且恒成立,求的取值范围.(为自然对数的底数).19.(12分)设不等式的解集为M,.(1)证明:;(2)比较与的大小,并说明理由.20.(12分)已知△ABC三内角A、B、C所对边的长分别为a,b,c,且3sin2A+3sin2B=4sinAsinB+3sin2C.(1)求cosC的值;(2)若a=3,c,求△ABC的面积.21.(12分)手工艺是一种生活态度和对传统的坚持,在我国有很多手工艺品制作村落,村民的手工技艺世代相传,有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名,还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎,该村村民成立了手工艺品外销合作社,为严把质量关,合作社对村民制作的每件手工艺品都请3位行家进行质量把关,质量把关程序如下:(i)若一件手工艺品3位行家都认为质量过关,则该手工艺品质量为A级;(ii)若仅有1位行家认为质量不过关,再由另外2位行家进行第二次质量把关,若第二次质量把关这2位行家都认为质量过关,则该手工艺品质量为B级,若第二次质量把关这2位行家中有1位或2位认为质量不过关,则该手工艺品质量为C级;(iii)若有2位或3位行家认为质量不过关,则该手工艺品质量为D级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1位行家认为质量不过关的概率为,且各手工艺品质量是否过关相互独立.(1)求一件手工艺品质量为B级的概率;(2)若一件手工艺品质量为A,B,C级均可外销,且利润分别为900元,600元,300元,质量为D级不能外销,利润记为100元.①求10件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件;②记1件手工艺品的利润为X元,求X的分布列与期望.22.(10分)如图,已知三棱柱中,与是全等的等边三角形.(1)求证:;(2)若,求二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】分析:利用复数的除法运算法则:分子、分母同乘以分母的共轭复数,化简复数,然后求解复数的模.详解:,则,故选c.点睛:复数是高考中的必考知识,主要考查复数的概念及复数的运算.要注意对实部、虚部的理解,掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念,复数的运算主要考查除法运算,通过分母实数化转化为复数的乘法,运算时特别要注意多项式相乘后的化简,防止简单问题出错,造成不必要的失分.2.D【解析】
设胡夫金字塔的底面边长为,由题可得,所以,该金字塔的侧棱长为,所以需要灯带的总长度约为,故选D.3.A【解析】
根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.【详解】由成等比数列得,即,已知,解得.故选:.本题考查了等差数列,等比数列的基本量的计算,意在考查学生的计算能力.4.A【解析】
由三视图还原出原几何体,得出几何体的结构特征,然后计算体积.【详解】由三视图知原几何体是一个四棱锥,四棱锥底面是边长为2的正方形,高为2,直观图如图所示,.故选:A.本题考查三视图,考查棱锥的体积公式,掌握基本几何体的三视图是解题关键.5.C【解析】试题分析:由已知直线的斜率为,直线的斜率为,又由正弦定理得,故,两直线垂直考点:直线与直线的位置关系6.B【解析】
根据,可排除,然后采用导数,判断原函数的单调性,可得结果.【详解】由题可知:,所以当时,,又,令,则令,则所以函数在单调递减在单调递增,故选:B本题考查函数的图像,可从以下指标进行观察:(1)定义域;(2)奇偶性;(3)特殊值;(4)单调性;(5)值域,属基础题.7.D【解析】
由函数的图象关于直线对称,得,进而得再利用图像变换求解即可【详解】由函数的图象关于直线对称,得,即,解得,所以,,故只需将函数的图象上的所有点“先向左平移个单位长度,得再将横坐标缩短为原来的,纵坐标保持不变,得”即可.故选:D本题考查三角函数的图象与性质,考查图像变换,考查运算求解能力,是中档题8.A【解析】
先求得全集包含的元素,由此求得集合的补集.【详解】由解得,故,所以,故选A.本小题主要考查补集的概念及运算,考查一元二次不等式的解法,属于基础题.9.C【解析】
先得出两直线平行的充要条件,根据小范围可推导出大范围,可得到答案.【详解】直线,,的充要条件是,当a=2时,化简后发现两直线是重合的,故舍去,最终a=-1.因此得到“”是“”的充分必要条件.故答案为C.判断充要条件的方法是:①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题,则命题p是命题q的充要条件;④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题,则命题p是命题q的即不充分也不必要条件.⑤判断命题p与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题p与命题q的关系.10.C【解析】
画出几何体的直观图,利用三视图的数据求解几何体的表面积即可,【详解】由题意可知几何体的直观图如图:上部是底面半径为1,高为3的圆柱,下部是底面半径为2,高为2的圆锥,几何体的表面积为:,故选:C本题考查三视图求解几何体的表面积,判断几何体的形状是解题的关键.11.A【解析】
本道题绘图发现三角形周长最小时A,P位于同一水平线上,计算点P的坐标,计算斜率,即可.【详解】结合题意,绘制图像要计算三角形PAF周长最小值,即计算PA+PF最小值,结合抛物线性质可知,PF=PN,所以,故当点P运动到M点处,三角形周长最小,故此时M的坐标为,所以斜率为,故选A.本道题考查了抛物线的基本性质,难度中等.12.A【解析】
根据函数的图像过点,求出,可得,再利用余弦函数的图像与性质,得出结论.【详解】由函数()的图象过点,可得,即,,,故,对于A,由,则,故A正确;对于B,当时,,故B错误;对于C,,故C错误;对于D,当时,,故D错误;故选:A本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质,需熟记性质与公式,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.充分不必要【解析】
由余弦的二倍角公式可得,即或,即可判断命题的关系.【详解】由,所以或,所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为:充分不必要本题考查命题的充分条件与必要条件的判断,考查余弦的二倍角公式的应用.14.【解析】
由题知,该四棱锥为正四棱锥,作出该正四棱锥的高和斜高,连接,则球心O必在的边上,设,由球与四棱锥的内切关系可知,设,用和表示四棱锥的体积,解得和的关系,进而表示出内切球的半径,并求出半径的最大值,进而求出球的体积的最大值.【详解】设,,由球O内切于四棱锥可知,,,则,球O的半径,,,,当且仅当时,等号成立,此时.故答案为:.本题考查了棱锥的体积问题,内切球问题,考查空间想象能力,属于较难的填空压轴题.15.5【解析】
△PMF的周长最小,即求最小,过做抛物线准线的垂线,垂足为,转化为求最小,数形结合即可求解.【详解】如图,F为抛物线C:x2=8y的焦点,P为C上一点,M(﹣4,3),抛物线C:x2=8y的焦点为F(0,2),准线方程为y=﹣2.过作准线的垂线,垂足为,则有,当且仅当三点共线时,等号成立,所以△PMF的周长最小值为55.故答案为:5.本题考查抛物线定义的应用,考查数形结合与数学转化思想方法,属于中档题.16.3【解析】
先根据约束条件画出可行域,再由y=2x-z表示直线在y轴上的截距最大即可得解.【详解】x,y满足约束条件x-y-1≥0x+y-3≤02y+1≥0,画出可行域如图所示.目标函数z=2x-y,即平移直线y=2x-z,截距最大时即为所求.2y+1=0x-y-1=0点A(12,z在点A处有最小值:z=2×1故答案为:32本题主要考查线性规划的基本应用,利用数形结合,结合目标函数的几何意义是解决此类问题的基本方法.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ)(II)【解析】
(I)联立直线与椭圆的方程,根据判别式等于0,即可求出结果;(Ⅱ)因点与点关于坐标原点对称,可得的面积是的面积的两倍,再由当时,的面积取到最大值,可得,进而可得原点到直线的距离,再由点到直线的距离公式,以及(I)的结果,即可求解.【详解】(I)由,得,则化简整理,得;(Ⅱ)因点与点关于坐标原点对称,故的面积是的面积的两倍.所以当时,的面积取到最大值,此时,从而原点到直线的距离,又,故.再由(I),得,则.又,故,即,从而,即.本题主要考查直线与椭圆的位置关系,以及椭圆的简单性质,通常需要联立直线与椭圆方程,结合韦达定理、判别式等求解,属于中档试题.18.(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)先求出,又由可判断出在上单调递减,故,令,记,利用导数求出的最小值即可;(2)由在上不单调转化为在上有解,可得,令,分类讨论求的最大值,再求解即可.【详解】(1)已知,,由可得,又由,知在上单调递减,令,记,则在上单调递增;,在上单调递增;,(2),,在上不单调,在上有正有负,在上有解,,,恒成立,记,则,记,,在上单调增,在上单调减.于是知(i)当即时,恒成立,在上单调增,,,.(ii)当时,,故不满足题意.综上所述,本题主要考查了导数的综合应用,考查了分类讨论,转化与化归的思想,考查了学生的运算求解能力.19.(1)证明见解析;(2).【解析】试题分析:(1)首先求得集合M,然后结合绝对值不等式的性质即可证得题中的结论;(2)利用平方做差的方法可证得|1-4ab|>2|a-b|.试题解析:(Ⅰ)证明:记f(x)=|x-1|-|x+2|,则f(x)=,所以解得-<x<,故M=(-,).所以,||≤|a|+|b|<×+×=.(Ⅱ)由(Ⅰ)得0≤a2<,0≤b2<.|1-4ab|2-4|a-b|2=(1-8ab+16a2b2)-4(a2-2ab+b2)=4(a2-1)(b2-1)>0.所以,|1-4ab|>2|a-b|.20.(1);(2)或.【解析】
(1)利用正弦定理对已知代数式化简,根据余弦定理求解余弦值;(2)根据余弦定理求出b=1或b=3,结合面积公式求解.【详解】(1)已知等式3sin2A+3sin2B=4sinAsinB+3sin2C,利用正弦定理化简得:3a2+3b2﹣3c2=4ab,即a2+b2﹣c2ab,∴cosC;(2)把a=3,c,代入3a2+3b2﹣3c2=4ab得:b=1或b=3,∵cosC,C为三角形内角,∴sinC,∴S△ABCabsinC3×bb,则△ABC的面积为或.此题考查利用正
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