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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知等差数列的前项和为,若,则等差数列公差()A.2 B. C.3 D.42.下列函数中,既是奇函数,又在上是增函数的是().A. B.C. D.3.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为3,则可输入的实数值的个数为()A.1 B.2 C.3 D.44.若函数的图象如图所示,则的解析式可能是()A. B. C. D.5.某公园新购进盆锦紫苏、盆虞美人、盆郁金香,盆盆栽,现将这盆盆栽摆成一排,要求郁金香不在两边,任两盆锦紫苏不相邻的摆法共()种A. B. C. D.6.设函数,则使得成立的的取值范围是().A. B.C. D.7.已知平行于轴的直线分别交曲线于两点,则的最小值为()A. B. C. D.8.已知椭圆的右焦点为F,左顶点为A,点P椭圆上,且,若,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.9.很多关于整数规律的猜想都通俗易懂,吸引了大量的数学家和数学爱好者,有些猜想已经被数学家证明,如“费马大定理”,但大多猜想还未被证明,如“哥德巴赫猜想”、“角谷猜想”.“角谷猜想”的内容是:对于每一个正整数,如果它是奇数,则将它乘以再加1;如果它是偶数,则将它除以;如此循环,最终都能够得到.下图为研究“角谷猜想”的一个程序框图.若输入的值为,则输出i的值为()A. B. C. D.10.年某省将实行“”的新高考模式,即语文、数学、英语三科必选,物理、历史二选一,化学、生物、政治、地理四选二,若甲同学选科没有偏好,且不受其他因素影响,则甲同学同时选择历史和化学的概率为A. B. C. D.11.已知复数是纯虚数,其中是实数,则等于()A. B. C. D.12.已知复数z=2i1-i,则A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.若向量与向量垂直,则______.14.的展开式中,项的系数是__________.15.若的展开式中只有第六项的二项式系数最大,则展开式中各项的系数和是________.16.已知半径为4的球面上有两点A,B,AB=42,球心为O,若球面上的动点C满足二面角C-AB-O的大小为60°三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数(1)若,不等式的解集;(2)若,求实数的取值范围.18.(12分)在数列和等比数列中,,,.(1)求数列及的通项公式;(2)若,求数列的前n项和.19.(12分)在,角、、所对的边分别为、、,已知.(1)求的值;(2)若,边上的中线,求的面积.20.(12分)在开展学习强国的活动中,某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组,其中党员学习组有4名男教师、1名女教师,非党员学习组有2名男教师、2名女教师,高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛.(1)求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数;(2)记X为选出的4名选手中女教师的人数,求X的概率分布和数学期望.21.(12分)若函数在处有极值,且,则称为函数的“F点”.(1)设函数().①当时,求函数的极值;②若函数存在“F点”,求k的值;(2)已知函数(a,b,,)存在两个不相等的“F点”,,且,求a的取值范围.22.(10分)如图所示,四棱柱中,底面为梯形,,,,,,.(1)求证:;(2)若平面平面,求二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
根据等差数列的求和公式即可得出.【详解】∵a1=12,S5=90,∴5×12+d=90,解得d=1.故选C.【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.2.B【解析】
奇函数满足定义域关于原点对称且,在上即可.【详解】A:因为定义域为,所以不可能时奇函数,错误;B:定义域关于原点对称,且满足奇函数,又,所以在上,正确;C:定义域关于原点对称,且满足奇函数,,在上,因为,所以在上不是增函数,错误;D:定义域关于原点对称,且,满足奇函数,在上很明显存在变号零点,所以在上不是增函数,错误;故选:B【点睛】此题考查判断函数奇偶性和单调性,注意奇偶性的前提定义域关于原点对称,属于简单题目.3.C【解析】试题分析:根据题意,当时,令,得;当时,令,得,故输入的实数值的个数为1.考点:程序框图.4.A【解析】
由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果.【详解】对于选项B,为奇函数可判断B错误;对于选项C,当时,,可判断C错误;对于选项D,,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D错误;故选:A.【点睛】本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.5.B【解析】
间接法求解,两盆锦紫苏不相邻,被另3盆隔开有,扣除郁金香在两边有,即可求出结论.【详解】使用插空法,先排盆虞美人、盆郁金香有种,然后将盆锦紫苏放入到4个位置中有种,根据分步乘法计数原理有,扣除郁金香在两边,排盆虞美人、盆郁金香有种,再将盆锦紫苏放入到3个位置中有,根据分步计数原理有,所以共有种.故选:B.【点睛】本题考查排列应用问题、分步乘法计数原理,不相邻问题插空法是解题的关键,属于中档题.6.B【解析】
由奇偶性定义可判断出为偶函数,由单调性的性质可知在上单调递增,由此知在上单调递减,从而将所求不等式化为,解绝对值不等式求得结果.【详解】由题意知:定义域为,,为偶函数,当时,,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增,则在上单调递减,由得:,解得:或,的取值范围为.故选:.【点睛】本题考查利用函数的单调性和奇偶性求解函数不等式的问题;奇偶性的作用是能够确定对称区间的单调性,单调性的作用是能够将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系,进而化简不等式.7.A【解析】
设直线为,用表示出,,求出,令,利用导数求出单调区间和极小值、最小值,即可求出的最小值.【详解】解:设直线为,则,,而满足,那么设,则,函数在上单调递减,在上单调递增,所以故选:.【点睛】本题考查导数知识的运用:求单调区间和极值、最值,考查化简整理的运算能力,正确求导确定函数的最小值是关键,属于中档题.8.C【解析】
不妨设在第一象限,故,根据得到,解得答案.【详解】不妨设在第一象限,故,,即,即,解得,(舍去).故选:.【点睛】本题考查了椭圆的离心率,意在考查学生的计算能力.9.B【解析】
根据程序框图列举出程序的每一步,即可得出输出结果.【详解】输入,不成立,是偶数成立,则,;不成立,是偶数不成立,则,;不成立,是偶数成立,则,;不成立,是偶数成立,则,;不成立,是偶数成立,则,;不成立,是偶数成立,则,;成立,跳出循环,输出i的值为.故选:B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果,考查计算能力,属于基础题.10.B【解析】
甲同学所有的选择方案共有种,甲同学同时选择历史和化学后,只需在生物、政治、地理三科中再选择一科即可,共有种选择方案,根据古典概型的概率计算公式,可得甲同学同时选择历史和化学的概率,故选B.11.A【解析】
对复数进行化简,由于为纯虚数,则化简后的复数形式中,实部为0,得到的值,从而得到复数.【详解】因为为纯虚数,所以,得所以.故选A项【点睛】本题考查复数的四则运算,纯虚数的概念,属于简单题.12.C【解析】分析:根据复数的运算,求得复数z,再利用复数的表示,即可得到复数对应的点,得到答案.详解:由题意,复数z=2i1-i所以复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-1),位于复平面内的第三象限,故选C.点睛:本题主要考查了复数的四则运算及复数的表示,其中根据复数的四则运算求解复数z是解答的关键,着重考查了推理与运算能力.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.0【解析】
直接根据向量垂直计算得到答案.【详解】向量与向量垂直,则,故.故答案为:.【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数,意在考查学生的计算能力.14.240【解析】
利用二项式展开式的通项公式,令x的指数等于3,计算展开式中含有项的系数即可.【详解】由题意得:,只需,可得,代回原式可得,故答案:240.【点睛】本题主要考查二项式展开式的通项公式及简单应用,相对不难.15.【解析】
由题意得出展开式中共有11项,;再令求得展开式中各项的系数和.【详解】由的展开式中只有第六项的二项式系数最大,所以展开式中共有11项,所以;令,可求得展开式中各项的系数和是:.故答案为:1.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用,考查二项式展开式各项系数和的求法,属于基础题.16.4【解析】
设△ABC所在截面圆的圆心为O1,AB中点为D,连接OD,易知∠ODO1即为二面角C-AB-O的平面角,可求出OD, O1D及OO1,然后可判断出四面体OABC外接球的球心E在直线OO1上,在【详解】设△ABC所在截面圆的圆心为O1,AB中点为D,连接OD,OA=OB,所以,OD⊥AB,同理O1D⊥AB,所以,∠ODO1即为二面角∠ODO因为OA=OB=4, AB=42,所以△OAB在Rt△ODO1中,由cos60º=O1D因为O1到A、B、C三的距离相等,所以,四面体OABC外接球的球心E在直线OO设四面体OABC外接球半径为R,在Rt△O1由勾股定理可得:O1B2+O【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题,考查了学生的空间想象能力、逻辑推理能力及计算求解能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)【解析】
(1)依题意可得,再用零点分段法分类讨论可得;(2)依题意可得对恒成立,根据绝对值的几何意义将绝对值去掉,分别求出解集,则两解集的并集为,得到不等式即可解得;【详解】解:(1)若,,则,即,当时,原不等式等价于,解得当时,原不等式等价于,解得,所以;当时,原不等式等价于,解得;综上,原不等式的解集为;(2)即,得或,由解得,由解得,要使得的解集为,则解得,故的取值范围是.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法,着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用,属于中档题.18.(1),(2)【解析】
(1)根据与可求得,再根据等比数列的基本量求解即可.(2)由(1)可得,再利用错位相减求和即可.【详解】解:(1)依题意,,设数列的公比为q,由,可知,由,得,又,则,故,又由,得.(2)依题意.,①则,②①-②得,即,故.【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解以及错位相减求和等.属于中档题.19.(1)(2)答案不唯一,见解析【解析】
(1)由题意根据和差角的三角函数公式可得,再根据同角三角函数基本关系可得的值;(2)在中,由余弦定理可得,解方程分别由三角形面积公式可得答案.【详解】解:(1)在中,因为,又已知,所以,因为,所以,于是.所以.(2)在中,由余弦定理得,得解得或,当时,的面积,当时,的面积.【点睛】本题考查正余弦定理理解三角形,涉及三角形的面积公式和分类讨论思想,属于中档题.20.(1)28种;(2)分布见解析,.【解析】
(1)分这名女教师分别来自党员学习组与非党员学习组,可得恰好有一名女教师的选派方法数;(2)X的可能取值为,再求出X的每个取值的概率,可得X的概率分布和数学期望.【详解】解:(1)选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为种.(2)X的可能取值为0,1,2,3.,,,.故X的概率分布为:X0123P所以.【点睛】本题主要考查组合数与组合公式及离散型随机变量的期望和方差,相对不难,注意运算的准确性.21.(1)①极小值为1,无极大值.②实数k的值为1.(2)【解析】
(1)①将代入可得,求导讨论函数单调性,即得极值;②设是函数的一个“F点”(),即是的零点,那么由导数可知,且,可得,根据可得,设,由的单调性可得,即得.(2)方法一:先求的导数,存在两个不相等的“F点”,,可以由和韦达定理表示出,的关系,再由,可得的关系式,根据已知解即得.方法二:由函数存在不相等的两个“F点”和,可知,是关于x的方程组的两个相异实数根,由得,分两种情况:是函数一个“F点”,不是函数一个“F点”,进行讨论即得.【详解】解:(1)①当时,(),则有(),令得,列表如下:x10极小值故函数在处取得极小值,极小值为1,无极大值.②设是函数的一个“F点”().(),是函数的零点.,由,得,,由,得,即.设,则,所以函数在上单调增,注意到,所以方程存在唯一实根1,所以,得,根据①知,时,是函数的极小值点,所以1是函数的“F点”.综上,得实数k的值为1.(2)由(a,b,,),可得().又函数存在不相等的两个“F点”和,,是关于x的方程()的两个相异实数根.又,,,即,从而,,即..,,解得.所以,实数a的取值范围为.(2)(解法2)因为(a,b
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