2017-2018年高考真题解答题专项训练：圆锥曲线(理科)教师版

试卷第=page22页，总=sectionpages1616页试卷第=page11页，总=sectionpages1616页2017--2018年高考真题解答题专项训练：圆锥曲线（理科）教师版1．（2017.上海卷）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ:x24+y2=1，A为上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点.（1）若P在第一象限，且|OP|=2（2）设P(85,35)，若以A、（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且A求直线AQ的方程.试题分析：（1）联立Γ:x24+（2）设M(m,0)，MA⋅MPPA（3）设P(x0,y0)，线段AP的中垂线与∴Q(-32x0,-3解得x0=859，y02．（2017.新课标3卷）已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.试题解析：（1）设，.由可得，则.又，故.因此的斜率与的斜率之积为，所以.故坐标原点在圆上.（2）由（1）可得.故圆心的坐标为，圆的半径.由于圆过点，因此，故，即，由（1）可得.所以，解得或.当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.当时，直线的方程为，圆心的坐标为，圆的半径为，圆的方程为.3．（2017.浙江卷）如图，已知抛物线x2=y.点A-（I）求直线AP斜率的取值范围；（II）求PA·试题解析：（Ⅰ）设直线AP的斜率为k，k=x因为-12<x<32（Ⅱ）联立直线AP与BQ的方程kx-y+解得点Q的横坐标是xQ因为|PA|=1+k2(x+|PQ|=1+k所以PA⋅令f(k)=-(k-1)(k+1)因为f'(k)=-(4k-2)(k+1)所以f(k)在区间(-1,12)因此当k=12时，|PA|⋅|PQ|取得最大值274．（2017.北京卷）已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点．试题解析：（Ⅰ）由抛物线C：过点P（1，1），得.所以抛物线C的方程为.抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，.由，得.则，.因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.直线ON的方程为，点B的坐标为.因为，所以.故A为线段BM的中点.5．（2017.山东卷）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，焦距为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，动直线：交椭圆于两点，是椭圆上一点，直线的斜率为，且，是线段延长线上一点，且，的半径为，是的两条切线，切点分别为.求的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.试题解析：（I）由题意知，，所以，因此椭圆的方程为.（Ⅱ）设，联立方程得，由题意知，且，所以.由题意可知圆的半径为由题设知，所以因此直线的方程为.联立方程得，因此.由题意可知，而，令，则，因此，当且仅当，即时等号成立，此时，所以，因此，所以最大值为.综上所述：的最大值为，取得最大值时直线的斜率为.6．（2017新课标全国Ⅱ）设O为坐标原点，动点M在椭圆C:x22+y2=1上，过M作x（1）求点P的轨迹方程；（2）设点Q在直线x=-3上，且OP⋅PQ=1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C试题解析：解：（1）设P（x，y），M（x0,y0由NP=2NM因为M（x0,y因此点P的轨迹为x2由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则OQ=OP=由OP∙PQ=1得-3m-m2+tn-3+3m-tn=0.所以OQ∙PF=07．（2017.天津卷）设椭圆的左焦点为，右顶点为，离心率为.已知是抛物线的焦点，到抛物线的准线的距离为.（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设上两点，关于轴对称，直线与椭圆相交于点（异于点），直线与轴相交于点.若的面积为，求直线的方程.试题解析：（Ⅰ）解：设的坐标为.依题意，，，，解得，，，于是.所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为.（Ⅱ）解：设直线的方程为，与直线的方程联立，可得点，故.将与联立，消去，整理得，解得，或.由点异于点，可得点.由，可学*科.网得直线的方程为，令，解得，故.所以.又因为的面积为，故，整理得，解得，所以.所以，直线的方程为，或.8．（2017.江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为8.点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1,过点F2作直线PF2的垂线l2.（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l1，l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标.试题解析：解：（1）设椭圆的半焦距为c.因为椭圆E的离心率为，两准线之间的距离为8，所以，，解得，于是，因此椭圆E的标准方程是.（2）由（1）知，，.设，因为点为第一象限的点，故.当时，与相交于，与题设不符.当时，直线的斜率为，直线的斜率为.因为，，所以直线的斜率为，直线的斜率为，从而直线的方程：，①直线的方程：.②由①②，解得，所以.因为点在椭圆上，由对称性，得，即或.又在椭圆E上，故.由，解得；，无解.因此点P的坐标为.9．（2017.新课标1卷）已知椭圆C：x2a2+y（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.P试题解析：（1）由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知C经过P3又由1a2+1b2>1a2+因此1b2=1故C的方程为x2（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知t≠0，且|t|<2，可得A，B的坐标分别为（t，4-t22），（t则k1+k从而可设l：y=kx+m（m≠1）.将y=kx+m代入x2(4由题设可知Δ=设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-8km4k2+1，x1而k==2k由题设k1+k即(2k+1)⋅4解得k=-m+1当且仅当m>-1时，Δ>0，欲使l：y=-m+12x+m所以l过定点（2，-1）10．（2018年浙江卷）如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2=4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．（Ⅰ）设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；（Ⅱ）若P是半椭圆x2+y2详解：（Ⅰ）设P(x0,y0因为PA，PB的中点在抛物线上，所以y1，y(y+y0所以y1因此，PM垂直于y轴．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知y所以|PM|=18(因此，△PAB的面积S△PAB因为x02+因此，△PAB面积的取值范围是[6211．（2018年天津卷）设椭圆(a>b>0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的离心率为，点A的坐标为，且.（I）求椭圆的方程；（II）设直线l：与椭圆在第一象限的交点为P，且l与直线AB交于点Q.若(O为原点)，求k的值.详解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c，由已知有，又由a2=b2+c2，可得2a=3b．由已知可得，，，由，可得ab=6，从而a=3，b=2．所以，椭圆的方程为．（Ⅱ）设点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2）．由已知有y1>y2>0，故．又因为，而∠OAB=，故．由，可得5y1=9y2．由方程组消去x，可得．易知直线AB的方程为x+y–2=0，由方程组消去x，可得．由5y1=9y2，可得5（k+1）=，两边平方，整理得，解得，或．所以，k的值为或12．（2018年北京卷）已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，QM=λQO，QN=μQO，求证详解：解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．由y2=4xy=kx+1依题意Δ=(2k-4)2-4×k2又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由（I）知x1+x直线PA的方程为y–2=y-2=y令x=0，得点M的纵坐标为yM同理得点N的纵坐标为yN由QM=λQO，QN=μ所以1λ所以1λ+13．（2018年江苏卷）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点(3,12)，焦点F（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A,B两点．若△OAB的面积为267，求直线详解：解：（1）因为椭圆C的焦点为F1可设椭圆C的方程为x2a2+y所以3a2因此，椭圆C的方程为x2因为圆O的直径为F1F2（2）①设直线l与圆O相切于P(x0,所以直线l的方程为y=-x0y由x24+(4x因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，所以Δ=(-24因为x0,y因此，点P的坐标为(2②因为三角形OAB的面积为267，所以12设A(x由（*）得x1,2所以A=(1+x因为x0所以AB2=解得x02=52(x综上，直线l的方程为y=-514．（2018年新课标1卷）设椭圆C:x22+y2=1的右焦点为F，过F的直线l与C（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB.详解：（1）由已知得F(1,0)，l的方程为由已知可得，点A的坐标为(1,22)所以AM的方程为y=-22x+（2）当l与x轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以∠OMA=∠OMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y=k(x-1)(k≠0)，A(x则x1<2,x2<2由y1kMA将y=k(x-1)代入x2(2k所以，x1则2kx从而kMA+kMB=0，故MA，MB综上，∠OMA=∠OMB.15．（2018年新课标3卷）已知斜率为k的直线l与椭圆C：  x24+y23（1）证明：k<-1（2）设F为C的右焦点，P为C上一点,且FP+FA+FB=0．证明：FA详解：（1）设A(x1,两式相减，并由y1x1由题设知x1k=-3由题设得0<m<32，故（2）由题意得F(1,0)，设P((x由（1）及题设得x3又点P在C上，所以m=34，从而P(1,-3于是|FA同理|FB所以|FA故2|FP|=|FA|+|FB设该数列的公差为d，则2|d|=||FB将m=34代入①得所以l的方程为y=-x+74，代入C的方程，并整理得故x1+x2所以该数列的公差为32128或16．（2018年新课标2卷）设抛物线C：  y2=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)的直线l与C交于A（1）求l