新高考数学一轮复习 讲与练第21练 空间几何体（解析版）

第21练空间几何体学校____________姓名____________班级____________一、单选题1．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】设圆锥的母线长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则该圆锥的表面积为SKIPIF1<0.故选：C.SKIPIF1<02．一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为SKIPIF1<0，则该四棱柱的高为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】设球的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0设四棱柱的高为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0故选：C3．如图，△ABC是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中SKIPIF1<0，则以下说法正确的是（

）A．△ABC是钝角三角形 B．△ABC是等边三角形C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形【答案】C【详解】解：将其还原成原图，如图，设SKIPIF1<0，则可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是等腰直角三角形.故选：C.4．已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】因为圆柱的底面半径和高都是SKIPIF1<0，所以圆柱的侧面积SKIPIF1<0.故选：B.5．圆柱内有一个球SKIPIF1<0，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】设球SKIPIF1<0的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0故选：A6．通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm和4cm）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（

）A．SKIPIF1<0cm B．1cm C．SKIPIF1<0cm D．SKIPIF1<0cm【答案】D【详解】由已知圆台的侧面展开图为半圆环，不妨设上、下底面圆的半径分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以圆台轴截面为等腰梯形，其上、下底边的长分别为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，腰长为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0,过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,SKIPIF1<0为垂足，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0该圆台形容器的高为SKIPIF1<0，故选：D．7．在矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，沿SKIPIF1<0将四边形SKIPIF1<0折起，使SKIPIF1<0，若折起后点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都在球SKIPIF1<0的表面上，则球SKIPIF1<0的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】因为矩形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，所以四边形SKIPIF1<0和四边形SKIPIF1<0是正方形，又沿SKIPIF1<0将四边形SKIPIF1<0折起，使SKIPIF1<0，所以几何体SKIPIF1<0是正三棱柱，SKIPIF1<0，设球SKIPIF1<0的球心SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0的射影为SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0是等边三角形SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0，故选：C8．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若将SKIPIF1<0绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，作出简图：所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以旋转体的体积：SKIPIF1<0.故选：B.9．已知S，A，B，C是球O表面上的点，SKIPIF1<0平面ABC，AB⊥BC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则球O的表面积等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是球SKIPIF1<0表面上的点，所以SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的半径径为SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0表面积为SKIPIF1<0．故选：A．10．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则该正四棱锥体积的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】∵球的体积为SKIPIF1<0，所以球的半径SKIPIF1<0,设正四棱锥的底面边长为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以正四棱锥的体积SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，正四棱锥的体积SKIPIF1<0取最大值，最大值为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0,所以正四棱锥的体积SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，所以该正四棱锥体积的取值范围是SKIPIF1<0.故选：C.二、多选题11．在边长为2的菱形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，垂足为点E，以DE所在的直线为轴，其余四边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（

）A．该几何体为圆台 B．该几何体的高为SKIPIF1<0C．该几何体的表面积为SKIPIF1<0 D．该几何体的体积SKIPIF1<0【答案】BCD【详解】解：由题意可知，该几何体的结构为半个圆锥和半个圆台，该几何体的高为SKIPIF1<0，该几何体的表面积为SKIPIF1<0，体积为SKIPIF1<0.故选：BCD12．“阿基米德多面体”也称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体，已知SKIPIF1<0，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（

）A．该半正多面体的体积为SKIPIF1<0B．该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为SKIPIF1<0C．该半正多面体外接球的表面积为SKIPIF1<0D．该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E满足关系式SKIPIF1<0【答案】ABD【详解】如图，该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的.对于A，因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为：SKIPIF1<0，故正确；对于B，过A，B，C三点的截面为正六边形ABCFED，所以SKIPIF1<0，故正确.对于C，根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为SKIPIF1<0，侧棱长为2的正四棱柱的外接球，所以该半正多面体外接球的表面积SKIPIF1<0，故错误；对于D，几何体顶点数为12，有14个面，24条棱，满足SKIPIF1<0，故正确.故选：ABD13．已知正方体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，则（

）A．正方体的外接球体积为SKIPIF1<0 B．正方体的内切球表面积为SKIPIF1<0C．与SKIPIF1<0异面的棱共有4条 D．三棱锥SKIPIF1<0与三棱锥SKIPIF1<0体积相等【答案】ACD【详解】∵正方体外接球的半径SKIPIF1<0,内切球的半径SKIPIF1<0∴正方体的外接球体积为SKIPIF1<0，内切球表面积为SKIPIF1<0A正确，B不正确；与SKIPIF1<0异面的棱有SKIPIF1<0，共有4条，C正确；∵SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0与三棱锥SKIPIF1<0的高SKIPIF1<0，底面积SKIPIF1<0，故体积相等，D正确；故选：ACD．三、填空题14．将一个棱长为SKIPIF1<0的正四面体放入一个正方体的玻璃容器，若要求该正四面体能在正方体容器中自由旋转，则该正方体容器的棱长的最小值为___________.【答案】2【详解】由题若正四面体能在正方体容器中自由旋转，则当正方体最小时，其内切球是该正四面体的外接球，又由棱长为SKIPIF1<0的正四面体的外接球半径SKIPIF1<0，此时正方体的棱长为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.15．已知圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为SKIPIF1<0的球面上，圆柱底面半径为SKIPIF1<0，则该圆柱的表面积为__________．【答案】SKIPIF1<0【详解】设圆柱外接球半径为：SKIPIF1<0，圆柱的母线长为：SKIPIF1<0，由圆柱的性质得，外接球球心在上下底面圆心连线的中点处，所以外接球球心到底面的距离为圆柱母线的一半：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以圆柱的表面积为：SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.四、解答题16．已知正四棱柱SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．(1)若点SKIPIF1<0是棱SKIPIF1<0上的动点，求三棱锥SKIPIF1<0的体积．(2)求点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【解析】(1)实际上需求三棱锥SKIPIF1<0的体积．由正四棱柱，SKIPIF1<0角形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0因为P是棱SKIPIF1<0上的动点且SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0平行，则只需写出SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0间的距离即可．由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，不妨记三棱锥的高为SKIPIF1<0则三棱锥SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0(2)以D为原点，如图建立空间直角坐标系．则SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0则SKIPIF1<0不妨设SKIPIF1<0，同时设点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为d则SKIPIF1<0故点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<017