新高考数学一轮复习 讲与练第24练 空间向量及其应用（解析版）

第24练空间向量及其应用学校____________姓名____________班级____________一、单选题1．直三棱柱SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由已知得SKIPIF1<0，故选：A.2．在正方体SKIPIF1<0中O为面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0为面SKIPIF1<0的中心.若E为SKIPIF1<0中点，则异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】设正方体的边长为SKIPIF1<0，建立如图所示空间直角坐标系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：B3．已知正六棱柱SKIPIF1<0的底面边长为1，SKIPIF1<0是正六棱柱内（不含表面）的一点，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，且SKIPIF1<0，由正六边形的性质可得，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围SKIPIF1<0.故选：A.4．在四面体OABC中，E为OA中点，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：D5．在正方体SKIPIF1<0中，E，F，G分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则（

）A．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】A【详解】解：取SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点分别记为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，根据正方体的性质可得面SKIPIF1<0即为平面SKIPIF1<0，对于A：如图SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故A正确；对于B：如图SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以B错误；对于C、D：如图SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为过平面SKIPIF1<0外一点作SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）仅能作一条垂线垂直该平面，故C、D错误；其中SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0可按如下证明：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；故选：A6．如图，在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0//SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0//平面SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0【答案】B【详解】在正四棱柱SKIPIF1<0中，以点D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0的中心，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对于A，显然SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不平行，A不正确；对于B，因SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，B正确；对于C，设平面SKIPIF1<0的法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不垂直，即SKIPIF1<0不平行于平面SKIPIF1<0，C不正确；对于D，由选项C知，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不共线，即SKIPIF1<0不垂直于平面SKIPIF1<0，D不正确.故选：B7．已知直三棱柱SKIPIF1<0各棱长均相等，点D，E分别是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】设直三棱柱的棱长为1，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，点D，E分别是棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以异面直线AD与BE所成角的余弦值为SKIPIF1<0．故选：A．8．已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0（

）A．－2 B．2 C．1 D．－1【答案】B【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<02.故选：B9．如图，四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．现将SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，当二面角SKIPIF1<0处于SKIPIF1<0过程中，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】设向量SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的平面角大小为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点E，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为直线夹角范围为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的余弦值范围是SKIPIF1<0．故选：D．10．如图，已知正方体SKIPIF1<0的棱长为1，则线段SKIPIF1<0上的动点P到直线SKIPIF1<0的距离的最小值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】如图建立空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴动点P到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时取等号，即线段SKIPIF1<0上的动点P到直线SKIPIF1<0的距离的最小值为SKIPIF1<0.故选：D.二、多选题11．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示两条不同的直线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0表示两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不平行，且SKIPIF1<0，则平面SKIPIF1<0内不存在与SKIPIF1<0平行的直线B．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．存在两条异面直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】ABD【详解】对于A，若平面SKIPIF1<0内存在与SKIPIF1<0平行的直线，则SKIPIF1<0，与已知矛盾，故A正确；对于B，由线面平行的性质定理易知B正确；对于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可能平行，也可能相交，所以C错误；对于D，若SKIPIF1<0，易知D正确.故选：ABD.12．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为120°，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．17 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】BD【详解】由题意得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0故选：BD13．如图所示，在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直 B．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直C．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行 D．SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行【答案】ABC【详解】如图所示，易知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，又SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，根据向量的运算：SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0不共线，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，于是A，C正确；又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故B正确；若SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，根据平行的传递性，可知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，显然是错误的，故D错误.故选：ABC.14．在空间直角坐标系SKIPIF1<0中，已知点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0平面对称的点的坐标为SKIPIF1<0B．若平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的法向量，则平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0D．点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0【答案】ACD【详解】解：对于A：因为SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0平面对称的点的坐标为SKIPIF1<0，故A正确；对于B：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为平面SKIPIF1<0的法向量SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0不平行，故B错误；对于C：因为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的法向量，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故C正确；对于D：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，故D正确；故选：ACD三、解答题15．如图，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0分别在棱SKIPIF1<0和棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0．(1)设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值．【解析】(1)证明：取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．(2)解：因为直三棱柱SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两两垂直．分别以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方向为SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴、SKIPIF1<0轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0法向量为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得到平面SKIPIF1<0的一个法向量SKIPIF1<0．设直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角的正弦值为SKIPIF1<0．16．如图，在四棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0