新高考数学一轮复习 讲与练第29练 抛物线（解析版）

第29练抛物线学校____________姓名____________班级____________一、单选题1．抛物线SKIPIF1<0的焦点到其准线的距离是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】解：抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，所以焦点到准线的距离SKIPIF1<0；故选：A2．已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在抛物线上，SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的横坐标为（

）A．6 B．5 C．4 D．2【答案】C【详解】解：设点SKIPIF1<0的横坐标为SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0的准线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在抛物线上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：C．3．过点SKIPIF1<0，且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】解：依题意设抛物线方程为SKIPIF1<0，因为抛物线过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以抛物线方程为SKIPIF1<0；故选：C4．抛物线SKIPIF1<0上A点到焦点F的距离为SKIPIF1<0，则点A的纵坐标为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】解：由题得SKIPIF1<0，所以抛物线的准线方程为SKIPIF1<0.设点SKIPIF1<0纵坐标为SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A5．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，准线为l，点P在C上，直线PF交y轴于点Q，若SKIPIF1<0，则点P到准线l的距离为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】解：由抛物线SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，准线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线，垂足为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0到准线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0．故选：C．6．已知抛物线E:SKIPIF1<0的准线交y轴于点M，过点M作直线l交E于A，B两点，且SKIPIF1<0，则直线l的斜率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】解：抛物线SKIPIF1<0的准线为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由题意可知直线SKIPIF1<0的斜率存在，故设直线SKIPIF1<0为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B7．已知O是坐标原点，F是抛物线C：SKIPIF1<0的焦点，SKIPIF1<0是C上一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【详解】由题可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，故选：C8．已知抛物线SKIPIF1<0焦点的坐标为SKIPIF1<0，P为抛物线上的任意一点，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】因为抛物线SKIPIF1<0焦点的坐标为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．记抛物线的准线为l，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则由抛物线的定义得SKIPIF1<0，当且仅当P为BA与抛物线的交点时，等号成立．故选：A.9．已知抛物线SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是曲线W上两点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．10 B．14 C．12 D．16【答案】C【详解】设抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，则SKIPIF1<0,焦准距SKIPIF1<0,准线方程为SKIPIF1<0，根据抛物线的定义得，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，当且仅当A，F，B三点共线时等号成立，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为12，故选：C10．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上位于第一象限内的一点，若SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0点，与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0点，则与SKIPIF1<0相等的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】解：如图，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，根据抛物线的定义，得SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0．故选：B．二、多选题11．已知抛物线C：SKIPIF1<0的焦点为F，P为抛物线上一点，则下列结论正确的有（

）A．焦点F到抛物线准线的距离为2B．若SKIPIF1<0，则点P的坐标为SKIPIF1<0C．过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦长为2D．若点M的坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为4【答案】AD【详解】由抛物线的解析式知SKIPIF1<0，所以抛物线的焦点SKIPIF1<0，准线方程为SKIPIF1<0，所以焦点F到抛物线准线的距离为2，故选项A正确；设抛物线上点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则点P的坐标有两个，故选项B错误；过焦点F且垂直于x轴的直线被抛物线所截得的弦为通径，长为SKIPIF1<0，故选项C错误；由抛物线的图像及点M的位置可知，当M，P，F三点共线时，SKIPIF1<0取得最小值，即SKIPIF1<0，故选项D正确，故选；AD．12．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是抛物线上两点，则下列结论正确的是（

）A．点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0B．若直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0轴的距离为SKIPIF1<0【答案】ABD【详解】对A：因为抛物线方程为SKIPIF1<0，其焦点在SKIPIF1<0轴上，故其焦点为SKIPIF1<0，A正确；对B：显然过点SKIPIF1<0的直线斜率存在，故可设经过焦点SKIPIF1<0的直线方程为SKIPIF1<0，联立抛物线方程可得：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B正确；对C：若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点共线，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0中所得可知：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0错误；对D：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0正确.故选：SKIPIF1<0.三、解答题13．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为坐标原点）是等边三角形.(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程.(2)延长SKIPIF1<0交抛物线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，试问直线SKIPIF1<0是否恒过点SKIPIF1<0？若是，求出点SKIPIF1<0的坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)是，SKIPIF1<0【解析】(1)由题意可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故抛物线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.(2)由（1）可知SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0三点共线，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由题意可知直线SKIPIF1<0的斜率不为0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.联立SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0恒过点SKIPIF1<0.14．已知P(1，2)在抛物线C：y2＝2px上．(1)求抛物线C的方程；(2)A，B是抛物线C上的两个动点，如果直线PA的斜率与直线PB的斜率之和为2，证明：直线AB过定点．【答案】(1)y2＝4x(2)证明见解析【解析】(1)P点坐标代入抛物线方程得4＝2p，∴p＝2，∴抛物线方程为y2＝4x．(2)证明：设AB：x＝my+t，将AB的方程与y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4t＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，所以Δ＞0⇒16m2+16t＞0⇒m2+t＞0，SKIPIF1<0，同理：SKIPIF1<0，由题意：SKIPIF1<0，∴4(y1+y2+4)＝2(y1y2+2y1+2y2+4)，∴y1y2＝4，∴﹣4t＝4，∴t＝﹣1，故直线AB恒过定点(﹣1，0)．15．已知抛物线SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0与焦点SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0的纵坐标为SKIPIF1<0.(1)求抛物线SKIPIF1<0