新高考数学一轮复习 讲与练第26讲 圆的方程（解析版）

第26讲圆的方程学校____________姓名____________班级____________知识梳理1.圆的定义和圆的方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的集合方程标准(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)圆心C(a，b)半径为r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)充要条件：D2＋E2－4F＞0圆心坐标：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2.点与圆的位置关系平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：(1)|MC|＞r⇔M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔M在圆外；(2)|MC|＝r⇔M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔M在圆上；(3)|MC|＜r⇔M在圆内，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔M在圆内.考点和典型例题1、圆的方程【典例1-1】已知圆方程SKIPIF1<0的圆心为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】解：因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以圆心坐标为SKIPIF1<0；故选：C【典例1-2】当圆SKIPIF1<0的圆心到直线SKIPIF1<0的距离最大时，SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】解：因为圆SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0,半径SKIPIF1<0，又因为直线SKIPIF1<0过定点A(-1,1),故当SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直时，圆心到直线的距离最大，此时有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C.【典例1-3】过点（7，-2）且与直线SKIPIF1<0相切的半径最小的圆方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0，则以SKIPIF1<0为直径的圆为直线SKIPIF1<0相切的半径最小的圆，其中SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的中点，即圆心为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故该圆为SKIPIF1<0故选：B【典例1-4】已知直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0恒过点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作直线与圆C：SKIPIF1<0相交于A，B两点，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．4 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由SKIPIF1<0恒过SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在圆C内，要使SKIPIF1<0最小，只需圆心SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的连线与该直线垂直，所得弦长最短，由SKIPIF1<0，圆的半径为5，所以SKIPIF1<0.故选：A【典例1-5】与圆C：SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0对称的圆的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】圆C：SKIPIF1<0的圆心SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0．设点SKIPIF1<0关于直线SKIPIF1<0的对称点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以圆C关于直线SKIPIF1<0的对称圆的方程为SKIPIF1<0，故选:C．2、与圆有关的最值问题【典例2-1】已知直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0有两个不同的交点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】解：因为直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0有两个不同的交点，所以圆心到直线的距离SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故选：B.【典例2-2】已知点SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上的动点，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．6 D．5【答案】A【详解】由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选：A【典例2-3】已知SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上一个动点，且直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】解：直线SKIPIF1<0整理可得，SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0恒过SKIPIF1<0，同理可得，直线SKIPIF1<0恒过SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0和SKIPIF1<0互相垂直，SKIPIF1<0两条直线的交点SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为直径的圆上，即SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0，设该圆心为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0圆心距SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两圆相离，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．故选：B．【典例2-4】如图，P为圆O：x2+y2＝4外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，直线OP与AB相交于点Q，点M（3，SKIPIF1<0），则|MQ|的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】解：过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，由圆与切线的平面几何性质知，∠APO＝60°，又|OA|＝2，则可得|OP|＝SKIPIF1<0在直角SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴Q点的轨迹是以O为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆，方程为x2+y2＝3；|MQ|的最小值即为|OM|﹣r＝SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．故选：A．【典例2-5】已知圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是直线SKIPIF1<0上的动点，过SKIPIF1<0作圆的两条切线，切点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0化为标准方程：SKIPIF1<0，其圆心SKIPIF1<0,半径SKIPIF1<0.过点P引圆C的两条切线,切点分别为点A、B,如图：在△PAC中,有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，变形可得：SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.所以当SKIPIF1<0的值即x最小时，SKIPIF1<0的值最大，此时SKIPIF1<0最小.而SKIPIF1<0的最小值为点C到直线SKIPIF1<0的距离，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：B3、与圆有关的轨迹问题【典例3-1】正三角形OAB的边长为1，动点C满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则点C的轨迹是（

）A．线段 B．直线 C．射线 D．圆【答案】D【详解】解：方法一：由题可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以点C的轨迹是圆.方法二：由题可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0如图，以O为原点OB为x轴，过O点与OB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，所以SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0所以点C的轨迹是圆.故选：D.【典例3-2】直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交于A，B两点，O为圆心，当k变化时，求弦AB的中点M的轨迹方程．【答案】SKIPIF1<0【详解】设SKIPIF1<0，易知直线恒过定点SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0．∵点M应在圆内且不在x轴上，∴所求的轨迹为圆内的部分且不在x轴上．解方程组SKIPIF1<0得两曲线交点的横坐标为SKIPIF1<0，故所求轨迹方程为SKIPIF1<0．【典例3-3】已知圆SKIPIF1<0，直线l满足___________（从①l过点SKIPIF1<0，②l斜率为2，两个条件中，任选一个补充在上面问题中并作答），且与圆C交于A，B两点，求AB中点M的轨迹方程.【答案】条件选择见解析，答案见解析.【详解】选择条件①，设点SKIPIF1<0，令定点SKIPIF1<0为P，因直线l过点P，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C(0,0)时，则SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，此时SKIPIF1<0，等式SKIPIF1<0成立，因此有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切的切点SKIPIF1<0在圆C内，由点M在圆C内，得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以AB中点M的轨迹方程是：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0且SKIPIF1<0).选择条件②，设点SKIPIF1<0，因l斜率为2，且与圆C交于A，B两点，M为AB的中点，当直线l不过圆心C时，则SKIPIF1<0，则M的轨迹是过圆心SKIPIF1<0且垂直于l的直线在圆C内的部分（除点C外），当直线l过圆心C时，圆心C是弦AB中点，即点C在点M的轨迹上，因此，M的轨迹是过圆心SKIPIF1<0且垂直于l的直线在圆C内的部分，而过圆心SKIPIF1<0且垂直于l的直线为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，而点M在圆C内，则有SKIPIF1<0，所以AB中点M的轨迹方程是：SKIPIF1<0.【典例3-4】已知线段AB的端点B的坐标是SKIPIF1<0，端点A在圆SKIPIF1