人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册教学设计2：7 3 2　离散型随机变量的方差教案

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第三册PAGEPAGE17.3.2离散型随机变量的方差教学目标1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.3.掌握方差的性质以及两点分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．教学知识梳理知识点一离散型随机变量的方差、标准差设离散型随机变量X的分布列如表所示．Xx1x2…xnPp1p2…pn我们用X所有可能取值xi与E(X)的偏差的平方(x1－E(X))2，(x2－E(X))2，…，(xn－E(X))2，关于取值概率的加权平均，来度量随机变量X取值与其均值E(X)的偏离程度．我们称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xn－E(X))2pn＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差(variance)，有时也记为Var(X)，并称eq\r(D(X))为随机变量X的标准差(standarddeviation)，记为σ(X)．知识点二离散型随机变量方差的性质1．设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．2．D(c)＝0(其中c为常数)．题型探究探究一求离散型随机变量的方差例1.已知离散型随机变量ξ的分布列如下：ξ135P0.5m0.2则其方差D(ξ)＝______.〖答案〗2.44〖解析〗∵0.5＋m＋0.2＝1，∴m＝0.3.∴E(ξ)＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4.D(ξ)＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44.反思感悟(1)求离散型随机变量方差的步骤①理解随机变量X的意义，写出X的所有取值；②求出X取每个值的概率；③写出X的分布列；④计算E(X)；⑤计算D(X)．(2)线性关系的方差计算：若η＝aξ＋b，则D(η)＝a2D(ξ)．跟踪训练1.掷一枚质地均匀的骰子12次，则出现向上一面是3的次数的均值和方差分别是()．A．2和5B．2和eq\f(5,3) C．4和eq\f(8,3) D.eq\f(21,6)和1〖答案〗B〖解析〗由题意知变量符合二项分布，掷一次骰子相当于做一次独立重复试验，且发生的概率是eq\f(1,6)，∴E(ξ)＝12×eq\f(1,6)＝2，D(ξ)＝12×eq\f(1,6)×eq\f(5,6)＝eq\f(5,3)，故选B.探究二方差的应用例2.海关大楼顶端镶有A、B两面大钟，它们的日走时误差分别为X1、X2（单位：s），其分布列如下：X1-2-1012P0.050.050.80.050.05X2-2-1012P0.10.20.40.20.1根据这两面大钟日走时误差的均值与方差比较这两面大钟的质量.解：∵EX1=0，EX2=0，∴EX1=EX2，∵DX1=(-2-0)2×0.05+(-1-0)2×0.05+(0-0)2×0.8+(1-0)2×0.05+(2-0)2×0.05=0.5，DX2=(-2-0)2×0.1+(-1-0)2×0.2+(0-0)2×0.4+(1-0)2×0.2+(2-1)2×0.1=1.2，∴DX1＜DX2，由上可知，A面大钟的质量较好.反思感悟均值、方差在决策中的作用(1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高．(2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定．(3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断．跟踪训练2.甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等，而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的分布列分别为：甲保护区：X0123P0．30．30．20．2乙保护区：Y012P0．10．50．4试评定这两个保护区的管理水平．解：甲保护区违规次数X的数学期望和方差为E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3，D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0．3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21．乙保护区的违规次数Y的数学期望和方差为：E(Y)＝0×0.1＋1×0.5＋2×0.4＝1.3，D(Y)＝(0－1.3)2×0．1＋(1－1.3)2×0．5＋(2－1.3)2×0.4＝0.41．因为E(X)＝E(Y)，D(X)＞D(Y)，所以两个保护区内每个季度发生的违规事件的平均次数相同，但甲保护区的违规事件次数相对分散和波动，乙保护区内的违规事件次数更加集中和稳定．探究三分布列、均值、方差的综合应用例3.有三张形状、大小、质地完全相同的卡片，在各卡片上分别写上0,1,2，现从中任意抽取一张，将其上数字记作x，然后放回，再抽取一张，其上数字记作y，令X＝xy，求：(1)X所取各值的分布列；(2)随机变量X的均值与方差．解：(1)由题意知，随机变量X的可能取值为0,1,2,4.“X＝0”是指两次取的卡片上至少有一次为0，其概率为P(X＝0)＝1－eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(5,9)，“X＝1”是指两次取的卡片上都标着1，其概率为P(X＝1)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9)，“X＝2”是指两次取的卡片上一个标着1，另一个标着2，其概率为P(X＝2)＝2×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,9)，“X＝4”是指两次取的卡片上都标着2，其概率为P(X＝4)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9).则X的分布列为X0124Peq\f(5,9)eq\f(1,9)eq\f(2,9)eq\f(1,9)(2)E(X)＝0×eq\f(5,9)＋1×eq\f(1,9)＋2×eq\f(2,9)＋4×eq\f(1,9)＝1，D(X)＝(0－1)2×eq\f(5,9)＋(1－1)2×eq\f(1,9)＋(2－1)2×eq\f(2,9)＋(4－1)2×eq\f(1,9)＝eq\f(16,9).反思感悟处理综合问题的方法第一步：确定事件间的关系，是互斥、对立还是相互独立．第二步：要依据事件间的关系，选择相应的概率公式，计算相应事件的概率．第三步：列分布列，并计算均值及方差．跟踪训练3.甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮；第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为eq\f(1,3)，eq\f(3,4).(1)求第三次由乙投篮的概率；(2)在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的分布列、均值及标准差．解：(1)P＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(13,18).(2)由题意，得X的所有可能取值为0,1,2，P(X＝0)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9).P(X＝1)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(7,18)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,4)＝eq\f(1,2).故X的分布列为X012Peq\f(1,9)eq\f(7,18)eq\f(1,2)E(X)＝0×eq\f(1,9)＋1×eq\f(7,18)＋2×eq\f(1,2)＝eq\f(25,18)，D(X)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(25,18)))2×eq\f(1,9)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(25,18)))2×eq\f(7,18)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(25,18)))2×eq\f(1,2)＝eq\f(149,324).∴σ(X)＝eq\r(D(X))＝eq\f(\r(149),18).课堂小结1．知识清单：(1)离散型随机变量的方差、标准差．(2)离散型随机变量的方差的性质．2．方法归纳：转化化归．3．常见误区：方差公式套用错误．当堂检测1.已知随机变量ξ的分布列为ξmnPeq\f(1,3)a若E(ξ)＝2，则D(ξ)的最小值等于()A．0B．2C．4D．无法计算〖答案〗D〖解析〗由题意得a＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，所以E(ξ)＝eq\f(1,3)m＋eq\f(2,3)n＝2，即m＋2n＝6.又D(ξ)＝eq\f(1,3)×(m－2)2＋eq\f(2,3)×(n－2)2＝2(n－2)2，当n＝2时，D(ξ)取得最小值，此时m＝2，不符合题意，故D(ξ)无法取得最小值．2.若X是离散型随机变量，P(X＝x1)＝eq\f(2,3)，P(X＝x2)＝eq\f(1,3)，且x1<x2，又已知E(X)＝eq\f(4,3)，D(X)＝eq\f(2,9)，则x1＋x2的值为________．〖答案〗3〖解析〗由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1·\f(2,3)＋x2·\f(1,3)＝\f(4,3)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(4,3)))2·\f(2,3)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(4,3)))2·\f(1,3)＝\f(2,9)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x1＋x2＝4，,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1－\f(4,3)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(4,3)))2＝\f(2,3)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝\f(5,3)，,x2＝\f(2,3)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝2，))又x1<x2，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝1，,x2＝2，))所以x1＋x2＝3.3.编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E(ξ)＝________，D(ξ)＝________.〖答案〗11〖解析〗ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了编号为2,3,1或3,1,2的学生，则P(ξ＝0)＝eq\f(2,A\o\al(3,3))＝eq\f(1,3)；ξ＝1表示三位同学只有1位同学坐对了，则P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3),A\o\al(3,3))＝eq\f(1,2)；ξ＝3表示三位同学全坐对了，即对号入座，则P(ξ＝3)＝eq\f(1,A\o\al(3,3))＝eq\f(1,6).所以ξ的分布列为ξ013Peq\f(1,3)eq\f(1,2)eq\f(1,6)E(ξ)＝0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,2)＋3×eq\f(1,6)＝1.D(ξ)＝eq\f(1,3)×(0－1)2＋eq\f(1,2)×(1－1)2＋eq\f(1,6)×(3－1)2＝1.4.A，B两个投资项目的利润率分别为随机变量X1和X2，根据市场分析，X1和X2的分布列分别如下表：X15%10%P0.80.2X22%8%12%P0.20.50.3(1)在A，B两个投资项目上各投资100万元，Y1和Y2分别表示投资项目A和B所获得的利润，求方差D(Y1)，D(Y2)；(2)将x(0≤x≤100)万元投资项目A，(100－x)万元投资项目B，f(x)表示投资项目A所得利润的方差与投资项目B所得利润的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x为何值时，f(x)取得最小值．解：(1)根据题意，知Y1和Y2的分布列分别如下表：Y1510P0.80.2Y22812P0.20.50.3从而E(Y1)＝5×0.8＋10×0.2＝6，D(Y1)＝(5－6)2×0.8＋(10－6)2×0.2＝4，E(Y2)＝2×0.2＋8×0.5＋12×0.3＝8，D(Y2)＝(2－8)2×0.2＋(8－8)2×0.5＋(12－8)2×0.3＝12.(2)f(x)＝Deq\b\lc\(\rc\)(\a\v