人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册第五章 一元函数的导数及其应用章末复习课

人教A版(新教材)高中数学选择性必修第二册PAGEPAGE1章末复习课〖知识系统整合〗〖规律方法收藏〗1．导数的概念，要注意结合实例理解概念的实质，利用导数的几何意义求曲线的切线方程，要注意当切线平行于y轴时，导数不存在，此时的切线方程为x＝x0.2．利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数，熟记基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变形是优化解题过程的关键．3．对复合函数的求导，关键在于选取合适的中间变量，弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆，最后要把中间变量换成自变量的函数．复合函数的导数(高考要求f(ax＋b)的形式的)，在学习的过程中不要无限制地拔高．4．利用导数判断函数的单调性应注意的几点(1)确定函数的定义域，解决问题的过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．(2)在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的不连续点或不可导点．(3)f′(x)>0是函数f(x)为增函数的充分不必要条件，因为当f(x)在(a，b)上为增函数时，f′(x)≥0，如f(x)＝x3.由于f′(x)≥0时，f′(x)可能恒为0，则f(x)为常函数，所以由f′(x)≥0不能得到f(x)为增函数．因此，课本上关于单调性的结论在解题时要注意，它并非充要条件．5．利用导数研究函数的极值应注意的几点(1)可导函数f(x)在点x0取得极值的充分必要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧，f′(x)的符号不同，f′(x0)＝0是x0为极值点的必要非充分条件．(2)极值点也可以是不可导的，如函数f(x)＝|x|在极小值点x0＝0处不可导．(3)求一个可导函数的极值时，常常把使f′(x0)＝0的点x0附近的函数值的变化情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了然．6．极值与最值的区别(1)函数的极值是在局部范围内讨论问题，是一个局部概念，而函数的最值是对整个定义区间而言，是在整体范围内讨论问题，是一个整体性概念．(2)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有极值．7．导数的实际应用利用导数研究实际问题的最值的关键在于建立数学模型，因此要认真审题，分析各个量的关系，列出函数式y＝f(x)，然后利用导数求出函数f(x)的最值，求函数f(x)的最值时，若f(x)在区间(a，b)上只有一个极值点，要根据实际意义判断是最大值还是最小值，不必再与端点的函数值比较．8．可导函数的图象的陡峭程度与|f′(x)|有关，即|f′(x0)|越大，图象在x＝x0处的图象越陡峭，否则越平缓．9．用导数解题的步骤(1)确定y＝f(x)的定义域；(2)求导、化简导函数、令f′(x)＝0得导函数的零点(特别地，当f′(x)＝0无解或解是定义域区间的端点时，要么f′(x)≥0，要么f′(x)≤0)；(3)列表、计算、判断(通常可先作出导函数f′(x)的图象再作出f(x)的图象来判断)．10．导数在解题的几个应用(1)求曲线的切线方程，步骤为设出切点坐标，并用切点坐标写出切线的点斜式方程(过某点作曲线的切线不一定只有一条)；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的极值、最值；(4)由含参数的不等式恒成立或有解求参数的范围；(5)证明不等式；(6)作出复合函数图象或联合零点存在定理判断函数零点的个数．〖学科思想培优〗一、导数几何意义的应用利用导数求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程时，应注意：(1)判断点P(x0，y0)是否在曲线y＝f(x)上；(2)(ⅰ)若点P(x0，y0)为切点，则曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率为f′(x0)，切线的方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)；(ⅱ)若点P(x0，y0)不是切点，则设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，①又y1＝f(x1)，②由①②求出x1，y1的值．即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．〖典例1〗设曲线C：y＝x3－3x和直线x＝a(a>0)的交点为P，过P点的曲线C的切线与x轴交于点Q(－a,0)，求a的值．〖规律方法〗要求a的值，需利用导数的几何意义写出过P点的曲线C的切线方程，求出该切线与x轴的交点，通过列方程求解．本题主要考查导数的几何意义，要注意条件a>0.二、求函数的单调区间准确求出导函数并在函数的定义域内准确的解不等式f′(x)>0或f′(x)<0是求函数单调区间的基础，如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个，这些单调区间不能用“∪”“或”连接，而只能用逗号“，”或者“和”字隔开．〖典例2〗已知实数a≠0，函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)有极大值32.(1)求实数a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．〖规律方法〗利用导数研究函数的单调性是高考中最常见的考查方式，对函数性质的研究涉及到方方面面，涉及方法思想较多，数形结合思想、分类讨论思想、逆向思维等等．三、求函数的极值与最值设f(x)是在闭区间〖a，b〗上连续，在开区间(a，b)内可导的函数，则求f(x)在闭区间〖a，b〗上最值的步骤如下：(1)求f′(x)＝0在区间(a，b)内的根，即导数为0的点．导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y′的符号，若左正右负，则该点为极大值点．若左负右正，则该点为极小值点．若符号相同，则为非极值点．求出这些导数为0的点的函数值；(2)求f(x)在闭区间〖a，b〗两端点处的函数值，即f(a)与f(b)；(3)将导数为0的函数值与两端点处的函数值进行比较，其中最大的一个即为最大值，最小的一个即为最小值．〖典例3〗已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在x＝－1时取极小值，x＝eq\f(2,3)时取极大值．(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在〖－2,1〗上的最大值与最小值．〖规律方法〗一般地，对于“双峰”函数(只有一个极大值和一个极小值的函数)，当函数f(x)的极大值小于零或函数f(x)的极小值大于零时，图象与x轴仅有一个交点．四、恒成立问题〖典例4〗已知f(x)＝x3－eq\f(1,2)x2－2x＋5，当x∈〖－1，2〗时，f(x)<m恒成立，求实数m的取值范围．〖规律方法〗本题中要使m>f(x)恒成立，只要m大于f(x)的最大值即可，从而求出f(x)的最大值，问题就可得到解决，若将本题中“f(x)<m恒成立”改为“f(x)>m恒成立”，则只需求出f(x)的最小值即可．五、利用导数证明不等式对于某些不等式的证明，常常通过构造函数，利用导数的性质讨论函数的单调性进行证明．这种构造转换的过程与方法，体现了深刻的化归思想．〖典例5〗已知函数f(x)＝eq\f(1,2)x2－alnx(a∈R)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求证：当x>1时，eq\f(1,2)x2＋lnx<eq\f(2,3)x3.〖规律方法〗“构造”是一种重要而灵活的思维方式，应用好构造思想解题的关键是：一要有明确的方向，即为什么目的而构造；二是要弄清条件的本质特点，以便重新进行逻辑组合．六、利用导数解决实际问题利用导数求函数的极大(小)值，求函数在区间〖a，b〗上的最大(小)值或利用求导法解决一些实际问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂的问题简单化，因而已逐渐成为高考的又一新热点．利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考察，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．〖典例6〗两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和，记C点到城A的距离为xkm，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y.统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065.(1)将y表示成x的函数；(2)讨论(1)中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．〖规律方法〗在利用导数解决这类优化问题时，其一般步骤是(1)设出恰当的未知量，并确定未知量的取值范围(即函数定义域)；(2)依题意将所求最值的量表示为未知量的函数；(3)求出函数的导数，令导数等于0，得到导数为0的点；(4)通过单调性确定出函数的最值点以及最值．

▁▃▅▇█参*考*答*案█▇▅▃▁〖学科思想培优〗一、导数几何意义的应用〖典例1〗〖解〗依题意eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x3－3x，,x＝a，))解得P(a，a3－3a)，y′＝3x2－3，所以过P点的曲线C的切线方程为y－(a3－3a)＝(3a2－3)(x－a)．令y＝0得切线与x轴的交点为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2a3,3a2－3)，0))，则有eq\f(2a3,3a2－3)＝－a，解得a＝±eq\f(\r(15),5).由已知，知a>0，所以a的值为eq\f(\r(15),5).二、求函数的单调区间〖典例2〗〖解〗(1)f(x)＝ax3－4ax2＋4ax，所以f′(x)＝3ax2－8ax＋4a＝a(3x－2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝eq\f(2,3)或x＝2.因为f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)有极大值32，而当x＝2时，f(2)＝0，所以当x＝eq\f(2,3)时，f(x)有极大值32.即eq\f(2,3)aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－2))2＝32，解得a＝27，经检验知符合题意，故a＝27.(2)由(1)得f′(x)＝27(3x－2)(x－2)，由f′(x)>0，得x>2或x<eq\f(2,3)，所以函数f(x)的单调增区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(2,3)))和(2，＋∞)．由f′(x)<0，得eq\f(2,3)<x<2，所以函数f(x)的单调减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2)).三、求函数的极值与最值〖典例3〗〖解〗(1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b.因为x＝－1，x＝eq\f(2,3)分别是函数f(x)的极小值点、极大值点，所以－1，eq\f(2,3)为方程－3x2＋2ax＋b＝0的两个根．所以eq\f(2,3)a＝－1＋eq\f(2,3)，－eq\f(b,3)＝(－1)×eq\f(2,3).于是a＝－eq\f(1,2)，b＝2，经检验知符合题意，则f(x)＝－x3－eq\f(1,2)x2＋2x，f′(x)＝－3x2－x＋2，当x＝－2时，f(－2)＝2，f′(－2)＝－8，故所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)，即为8x＋y＋14＝0.(2)x在变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x－2(－2，－1)－1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,3)))eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，1))1f′(x)－0＋0－f(x)2↘－eq\f(3,2)↗eq\f(22,27)↘eq\f(1,2)则f(x)在〖－2,1〗上的最大值为2，最小值为－eq\f(3,2).四、恒成立问题〖典例4〗〖解〗因为f(x)＝x3－eq\f(1,2)x2－2x＋5，所以f′(x)＝3x2－x－2.令f′(x)＝0，即3x2－x－2＝0，解得x＝1或x＝－eq\f(2,3).当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(2,3)))时，f′(x)>0，f(x)为增函数；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，1))时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当x∈(1,2)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．所以当x＝－eq\f(2,3)时，f(x)取得极大值feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝5＋eq\f(22,27)；当x＝1时，f(x)取得极小值f(1)＝eq\f(7,2).又f(－1)＝eq\f(11,2)，f(2)＝7，因此，f(x)在〖－1,2〗上的最大值为f(2)＝7.要使f(x)<m恒成立，须f(x)max<m，即m>7.所以所求实数m的取值范围是(7，＋∞)．五、利用导数证明不等式〖典例5〗〖解〗(1)f′(x)＝x－eq\f(a,x)＝eq\f(x2－a,x)，f(x)的定义域为(0，＋∞)，当a≤0时，f′(x)>0恒成立，∴函数f(x)的单调增区间为(0，＋∞)；当a>0时，令f′(x)>0，又x∈(0，＋∞)，得x>eq\r(a)，令f′(x)<0，结合x∈(0，＋∞)，得0<x<eq\r(a)，∴函数f(x)的单调增区间为(eq\r(a)，＋∞)，单调减区间为(0，eq\r(a))．(2)证明：设F(x)＝eq\f(2,3)x3－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋lnx))，故F′(x)＝