《通信系统原理》课件第9章

9.1引言

9.2二元假设检验和各种判决准则

9.3多次测量

9.4二元确知信号的最佳接收

思考题

习题

第9章数字信号的最佳接收9.1引言前面几章在研究抗噪声干扰的性能时，基本上都是针对各种常用信号所采用的实际接收方法进行的，本章将在此基础上进一步讨论最佳接收问题。具体来说，要研究存在噪声干扰时的最佳接收机结构及其抗噪声干扰性能。所谓最佳接收并不是一个绝对概念，而是在一定条件下，针对某一种信号，按照某一个判决准则得到的最佳接收方式。由于准则和信号的不同，因而将有各种不同结构和性能的最佳接收机。最佳接收理论主要研究假设检验和参数估值两方面的问题，前者研究如何从噪声中判决有用信号是否出现，后者研究从噪声中测量有用信号的参数。本章只讨论前者，而且仅限于数字信号的假设检验，即数字信号的最佳接收问题。在数字通信系统中，发射机要从几个可能的波形中每次选出一个传送给接收机，这些波形在传输媒质中将不可避免地遭受到某些畸变，而接收机噪声又进一步加剧了这种畸变，其结果是，在接收端无法判别发射的是哪个波形。因此，接收机必须根据含有噪声的观测结果，用统计的方法判决出接收到的是哪一个波形，并且尽量减少判决的错误。由于信道噪声是随机过程，同时信号本身也带有不确定的参量，因此在分析计算数字信号接收时只能用数理统计的方法处理。根据信号和噪声所提供的统计特性，并且按照某种判决规则，使接收机获得正确判决的概率最大，或者错误判决的概率最小。本章首先简要介绍各种判决准则，然后讨论数字信号的最佳接收。9.2二元假设检验和各种判决准则假设检验是数理统计中的一个重要工具。在假设检验中，必须做出哪一个假设是正确的判决。如果信源有两种假设，则为二元检测问题。我们用H0和H1表示两种可能的假设，H0称为零假设，H1称为备择假设。在更一般的情况下，信源有M种假设，用H0，H1，…，HM-1表示，称为M元检测问题。现在以二元通信系统为例，说明信号检测的基本原理，如图9.1所示。

图9.1二元通信系统假设H1表示信号s1(t)存在，H0表示信号s0(t)存在。信号s1(t)和s0(t)是持续时间为T的确知基带信号或者频带信号。信号通过信道传输时，难免混入噪声，假定混入的是加性噪声n(t)，则接收端收到的信号x(t)是信号与噪声之和，即假设为H1时，接收信号为x(t)=s1(t)+n(t)0≤t≤T假设为H0时，接收信号为x(t)=s0(t)+n(t)0≤t≤T

图9.1所示的二元通信系统中，在0~T时间内对接收信号x(t)进行一次观测，并让接收机根据观测数据和判决准则做出哪一个信号存在的判决。如果判决为D1，则表示假设H1存在；如果判决为D0，则表示假设H0存在。为了便于说明，假定s1(t)=1，s0(t)=-1，并且在t=t0时刻进行一次观察，则接收信号在

假设为H1时，x(t0)=1+n(t0)

(9.1)假设为H0时，x(t0)=-1+n(t0)

(9.2)设n(t0)是均值为零、方差为

的高斯随机变量。在假设为H1时，x(t0)是均值为1、方差为

的高斯随机变量，用条件概率密度函数表示，可以写成

(9.3)在假设为H0时，x(t0)是均值为-1、方差为

的高斯随机变量，用条件概率密度函数表示，可以写成

(9.4)

f(x|H1)和f(x|H0)称为似然函数。由于n(t0)是高斯随机变量，因此不管假设是H1还是H0，接收信号的一次观测值x(t0)分布在(-∞，∞)的实数轴上。x(t0)的取值范围称为观测空间z，我们的任务是如何将观测空间z划分为z0和z1两部分，使正确判决的概率最大，错误判决的概率最小。这当然和信号、噪声的统计特性及判决准则有关。假定已经找到判决点x0，如图9.2所示，把x≥x0的部分划为z1判决域，把x<x0的部分划为z0判决域，根据两种假设H1和H0，两种检验结果D1和D0，必有四种可能情况：第1种：假设为H0，检验结果为D0第2种：假设为H0，检验结果为D1第3种：假设为H1，检验结果为D0第4种：假设为H1，检验结果为D1

图9.2一次观测的似然函数及判决域第1、4两种表示正确的判决结果，第2、3两种表示不正确的判决结果，分别用P(D0|H0)、P(D1|H0)、P(D0|H1)和P(D1|H1)表示它的条件概率，即

(9.5)由此可见，二元检测产生两类错误：第1类错误是将假设H0错判成D1，其概率用P(D1|H0)表示；第2类错误是将假设H1错判成D0，其概率用P(D0|H1)表示。在二进制通信系统中，通常将P(D1|H0)称为虚报概率，而将P(D0|H1)称为漏报概率。在雷达系统中，通常将P(D1|H0)称为虚警概率，而将1-P(D0|H1)称为检测概率。因为在双择一检测问题中，有

(9.6)

因此检测概率就是P(D1|H1)。由于两种假设H1和H0的出现是随机的，它们的概率(又称先验概率)分别用P(H1)和P(H0)表示，因此由上述两类错误带来的平均错误概率为Pe=P(H1)P(D0|H1)+P(H0)P(D1|H0)

(9.7)因为P(H1)=1-P(H0)，所以也可以表示为

Pe=P(H1)P(D0|H1)+［1-P(H1)］P(D1|H0)

(9.8)

当H1和H0

等概出现时，P(H1)=P(H0)=1/2，因此

(9.9)如果在［0，T］时间内对接收信号x(t)进行N次抽样，则称为多次观测。设各抽样点之间相互独立，接收信号x(t)的N维空间矢量用X表示，则当假设为H1时，接收信号N维空间矢量X的概率密度函数为f(X|H1)=f(x1x2…xN|H1)=f(x1|H1)f(x2|H1x1)…f(xN|H1x1x2…xN–1)

=f(x1|H1)f(x2|H1)…f(xN|H1)=

(9.10)当假设为H0时，接收信号N维空间矢量X的概率密度函数为

f(X|H0)=f(x1x2…xN|H0)=

(9.11)通常把N维矢量空间称做观测空间。图9.3是信号统计检测的模型。由于信道噪声的影响，使得在假设H1或H0时，观测空间内的X是随机变动的，接收机需要根据不同的判决规则将观测空间划分为两个判决域z0和z1。一旦判决域确定后，由于在观测空间内的节点是随机变动的，因此就有可能产生错误。例如，假设为H0时，X落到z1的判决域，就要产生第一类错误，它的概率为

(9.12)

图9.3信号检测模型假设为H1时，X落到z0的判决域内，就要产生第二类错误，其概率为

(9.13)

知道虚报概率P(D1|H0)和漏报概率P(D0|H1)及先验概率P(H0)和P(H1)后，代入式(9.7)。就可以得到系统的平均错误概率。由此可见，接收机的质量最终归结为判决区域是否划分得正确，它要根据不同的判决准则来确定。对于不同的信号检测系统往往采用不同的判决准则，因此有必要先研究一下各种判决准则。一般说来，判决准则的选择与信号检测系统的具体要求有关，它决定于信号的先验概率、不同的代价函数以及最佳接收机的组成原则等因素。常用的判决准则有最小平均风险准则、安全平均风险准则、最大检测概率准则、最小错误概率准则、最大似然函数准则、最大后验概率准则等。在数字通信系统中主要研究最小错误概率准则。但是，最小平均风险准则是各种准则的基础，因此首先对其加以介绍。9.2.1最小平均风险准则(贝叶斯准则)在双择一检测问题中，如果假设H0和H1的先验概率为已知，接收机每次做出的判决不管是正确的还是错误的假定，都要付出代价，并用Cij表示，其中i表示检验结果，j表示原来的假设，那么，在双择一检测问题中检验后的平均风险可写成

=C00P(D0H0)+C10P(D1H0)+C01P(D0H1)+C11P(D1H1)

(9.14)其中:

P(D0H0)表示假设为H0，判决为D0的联合概率；

P(D1H0)表示假设为H0，判决为D1的联合概率；

P(D0H1)表示假设为H1，判决为D0的联合概率；

P(D1H1)表示假设为H1，判决为D1的联合概率；

C00表示假设为H0，判决为D0所付出的代价；

C10表示假设为H0，判决为D1所付出的代价；

C01表示假设为H1，判决为D0所付出的代价；

C11表示假设为H1，判决为D1所付出的代价。应用贝叶斯公式，有

P(DiHj)=P(Hj)P(Di|Hj)

(9.15)=C00P(H0)P(D0|H0)+C10P(H0)P(D1|H0)+C01P(H1)P(D0|H1)+C11P(H1)P(D1|H1)

(9.16)设在一次观测情况下，已知条件概率密度函数f(x|H1)和f(x|H0)，如图9.2所示。我们可先任意选择判决点x0，求出此时的平均风险，然后对x0求导，并令d/dx0=0，可以得到

=

min的判决点，即x0=xB。下面求xB。任选判决点x0，将式(9.5)代入式(9.16)可以得到

(9.17)当Cij

、P(Hi)及f(x|Hi)已知时，显然和x0的选择有关，令d/dx0=0，即解得x0=xB，即为贝叶斯门限，于是(9.18)用xB代替式(9.17)中的积分上(下)限x0，就可以得到最小风险(即贝叶斯风险)：

(9.19)由于式(9.18)左边是似然函数的比值，因此λB称为似然比门限。贝叶斯判决准则可以写成

(9.20)

由于λ(x)和λB都是正数，因而也可用对数表示为(9.21)

将式(9.17)写成另一种形式也可以找出判决准则，即

(9.22)由于式(9.22)右边的第1项和第2项是正数，要想使较小，则希望第3项提供负值。我们把使被积函数为负值的所有x划分在z0，而把使被积函数为正值的所有x划分在z1域，就可以得到贝叶斯判决准则

(9.23)经整理得到(9.24)这和式(9.20)一致。贝叶斯门限xB

可以从λ(xB)=λB得到。贝叶斯风险就是最小平均风险，利用“否定法”可以证明。如果是N次观测，那么仍将观测空间划分为z0和z1两个判决域，所不同的只是现在的观测空间是N维的。这时

(9.25)和一维观测方法相似，将式(9.25)代入式(9.16)，求出并令d/dX=0，即可求得N维观测时的贝叶斯判决准则

(9.26)或者用对数表示为(9.27)

贝叶斯准则是应用最广泛的判决准则之一。9.2.2错误概率最小准则(理想观测者准则)

在通信系统中，经常采用贝叶斯准则的一种特例，即假定C00=C11=0和C10=C01=1，这说明，对于通信系统来说，正确的判决结果不必付出代价，而错误的判决结果应付出相同的代价，亦即它将虚报错误和漏报错误所造成的后果看做是相等的。因此，将这些特定条件代入式(9.16)式后，可以得到Pe=

=P(H0)P(D1|H0)+P(H1)P(D0|H1)

(9.28)这里将平均风险用错误概率Pe来代替，它由虚报和漏报两类错误的平均值所组成。判决门限x0是任意的。如果知道码元的先验概率P(H0)和P(H1)，可以用贝叶斯准则找到贝叶斯门限似然比λB=［f(x|H1)］/［f(x|H0)］=P(H0)/P(H1)，从而求出贝叶斯判决门限xB，此时得到的平均风险为最小的平均风险(或误码率)。相应地有这就是前面几章已经用过多次的误码率计算公式，只是有些符号不同而已。

例1

已知C11=C00=0，C10=C01=1，假设H1为真时，接收信号幅度S1=1，H0为真时，接收信号幅度S0=-1，加性噪声是均值为0、方差σ2=1的高斯噪声，P(H0)=0.4，P(H1)=0.6。求误码率。

解利用贝叶斯准则，λB=P(H0)/P(H1)=2/3，判决门限为9.3多次测量前面讨论了二元判决准则，并且根据一个观测样本计算了它们的检测性能。从直观上想象，对于幅度恒定而叠加了白高斯噪声的信号进行N次观测，可以得到N个独立的样本，根据N个独立样本进行各种准则的检测，其检测性能一定比单个样本的检测的性能优越。设X=(x1，x2，…，xN)是N维向量空间中的一个点，则当H1为真时，f(X|H1)=f(x1，x2,…，xN|H1)；当H0为真时，f(X|H0)=f(x1，x2，…，xN|H0)。它们的似然函数比为

(9.29)判决准则为(9.30)其中λ0为似然比门限，它由各种判决准则确定。当判决准则为错误概率最小准则时，有

(9.31)下面通过一个例子来求多次测量时的误码率。

例2

设接收信号的N个观测样本为{x1，x2，…，xN}，在每一种假设下，这些观测样本都是独立、同分布的高斯随机变量，当假设为H1时，随机变量的均值为S1、方差为

；当假设为H0时，随机变量的均值为S0、方差为。求最小错误概率准则下的接收性能。

解因为

(9.32)

(9.33)所以

(9.34)为了计算简便，将上式两边取对数，并把与观测样本xk有关的放在一边，则得到(9.35)把作为检验统计量，或者将两边除以N，得到另一形式的表示式

(9.36)是观测样本的均值，它是一个随机变量；是与似然比门限有关的一个常量。接收机的判决准则为

(9.37)

接收机的结构如图9.4所示。图9.4二元确知信号最佳接收机接收机的检测性能取作为检验统计量。因为假设为H1时，xk=S1+nk；假设为H0时，xk=S0+nk。在观测期间设S1、S0不变，而nk为高斯随机变量，因此xk也是高斯随机变量。N个高斯随机变量之和仍然是高斯随机变量，所以y是高斯随机变量。只要求出y的均值和方差就可以得到y的概率密度函数。下面求y的条件概率密度函数，在假设为H1条件下，得到

(9.38)(9.39)同样，在假设为H0条件下，得到(9.40)于是，y的条件概率密度函数分别为

(9.41)

(9.42)将式(9.42)代入式(9.5)，得到虚报概率:如果S0=0，S1=1，=1，P(H0)=P(H1)=0.5，则可以算得最小错误概率准则下的似然比门限λ0=1，相应的d=0.5，此时接收机的最小错误概率

(9.43)

当N=1时，Pe=0.31；N=2时，Pe=0.24；N=10时，Pe=0.057；N=100时，Pe=3×10-7。显然N越大，Pe越小。9.4二元确知信号的最佳接收我们把二元确知信号的最佳接收作为二元假设检验的实际应用。所谓确知信号，就是指信号的全部参量或波形是已知的。例如对于正弦波信号，它的幅度、频率、相位及到达的时间等都是已知的。这里讨论的是根据假设条件和判决准则给出的最佳接收机的结构，计算它的误码率。9.4.1最佳接收机结构这里讨论二元确知信号在高斯白噪声中的检测，当 假设为H0时，x(t)=S0(t)+n(t)0≤t≤T

假设为H1时，x(t)=S1(t)+n(t)0≤t≤T式中S0(t)和S1(t)可以是基带信号，例如S0(t)=S0=常数，S1(t)=S1=常数；也可以是频带信号，例如S0(t)和S1(t)是已调信号。按照抽样定理对S0(t)和S1(t)进行抽样，每次抽样值是不同的，分别记作S0k和S1k。当在0~T时间内进行N次抽样时，得到似然函数比为(9.44)为了对连续波形进行检测，可以假定在T=N(Δt)保持不变的条件下使Δt→0和N→∞，其中Δt是取样的间隔，T是码元宽度，同时因为信道带宽B=1/(2Δt)，所以在Δt→0时相当于B→∞，这是理想信道的情况。此时噪声功率

=n0B=n0/(2Δt)，其中n0是单边噪声功率谱密度。在这些条件下可以得到极限值

(9.45)同理可得(9.46)(9.47)(9.48)将上述4式代入式(9.44)并且取对数后可以写成(9.49)现在假定判决门限似然比为λ0，因此根据判决规则可以写成

(9.50)或者

(9.51)其中

(9.52)是判决门限电平。它除了与信号和噪声的参数有关外，主要由选用的判决准则来决定，后者确定门限自然比λ0的值。当采用最小错误概率判决准则，且1、0码等概出现时，λ0=1，lnλ0=0。当1、0码信号的能量相等时(例如2PSK、2FSK信号)，有由此可知，对于等概等能量信号用最小错误概率判决准则时，VT=0。由此可以建立二进制通信系统的最佳接收机模型，如图9.5所示，其中图9.5(a)为一般形式，图9.5(b)为等概等能量时的形式。图9.5二元通信系统的最佳接收机由图9.5可见，二元通信系统的最佳接收机是由两路相关器(包括相乘器和积分器)、比较器和判决器等组成的，因此通常称为相关接收机。在第3章已经提到，相关器的一种等效形式是匹配滤波器，因此二元通信系统的最佳接收机又可用图9.6来替代。图9.6用匹配滤波器实现的最佳接收机9.4.2最佳接收机的检测性能现在来计算通信系统最佳接收机的检测性能，它可用平均错误概率Pe来表示，这里不需要考虑代价问题，因此可以确定门限似然比为假定为统计检验量，则在假设H0条件下，x(t)=S0(t)+n(t)，因此

(9.53)其中

(9.54)是信号能量，而

(9.55)是互相关系数。因为n(t)是高斯过程，其他均为确知量，所以这里v也是高斯变量，可以用均值和方差来描述它的概率密度，在假设H0条件下，v的条件概率密度为

(9.56)其中均值为

(9.57)方差为

(9.58)

由于白噪声的相关函数是冲激函数，即(9.59)因此代入式(9.58)后可以得到

(9.60)将式(9.57)和式(9.60)代回式(9.56)后得到

(9.61)由它可以求出虚报概率为

(9.62)式中新的变量为

(9.63)相应的积分下限为

(9.64)将式(9.52)代入后得到

(9.65)采用同样方法，可以求出在假设H1条件下的条件概率密度为

(9.66)其中均值为，方差

，因此漏报概率为

(9.67)式中新变量为

(9.68)而积分上限为

(9.69)包括虚报和漏报在内的平均错误概率为

(9.70)在等概的情况下，P(H0)=P(H1)=1/2，则有λ0=1，lnλ0=0，因此此时平均错误概率为

(9.71)

将式(9.71)画成图9.7所示曲线，同时画出P(S1)/P(S2)等于10或0.1情况下的曲线，以资比较。图9.7Pe与的关系曲线(图中横坐标为)由图9.7可见，先验概率相等属于最不利的情况，当P(S0)≠P(S1)时，可以稍微降低错误概率。通常在不知道先验概率的情况下，可以用等概率条件来假定，这是因为，如果最不利情况下的接收质量能够满足要求，那么在比较好的情况下就更没有问题了。图9.7说明，随着信号能量ES的增长，或者噪声功率谱密度n0的降低，均可以使错误概率减小，亦即改善接收质量。另外一个因素是相关系数ρ，当ρ=1时可以使Pe达到最小值，其次是ρ=0。互相关系数ρ的意义是代表信号S1(t)和S0(t)之间的相关程度。在实际应用中，利用图9.5所示的相关接收机来接收相移键控信号(PSK)就属于ρ=-1的情况，此时S0(t)=Acosω0t和S1(t)=Acos(ω0t+π)=-Acosω0t，因此即,代入式(9.71)后可以得到最小错误概率为(9.72)如果用相关接收机来接收频移键控信号(FSK)，此时S0(t)=Acosω0t，S1(t)=Acos(ω1t)，并且选择频率ω1-ω0=nπ/T和ω1+ω0=mπ/T，其中T是码元密度，m和n是整数，因此，即ρ=0，代入式(9.71)后得到(9.73)它与式(9.72)相比，在ES和n0均相同的情况下要想获得同样的错误概率，那么FSK信号必须比PSK信号提高一倍的信噪比，或者说，FSK信号的抗干扰性能要比PSK信号差3dB，如图9.8所示。图9.8二元通信系统的性能比较最后讨论采用相关接收机来接收幅移键控(ASK)信号的问题。此时S0(t)=0且S1(t)=Acos(ω1t)，其中0≤t≤T；ρ=0，E0=0，，但是平均能量。显然参考图9.5可见，由于S0(t)=0，下面的相关器可以省略，因此只要一个相关器就可以了。最佳接收系统的原理框图如图9.9所示，其中VT=E1/2。图9.9ASK最佳接收机此时的错误概率Pe为(9.74)

如果都用平均能量ES与n0的比值来表示Pe，则式(9.74)与式(9.73)具有相同的形式。因此图9.8中把ASK、FSK(相干)的Pe~ES/n0曲线画在一根线上。但实际上当ASK和FSK信号的振幅A相同时，ASK信号的平均能量只有FSK的一半，因此当ASK和FSK信号的振幅相等时，ASK信号的抗噪声性能要比FSK信号差3dB。通常将ρ=-1的PSK信号称为超正交信号，属于最佳的(理想的)波形，因而在二元通信系统中得到广泛的应用。ρ=0的FSK信号也有较好的抗噪声性能，应用也较普遍，特别是在多元通信系统中，移频键控方式得到了更广泛的应用。9.4.3实际接收机与最佳接收机的比较把由第6章得到的二进制数字调制系统相干接收误码率公式与本节得到的二进制最佳接收机的误码率公式相比较，可以发现两者在公式的形式上是一样的，如表9.1所示。从表9.1可见，实际接收机相干解调时的r与最佳接收机的E/n0相对应。因此，两种接收机性能的比较主要看相同条件下r与E/n0的相互关系。在s(t)和n0相同的条件下，对于实际接收机来说，信号要经过带通滤波，然后进行信号检测，因此实际接收机的信噪功率比r与带通滤波器的特性有直接关系。在第6章的分析中，我们均认为信号能顺利通过带通滤波，而噪声仅在带通滤波器的通带内通过，于是,信噪功率比r就是信号s(t)的平均功率与带通滤波器输出噪声功率之比。假设带通滤波器的带宽为B，则信噪比r可以表