高等数学教学教案 无穷小的比较 函数的连续性与间断点

§1.7无穷小的比较§1.8函数的连续性与间断点授课次序07教学基本指标教学课题§1.7无穷小的比较§1.8函数的连续性与间断点教学方法当堂讲授，辅以多媒体教学教学重点等价无穷小、函数连续性教学难点等价无穷小的应用、分段函数连续性的判断参考教材同济大学编《高等数学（第6版）》自编教材《高等数学习题课教程》作业布置《高等数学》标准化作业双语教学无穷小：infinitesimal；函数：function；连续性：continuity；连续函数：continuousfunction；左连续：continuityfromtheleft；间断点：discontinuitypoint课堂教学目标了解高阶无穷小、等价无穷小的概念，掌握应用等价无穷小求极限的方法掌握函数连续性的判断了解间断点的类型及其判断教学过程1．无穷小的比较（45min），着重介绍等价无穷小的概念及等价无穷小代换定理；2．连续性的概念（20min）3．间断点（25min）本节教学设计函数的连续性1．背景及引入方法函数的连续性，在几何直观上看，就是函数的图形曲线没有间断.与极限概念一样,函数的连续概念也是微积分最基本概念之一.函数的连续理论作为数学分析严格化的基本内容,其发展与完善同样经历了相当长的一段时间.1817年,捷克数学家波尔查诺(BolzanoBernard,1781一1848)在他的名著《纯粹分析的证明》中给出了函数连续性的现代定义方式.法国数学家柯西(CauchyAugustinLouis,1789一1857)是19世纪微积分严格化最有影响的先驱者,其最大贡献就是在微积分中引进了清晰和严格的表述与证明方法.他在这方面有三部代表作:《分析教程》(1821年)、《无穷小分析教程概论》(1823年)和《微分计算教程》(1829年).柯西在其著作中给出了函数的连续性定义:“设f(x)是变量x的函数,且设介于两个给定限之间的每个x值,该函数总有一个唯一的有限值.如果在这两个给定限之间有一个x值,当变量x获得一个无限小增量α,函数本身将增加一个差量f(x+α)一f(x),这个差同时依赖于新变量α与原变量x的值.然后,如果对变量x在两给定限之间的每个中间值,差f(x+α)一f(x)的绝对值都随α的无限减小而无限减小,那么就说函数f(x)是变量x在这两个限之间的连续函数.换言之,如果在这两个限之间变量x的每个无限小增量总产生函数f(x)本身的一个无限小增量，则函数f(x)在给定限之间关于x保持连续。进一步,我们说函数f(x)是变量x在x的某个特殊值的邻域内的连续函数,如果它在包含该x值的任意接近的两限之间连续.”被数学界誉为“现代分析之父”的德国数学家外尔斯特拉斯(KarlWeierstrass,1815一1897)是微积分严格化的又一功臣.他希望建立一种不依赖于直观的纯粹的算术化的微积分.1861年在其数学笔记中他首次使用“ε一δ”语言定义函数的连续性:“如果f(x)是x的函数,且x是一个确定的值,则若x变至x+h,函数就会变至f(x+h),差f(x+h)-f(x)称为该函数由自变量x到x+h的改变所产生的改变量.现在如果能对h确定一个界限δ,使对其绝对值小于δ的所有h值,f(x+h)-f(x)变得小于无论怎样小的任一量,则称自变量的无穷小改变对应出函数的无穷小改变.因为如果一个量的绝对值能变得小于任意选取的无论怎样小的量,则我们说它能变为无穷小.现在如果一个函数对自变量的无穷小变化,总对应出函数的无穷小改变,则称它为此自变量的连续函数,或称它随着此自变量连续地改变.”现在微积分教材中关于函数的连续性的“ε一δ”定义就是根据外尔斯特拉斯的“ε一δ”型定义稍加改写而成的.连续函数具有很强的几何直观.因此讲授此知识点可以采取叙述与几何相联系以及与函数的极限相比较的方法.重在理解连续概念.

2．常见错误分析 常见的错误有(1)不能正确理解不(左、右)连续的含义,(2)分段函数在段点情况,(3)将间断点的具体说法，如可去、无穷等与间断点的类型相混淆.3.与其他知识点的关联 它与以下知识点都有密切联系.（1）函数的极限（2）函数在闭区间上的性质（3）函数的可导性.教学基本内容§1.7无穷小的比较观察两个无穷小比值的极限:,,.两个无穷小比值的极限的各种不同情况,反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度.在x®0的过程中,x2®0比3x®0“快些”,反过来3x®0比x2®0“慢些”,而sinx®0与x®0“快慢相仿”.下面,我们就无穷小之比的极限存在或为无穷大时,来说明两个无穷小之间的比较.定义:设及都是在同一个自变量的变化过程中的无穷小.如果,就说是比高阶的无穷小,记为o().如果,就说是比低阶的无穷小.如果,就说与是同阶无穷小.如果,k>0,就说是关于的k阶无穷小.如果,就说与是等价无穷小,记为~.下面举一些例子:例1.因为,所以当x®0时,3x2是比x高阶的无穷小,即3x2o(x)(x®0).例2.因为,所以当n®¥时,是比低阶的无穷小.例3.因为,所以当x®3时,x29与x3是同阶无穷小.例4.因为,所以当x®0时,1cosx是关于x的二阶无穷小.例5.因为,所以当x®0时,sinx与x是等价无穷小,即sinx~x(x®0).关于等价无穷小的有关定理:定理1与是等价无穷小的充分必要条件为o().证明必要性设~,则,因此o(),即o().充分性设o(),则,因此~.例6.因为当x®0时sinx~x,tanx~x,1cosx~,所以当x®0时,有sinxxo(x),tanxxo(x),1cosx.定理2设~¢,~¢,且存在,则.证明.定理2表明,求两个无穷小之比的极限时,分子及分母都可用等价无穷小来代替.因此,如果用来代替的无穷小选取得适当,则可使计算简化.例.求.解当x®0时,tan2x~2x,sin5x~5x,所以.例.求.解当x®0时sinx~x,无穷小x33x与它本身显然是等价的,所以.§1.8函数的连续性与间断点一、函数的连续性变量的增量:设变量u从它的一个初值u1变到终值u2,终值与初值的差u2u1就叫做变量u的增量,记作u,即uu2u1.设函数yf(x)在点x0的某一个邻域内是有定义的.当自变量x在这邻域内从x0变到x0x时,函数y相应地从f(x0)变到f(x0x),因此函数y的对应增量为yf(x0x)f(x0).函数连续的定义设函数yf(x)在点x0的某一个邻域内有定义,如果当自变量的增量xxx0趋于零时,对应的函数的增量yf(x0x)f(x0)也趋于零,即或,那么就称函数yf(x)在点x0处连续.注①②设xx0+x,则当x0时,xx0,因此.函数连续的等价定义2:设函数yf(x)在点x0的某一个邻域内有定义,如果对于任意给定义的正数,总存在着正数,使得对于适合不等式|xx0|<的一切x,对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)f(x0)|<,那么就称函数yf(x)在点x0处连续.左右连续性:如果,则称yf(x)在点处左连续.如果,则称yf(x)在点处右连续.左右连续与连续的关系:函数yf(x)在点x0处连续Û函数yf(x)在点x0处左连续且右连续.函数在区间上的连续性:在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.如果区间包括端点,那么函数在右端点连续是指左连续,在左端点连续是指右连续.连续函数举例:1.如果f(x)是多项式函数,则函数f(x)在区间(¥,¥)内是连续的.这是因为,f(x)在(¥,¥)内任意一点x0处有定义,且2.函数在区间[0,¥)内是连续的.3.函数ysinx在区间(¥,¥)内是连续的.证明设x为区间(¥,¥)内任意一点.则有ysin(xx)sinx,因为当x0时,y是无穷小与有界函数的乘积,所以.这就证明了函数ysinx在区间(¥,¥)内任意一点x都是连续的．4.函数ycosx在区间(¥,¥)内是连续的.二、函数的间断点间断定义:设函数f(x)在点x0的某去心邻域内有定义.在此前提下,如果函数f(x)有下列三种情形之一:在x0没有定义;(2)虽然在x0有定义,但f(x)不存在;(3)虽然在x0有定义且f(x)存在,但f(x)¹f(x0);则函数f(x)在点x0为不连续,而点x0称为函数f(x)的不连续点或间断点.例1.正切函数ytanx在处没有定义,所以点是函数tanx的间断点.因为,故称为函数tanx的无穷间断点.例2.函数在点x0没有定义,所以点x0是函数的间断点.当x®0时,函数值在1与1之间变动无限多次,所以点x0称为函数的振荡间断点.例3.函数在x1没有定义,所以点x1是函数的间断点.因为,如果补充定义:令x1时y2,则所给函数在x1成为连续.所以x1称为该函数的可去间断点.例4.设函数.因为,,,所以x1是函数f(x)的间断点.如果改变函数f(x)在x1处的定义:令f(1)1,则函数f(x)在x1成为连续,所以x1也称为该函数的可去间断点.例5.设函数.因为,,所以极限不存在,x=0是函数