1.3 探索三角形全等的条件 -第4课时 -2023-2024学年苏科版数学八年级上册课件

1.3探索三角形全等的条件第4课时利用斜边和直角边判定直角三角形全等思考工人师傅常常利用角尺平分一个角，如图1－19，在∠AOB

的两边OA、OB上分别任取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM

就是∠AOB

的平分线，请你说明这样画角平分线的道理.由OC＝OD，MC＝MD，OM＝OM，可知△OCM≌△ODM，于是∠COM＝∠DOM，即OM平分∠AOB.从木工师傅的画法中，你能找到用直尺和圆规作角平分线的方法吗?按下列作法，用直尺和圆规作∠AOB

的平分线作法图形讨论如图1－20，PC＝PD，QC＝QD，PQ、CD相交于点E.(1)根据以上条件，你能发现哪些结论?(1)△PCQ≌△PDQ(SSS)，△PCE≌△PDE(SAS)，

△CQE≌△DQE(SAS)，∠PEC＝∠PED＝90°，∠PCD＝∠PDC，PQ平分∠CPD

等.(2)你能证明PQ⊥CD

吗?由此，你能找到用直尺和圆规过已知直线外一点作这条直线的垂线的方法吗?能.证明：在△PCQ和△PDQ中，PC＝PD(已知)，

QC＝QD(已知)，

PQ＝PQ(公共边).∴△PCQ≌△PDQ(SSS)·∴∠CPE＝∠DPE(全等三角形的对应角相等).在△PCE

和△PDE中，

PE＝PE(公共边)，

∠CPE＝∠DPE(已证)，

PC＝PD(已知)，∴△PCE≌△PDE(SAS).∴∠PEC＝∠PED(全等三角形的对应角相等).又∵∠PEC＋∠PED＝180°(平角的定义)，∴∠PEC＝∠PED＝90°，即PQ⊥CD(垂直的定义).按下列作法，用直尺和圆规经过直线AB

外一点P

作AB

的垂线.作法图形思考如果点P在直线AB

上，如何用直尺和圆规经过点P作AB

的垂线?作法：(1)以点P

为圆心,适当的长为半径作弧，使它与AB

交于点C，D.

练习1.(1)用直尺和圆规把图①中的∠MON

四等分；解：作法：如图所示，①作∠MON的平分线OA.②作∠MOA

的平分线OB.③作∠NOA

的平分线OC.则OA，OB，OC四等分∠MON.(2)用直尺和圆规在图②中过点B作BC

的垂线，并指出所作图中∠ABC的余角.①如图所示，反向延长射线BC，以点B

为圆心，以适当长为半径作弧交直线BC

于点D，E.

2.用直尺和圆规作一个直角三角形，使它的两条直角边分别等于a、b.解：作法：如图所示，(1)作线段AB＝b.(2)延长线段BA，过点A作AD⊥AB.(3)在射线AD上截取AC＝a，连接BC.Rt△ABC

即为所求作的三角形.讨论两个直角三角形，有一对内角(直角)相等，判定两个直角三角形全等，还需要几个条件?可以是哪些条件?直角三角形是特殊的三角形，可以用符号“Rt△”表示.判定两个直角三角形全等，有没有特殊的方法?这两个直角三角形全等吗?操作按下列作法，用直尺和圆规作Rt△ABC，使∠C＝90°，CB＝a，AB＝c.作法图形1.作∠PCQ＝90°.2.在射线CP上截取CB＝a.3.以点B

为圆心，c的长为半径作弧交

射线CQ

于点A.4.连接AB.Rt△ABC

就是所求作的三角形.你作的直角三角形与其他同学作的直角三角形能完全重合吗?讨论如图，在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′，怎样证明△ABC≌△A′B′C′?把两个直角三角形拼在一起像本节例7那样，可以证得∠B＝∠B′.在△ABC和△A′B′C′中，由∠B＝∠B′，∠ACB＝∠A′C′B′，AB＝A′B′，可以证明△ABC≌△A′B′C′(AAS).于是，我们得到如下定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).如图，在Rt△ABC

和Rt△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′(HL).

书写格式例8已知：如图1－22，AD、BC

相交于点O，AD＝BC.

∠C＝∠D

＝90°.求证：AO＝BO，CO＝DO.分析：要证AO＝BO、CO＝DO，只要证△AOC≌△BOD.由于∠C＝∠D＝90°，∠AOC＝∠BOD，于是只要证AC＝BD，所以就要证△ABC≌△BAD.证明：在Rt△ABC和Rt△BAD

中，∠C＝∠D＝90°，BC＝AD(已知)，

AB＝BA(公共边)，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴AC＝BD

(全等三角形的对应边相等).在△AOC

和△BOD中，∠C＝∠D(已知)，∠AOC

＝∠BOD(对顶角相等).AC＝BD(已证)，∴△AOC≌△BOD(AAS).∴AO＝BO，CO＝DO

(全等三角形的对应边相等).练4已知：如图，AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别是点C、D，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是点E、F.

求证：CE＝DF.证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD(已知)，∴∠ACB＝∠BDA＝90°.在Rt△ABC

和Rt△BAD

中，AB＝BA(公共边)，BC＝AD(已知)，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL).∴∠CBE＝∠DAF(全等三角形的对应角相等).∵CE⊥AB，DF⊥AB(已知)，∴∠CEB＝∠DFA＝90°.在△BCE

和△ADF

中，∠CEB＝∠DFA(已证)，∠CBE＝∠DAF(已证)，BC＝AD(已知)，∴△BCE≌△ADF(AAS).∴CE＝DF(全等三角形的对应边相等).练习1.如图，方格纸中有点A、B、C、D、E、F，以其中的3个点为顶点，画出所有的直角三角形，并找出其中全等的直角三角形.解：画直角三角形如图所示，全等的直角三角形有：△ABC≌△BDE≌△BFE≌△BFC≌△CEB≌△CEF；△ABF≌△DBF；△DCF≌△AEF.2.如图，AC⊥CB，AD⊥DB，要证明△ABC≌△ABD，还需要什么条件?解：∠CAB＝∠DAB

或∠ABC＝∠ABD

或BC＝BD或AC＝AD.(答案不唯一)3.已知：如图，AD＝BC，CA⊥AB，AC⊥CD.求证：AD∥BC.证明：∵CA⊥AB，AC⊥CD(已知)，∴∠BAC＝∠DCA

＝90°(垂直的定义).在Rt△ABC和Rt△CDA

中，

BC＝DA(已知)，

AC＝CA(公共边)，∴Rt△ABC≌Rt△CDA(HL).∴∠ACB＝∠CAD(全等三角形的对应角相等).∴AD∥BC(内错角相等，两直线平行).本课小