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文档简介
第1章
全等三角形小结与思考
1.本章知识结构:全等图形全等三角形对应边相等,对应角相等.两个三角形全等的条件两个直角三角形全等的条件斜边、直角边(HL)边角边(SAS)角边角(ASA),角角边(AAS)边边边(SSS)2.全等三角形具有“对应边相等,对应角相等”的性质:判定两个三角形全等,通常需要3个条件,其中至少要有1对边相等,本章中用判定两个三角形全等的基本事实及推论,证明了有关全等三角形的一些命题,证明过程必须言必有据,证明过程的表达必须清晰、简明、有条理,全等三角形的性质与判定有什么关系?3.本章探索了用直尺和圆规平分已知角、过一点作已知直线的垂线,你能说明这些作图的道理吗?4.确认图形的性质,通常运用推理的方法,有时也可以运用图形运动的方法.本章中,我们通过图形的运动探索并确认了一些图形的性质.5.举例说明三角形全等在生活中的应用.复习题复习巩固1.指出图中的全等三角形,并说明理由.解:①与⑥全等.理由是“SAS”.②与④全等.理由是“SSS”.③与⑤全等理由是“HL”.2.如图,小明和小丽用下面的方法测量位于池塘两端的A、B两点的距离:先取一个可以直接到达点A和点B的点C,量得AC的长度,再沿AC方向走到点D处,使CD=AC;用同样的方法确定点E,量得的DE的长度就是A、B
两点的距离,试说明理由.3.如图,两车从路段AB
的一端B
出发,沿着与AB垂直的路段DC反向行驶相同的距离,到达C、D两地。此时点C、D到点A
的距离相等吗?为什么?解:相等·∵AB⊥CD(已知),∴∠ABC=∠ABD=90°(垂直的定义).在△ABC
和△ABD中,AB=AB(公共边),∠ABC=∠ABD(已证)CB=DB(已知),∴△ABC≌△ABD(SAS).∴AC=AD(全等三角形的对应边相等).4.已知:如图,在△ABC中,AB=AC,BE、CD是中线.求证:BE=CD.
在△ABE
和△ACD
中,AE=AD(已证),∠A=∠A(公共角),AB=AC(已知),∴△ABE≌△ACD(SAS).∴BE=CD
(全等三角形的对应边相等).5.已知:如图,MS⊥PS,MN⊥SN,PQ⊥SN,垂足分
别为S、N、Q,且MS=PS.求证:△MNS≌△SQP.证明:∵MS⊥PS(已知),∴∠MSN+∠PSQ=90°.∵MN⊥SN(已知),∴∠N=90°(垂直的定义).∴∠M+∠MSN=90°(直角三角形的两个锐角互余).∴∠M=∠PSQ(同角的余角相等).∵SN⊥PQ(已知),∴∠SQP=90°(垂直的定义)∴∠SQP=∠N(等量代换)在△MNS
和△SQP中,∴△MNS≌△SQP(AAS)∠N=∠SQP(已证)∠M=∠PSQ(已证)MS=SP(已知),6.已知:如图,AB//CD,AB
=CD,AD、BC相交于点O,点E、F在AD上,且BE//CF.求证:BE=CF.证明:∵AB∥CD,BE∥CF(已知),
∴∠A=∠D,∠BEO=∠CFO
(两直线平行,内错角相等).∴∠AEB=∠DFC(等角的补角相等).在△ABE
和△DCF
中,∠AEB=∠DFC(已证),∠A=∠D(已证),AB=DC(已知),∴△ABE≌△DCF(AAS).∴BE=CF
(全等三角形的对应边相等).7.已知:如图,AB=DC,AC
=DB,AC、DB相交于点O.求证:
△AOB≌△DOC.证明:在△ABC
和△DCB
中,AB=DC(已知),AC=DB(已知),BC=CB(公共边),∴△ABC≌△DCB(SSS)∴∠BAC=∠CDB(全等三角形的对应角相等).在△AOB
和△DOC
中,∠AOB=∠DOC(对顶角相等),∠BAO=∠CDO(已证),
AB=DC(已知),∴△AOB≌△DOC(AAS).8.已知:如图,△AOD≌△BOC.求证:
△AOC≌△BOD.证明:∵△AOD≌△BOC(已知),∴
OA=OB,OD=OC(全等三角形的对应边相等),∠AOD=∠BOC(全等三角形的对应角相等).∴∠AOD-∠COD=∠BOC-∠COD(等式的性质),即∠AOC=∠BOD.在△AOC
和△BOD中,OA=OB(已证),∠AOC=∠BOD(已证),OC=OD(已证),∴△AOC≌△BOD(SAS)灵活运用9.如图,∠A=∠D=90°,AB=DC,AC、BD相交于
点E,找出图中相等的锐角,并加以证明.10.如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E,BE、CD
相交于点O.如果
AB=AC,那么图中有几对全
等的直角三角形?试证明你的结论.解:有3对全等的直角三角形:Rt△ABE≌Rt△ACD,Rt△AOD≌Rt△AOE,Rt△BOD≌Rt△COE.11.如图,AC⊥BC,DC⊥EC,AC=BC,DC=EC.图中AE、BD
有怎样的数量关系和位置关系?试证明你的结论.探索研究
12.如图,△ABC的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上,试在方格纸上按下列要求画格点三角形:(1)所画的三角形与△ABC全等且有1个公共顶点C;ED△EDC
如图所示.(2)所画的三角形与△ABC全等且有1条公共边AB.G△ABG所图所示(答案不唯一)13.在图中沿正方形的网格线把这个图形分割成两个全等形,你有几种不同的分割方法?解:如图所示,有三种分法.14.你能用刻度尺画一个已知角的平分线吗?画出图形,并说明画法的道理.解:能.作法一:如图所示,(1)在OA
上截取OC=acm,在OB上截取OD=acm.
作法二:如图所示,(1)在∠MON
的两边上分别任取OA=OB,OC=OD.(2)连接AD,BC,相交于点P.
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