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文档简介
2023-2024学年广东省深圳外国语校中考联考数学试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形AOBC的一个顶点O在坐标原点,一边OB在x轴的正半轴上,sin∠AOB=,反比例函数y=在第一象限内的图象经过点A,与BC交于点F,则△AOF的面积等于()A.30 B.40 C.60 D.802.若二元一次方程组的解为则的值为()A.1 B.3 C. D.3.下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是()A. B.C. D.4.下列运算正确的是()A.a4+a2=a4 B.(x2y)3=x6y3C.(m﹣n)2=m2﹣n2 D.b6÷b2=b35.如图,在正八边形ABCDEFGH中,连接AC,AE,则的值是()A.1 B. C.2 D.6.若一组数据2,3,4,5,x的平均数与中位数相等,则实数x的值不可能是()A.6 B.3.5 C.2.5 D.17.将抛物线y=A.y=-12C.y=-128.如图,反比例函数(x>0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M,分别于AB、BC交于点D、E,若四边形ODBE的面积为9,则k的值为()A.1 B.2 C.3 D.49.据国土资源部数据显示,我国是全球“可燃冰”资源储量最多的国家之一,海、陆总储量约为39000000000吨油当量,将39000000000用科学记数法表示为()A.3.9×1010 B.3.9×109 C.0.39×1011 D.39×10910.-10-4的结果是()A.-7B.7C.-14D.13二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.计算:2tan12.如图,定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动(点C、D与点A、B不重合),M是CD的中点,过点C作CP⊥AB于点P,若CD=3,AB=8,PM=l,则l的最大值是13.如图,半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b,然后把半圆沿直线b进行无滑动滚动,使半圆的直径与直线b重合为止,则圆心O运动路径的长度等于_____.14.因式分解:=_______________.15.如图,在直角三角形ABC中,∠ACB=90°,CA=4,点P是半圆弧AC的中点,连接BP,线段即把图形APCB(指半圆和三角形ABC组成的图形)分成两部分,则这两部分面积之差的绝对值是_____.16.如图,已知正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm,则正六边形的边心距是__________cm.17.在平面直角坐标系的第一象限内,边长为1的正方形ABCD的边均平行于坐标轴,A点的坐标为(a,a),如图,若曲线y=(x>0)与此正方形的边有交点,则a的取值范围是_______.三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)顶点为D的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B(3,0),交y轴于点C,直线y=﹣x+m经过点C,交x轴于E(4,0).求出抛物线的解析式;如图1,点M为线段BD上不与B、D重合的一个动点,过点M作x轴的垂线,垂足为N,设点M的横坐标为x,四边形OCMN的面积为S,求S与x之间的函数关系式,并求S的最大值;点P为x轴的正半轴上一个动点,过P作x轴的垂线,交直线y=﹣x+m于G,交抛物线于H,连接CH,将△CGH沿CH翻折,若点G的对应点F恰好落在y轴上时,请直接写出点P的坐标.19.(5分)如图,将矩形ABCD绕点A顺时针旋转,得到矩形AB′C′D′,点C的对应点C′恰好落在CB的延长线上,边AB交边C′D′于点E.(1)求证:BC=BC′;(2)若AB=2,BC=1,求AE的长.20.(8分)如图,菱形ABCD的边长为20cm,∠ABC=120°,对角线AC,BD相交于点O,动点P从点A出发,以4cm/s的速度,沿A→B的路线向点B运动;过点P作PQ∥BD,与AC相交于点Q,设运动时间为t秒,0<t<1.(1)设四边形PQCB的面积为S,求S与t的关系式;(2)若点Q关于O的对称点为M,过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD(或CD)于点N,当t为何值时,点P、M、N在一直线上?(3)直线PN与AC相交于H点,连接PM,NM,是否存在某一时刻t,使得直线PN平分四边形APMN的面积?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.21.(10分)如图,在平面直角坐标系中,以直线为对称轴的抛物线与直线交于,两点,与轴交于,直线与轴交于点.(1)求抛物线的函数表达式;(2)设直线与抛物线的对称轴的交点为,是抛物线上位于对称轴右侧的一点,若,且与的面积相等,求点的坐标;(3)若在轴上有且只有一点,使,求的值.22.(10分)春节期间,收发微信红包已经成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分,小王在2017年春节共收到红包400元,2019年春节共收到红包484元,求小王在这两年春节收到红包的年平均增长率.23.(12分)如图,某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地面1500m高度C处的飞机上,测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°.求隧道AB的长(≈1.73).24.(14分)在如图所示的正方形网格中,每个小正方形的边长为1,格点三角形(顶点是网格线的交点的三角形)的顶点、的坐标分别为,.请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系;请作出关于轴对称的;点的坐标为.的面积为.
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、B【解析】
过点A作AM⊥x轴于点M,设OA=a,通过解直角三角形找出点A的坐标,结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a的值,再根据四边形OACB是菱形、点F在边BC上,即可得出S△AOF=S菱形OBCA,结合菱形的面积公式即可得出结论.【详解】过点A作AM⊥x轴于点M,如图所示.设OA=a,在Rt△OAM中,∠AMO=90°,OA=a,sin∠AOB=,∴AM=OA•sin∠AOB=a,OM==a,∴点A的坐标为(a,a).∵点A在反比例函数y=的图象上,∴a•a=a2=48,解得:a=1,或a=-1(舍去).∴AM=8,OM=6,OB=OA=1.∵四边形OACB是菱形,点F在边BC上,∴S△AOF=S菱形OBCA=OB•AM=2.故选B.【点睛】本题考查了菱形的性质、解直角三角形以及反比例函数图象上点的坐标特征,解题的关键是找出S△AOF=S菱形OBCA.2、D【解析】
先解方程组求出,再将代入式中,可得解.【详解】解:,得,所以,因为所以.故选D.【点睛】本题考查二元一次方程组的解,解题的关键是观察两方程的系数,从而求出a-b的值,本题属于基础题型.3、D【解析】
根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形,以及轴对称图形的定义即可判断出.【详解】解:A.∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误;B.∵此图形旋转180°后能与原图形重合,∴此图形是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项错误;C.∵此图形旋转180°后不能与原图形重合,∴此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误;D.∵此图形旋转180°后能与原图形重合,∴此图形是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项正确.故选:D.【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的定义,解题的关键是熟练的掌握中心对称图形与轴对称图形的定义.4、B【解析】分析:根据合并同类项,积的乘方,完全平方公式,同底数幂相除的性质,逐一计算判断即可.详解:根据同类项的定义,可知a4与a2不是同类项,不能计算,故不正确;根据积的乘方,等于个个因式分别乘方,可得(x2y)3=x6y3,故正确;根据完全平方公式,可得(m-n)2=m2-2mn+n2,故不正确;根据同底数幂的除法,可知b6÷b2=b4,不正确.故选B.点睛:此题主要考查了合并同类项,积的乘方,完全平方公式,同底数幂相除的性质,熟记并灵活运用是解题关键.5、B【解析】
连接AG、GE、EC,易知四边形ACEG为正方形,根据正方形的性质即可求解.【详解】解:连接AG、GE、EC,则四边形ACEG为正方形,故=.故选:B.【点睛】本题考查了正多边形的性质,正确作出辅助线是关键.6、C【解析】
因为中位数的值与大小排列顺序有关,而此题中x的大小位置未定,故应该分类讨论x所处的所有位置情况:从小到大(或从大到小)排列在中间;结尾;开始的位置.【详解】(1)将这组数据从小到大的顺序排列为2,3,4,5,x,
处于中间位置的数是4,
∴中位数是4,
平均数为(2+3+4+5+x)÷5,
∴4=(2+3+4+5+x)÷5,
解得x=6;符合排列顺序;
(2)将这组数据从小到大的顺序排列后2,3,4,x,5,
中位数是4,
此时平均数是(2+3+4+5+x)÷5=4,
解得x=6,不符合排列顺序;
(3)将这组数据从小到大的顺序排列后2,3,x,4,5,
中位数是x,
平均数(2+3+4+5+x)÷5=x,
解得x=3.5,符合排列顺序;
(4)将这组数据从小到大的顺序排列后2,x,3,4,5,
中位数是3,
平均数(2+3+4+5+x)÷5=3,
解得x=1,不符合排列顺序;
(5)将这组数据从小到大的顺序排列后x,2,3,4,5,
中位数是3,
平均数(2+3+4+5+x)÷5=3,
解得x=1,符合排列顺序;
∴x的值为6、3.5或1.
故选C.【点睛】考查了确定一组数据的中位数,涉及到分类讨论思想,较难,要明确中位数的值与大小排列顺序有关,一些学生往往对这个概念掌握不清楚,计算方法不明确而解答不完整.注意找中位数的时候一定要先排好顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数.如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求;如果是偶数个,则找中间两位数的平均数.7、D【解析】
将抛物线y=12【详解】由题意得,a=-12设旋转180°以后的顶点为(x′,y′),则x′=2×0-(-2)=2,y′=2×3-5=1,∴旋转180°以后的顶点为(2,1),∴旋转180°以后所得图象的解析式为:y=-1故选D.【点睛】本题考查了二次函数图象的旋转变换,在绕抛物线某点旋转180°以后,二次函数的开口大小没有变化,方向相反;设旋转前的的顶点为(x,y),旋转中心为(a,b),由中心对称的性质可知新顶点坐标为(2a-x,2b-y),从而可求出旋转后的函数解析式.8、C【解析】
本题可从反比例函数图象上的点E、M、D入手,分别找出△OCE、△OAD、矩形OABC的面积与|k|的关系,列出等式求出k值.【详解】由题意得:E、M、D位于反比例函数图象上,则,过点M作MG⊥y轴于点G,作MN⊥x轴于点N,则S□ONMG=|k|.又∵M为矩形ABCO对角线的交点,∴S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|,∵函数图象在第一象限,k>0,∴.解得:k=1.故选C.【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义,过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|,本知识点是中考的重要考点,同学们应高度关注.9、A【解析】
用科学记数法表示较大的数时,一般形式为a×10n,其中1≤|a|<10,n为整数,据此判断即可.【详解】39000000000=3.9×1.故选A.【点睛】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.10、C【解析】解:-10-4=-1.故选C.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、3+3【解析】
本题涉及零指数幂、负指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值4个考点.在计算时,需要针对每个考点分别进行计算,然后根据实数的运算法则求得计算结果.【详解】原式=2×3+2﹣3+1,=23+2﹣3+1,=3+3.【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力,是各地中考题中常见的计算题型.解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数、绝对值等考点的运算12、4【解析】
当CD∥AB时,PM长最大,连接OM,OC,得出矩形CPOM,推出PM=OC,求出OC长即可.【详解】当CD∥AB时,PM长最大,连接OM,OC,∵CD∥AB,CP⊥CD,∴CP⊥AB,∵M为CD中点,OM过O,∴OM⊥CD,∴∠OMC=∠PCD=∠CPO=90°,∴四边形CPOM是矩形,∴PM=OC,∵⊙O直径AB=8,∴半径OC=4,即PM=4.【点睛】本题考查矩形的判定和性质,垂径定理,平行线的性质,此类问题是初中数学的重点和难点,在中考中极为常见,一般以压轴题形式出现,难度较大.13、5π【解析】
根据题意得出球在无滑动旋转中通过的路程为圆弧,根据弧长公式求出弧长即可.【详解】解:由图形可知,圆心先向前走OO1的长度,从O到O1的运动轨迹是一条直线,长度为圆的周长,然后沿着弧O1O2旋转圆的周长,则圆心O运动路径的长度为:×2π×5=5π,故答案为5π.【点睛】本题考查的是弧长的计算和旋转的知识,解题关键是确定半圆作无滑动翻转所经过的路线并求出长度.14、a(a+b)(a-b).【解析】分析:本题考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式.解析:原式=a(a+b)(a-b).故答案为a(a+b)(a-b).15、4【解析】
连接把两部分的面积均可转化为规则图形的面积,不难发现两部分面积之差的绝对值即为的面积的2倍.【详解】解:连接OP、OB,∵图形BAP的面积=△AOB的面积+△BOP的面积+扇形OAP的面积,图形BCP的面积=△BOC的面积+扇形OCP的面积−△BOP的面积,又∵点P是半圆弧AC的中点,OA=OC,∴扇形OAP的面积=扇形OCP的面积,△AOB的面积=△BOC的面积,∴两部分面积之差的绝对值是点睛:考查扇形面积和三角形的面积,把不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解题的关键.16、【解析】连接OA,作OM⊥AB于点M,∵正六边形ABCDEF的外接圆半径为2cm∴正六边形的半径为2cm,即OA=2cm在正六边形ABCDEF中,∠AOM=30°,∴正六边形的边心距是OM=cos30°×OA=(cm)故答案为.17、【解析】
因为A点的坐标为(a,a),则C(a﹣1,a﹣1),根据题意只要分别求出当A点或C点在曲线上时a的值即可得到答案.【详解】解:∵A点的坐标为(a,a),∴C(a﹣1,a﹣1),当C在双曲线y=时,则a﹣1=,解得a=+1;当A在双曲线y=时,则a=,解得a=,∴a的取值范围是≤a≤+1.故答案为≤a≤+1.【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合问题,解此题的关键在于根据题意找到关键点,然后将关键点的坐标代入反比例函数求得确定值即可.三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1)y=﹣x2+2x+3;(2)S=﹣(x﹣)2+;当x=时,S有最大值,最大值为;(3)存在,点P的坐标为(4,0)或(,0).【解析】
(1)将点E代入直线解析式中,可求出点C的坐标,将点C、B代入抛物线解析式中,可求出抛物线解析式.(2)将抛物线解析式配成顶点式,可求出点D的坐标,设直线BD的解析式,代入点B、D,可求出直线BD的解析式,则MN可表示,则S可表示.(3)设点P的坐标,则点G的坐标可表示,点H的坐标可表示,HG长度可表示,利用翻折推出CG=HG,列等式求解即可.【详解】(1)将点E代入直线解析式中,0=﹣×4+m,解得m=3,∴解析式为y=﹣x+3,∴C(0,3),∵B(3,0),则有,解得,∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+2x+3;(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴D(1,4),设直线BD的解析式为y=kx+b,代入点B、D,,解得,∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6,则点M的坐标为(x,﹣2x+6),∴S=(3+6﹣2x)•x•=﹣(x﹣)2+,∴当x=时,S有最大值,最大值为.(3)存在,如图所示,设点P的坐标为(t,0),则点G(t,﹣t+3),H(t,﹣t2+2t+3),∴HG=|﹣t2+2t+3﹣(﹣t+3)|=|t2﹣t|CG==t,∵△CGH沿GH翻折,G的对应点为点F,F落在y轴上,而HG∥y轴,∴HG∥CF,HG=HF,CG=CF,∠GHC=∠CHF,∴∠FCH=∠CHG,∴∠FCH=∠FHC,∴∠GCH=∠GHC,∴CG=HG,∴|t2﹣t|=t,当t2﹣t=t时,解得t1=0(舍),t2=4,此时点P(4,0).当t2﹣t=﹣t时,解得t1=0(舍),t2=,此时点P(,0).综上,点P的坐标为(4,0)或(,0).【点睛】此题考查了待定系数法求函数解析式,点坐标转换为线段长度,几何图形与二次函数结合的问题,最后一问推出CG=HG为解题关键.19、(1)证明见解析;(2)AE=.【解析】
(1)连结AC、AC′,根据矩形的性质得到∠ABC=90°,即AB⊥CC′,根据旋转的性质即可得到结论;(2)根据矩形的性质得到AD=BC,∠D=∠ABC′=90°,根据旋转的性质得到BC′=AD′,AD=AD′,证得BC′=AD′,根据全等三角形的性质得到BE=D′E,设AE=x,则D′E=2﹣x,根据勾股定理列方程即可得到结论.【详解】解::(1)连结AC、AC′,∵四边形ABCD为矩形,∴∠ABC=90°,即AB⊥CC′,∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转,得到矩形AB′C′D′,∴AC=AC′,∴BC=BC′;(2)∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC,∠D=∠ABC′=90°,∵BC=BC′,∴BC′=AD′,∵将矩形ABCD绕点A顺时针旋转,得到矩形AB′C′D′,∴AD=AD′,∴BC′=AD′,在△AD′E与△C′BE中∴△AD′E≌△C′BE,∴BE=D′E,设AE=x,则D′E=2﹣x,在Rt△AD′E中,∠D′=90°,由勾定理,得x2﹣(2﹣x)2=1,解得x=,∴AE=.【点睛】本题考查了旋转的性质,三角形全等的判定和性质,勾股定理的应用等,熟练掌握性质定理是解题的关键.20、(1)S=﹣2(0<t<1);(2);(3)见解析.【解析】
(1)如图1,根据S=S△ABC-S△APQ,代入可得S与t的关系式;
(2)设PM=x,则AM=2x,可得AP=x=4t,计算x的值,根据直角三角形30度角的性质可得AM=2PM=,根据AM=AO+OM,列方程可得t的值;
(3)存在,通过画图可知:N在CD上时,直线PN平分四边形APMN的面积,根据面积相等可得MG=AP,由AM=AO+OM,列式可得t的值.【详解】解:(1)如图1,∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=60°,AC⊥BD,∴∠OAB=30°,∵AB=20,∴OB=10,AO=10,由题意得:AP=4t,∴PQ=2t,AQ=2t,∴S=S△ABC﹣S△APQ,=,=,=﹣2t2+100(0<t<1);(2)如图2,在Rt△APM中,AP=4t,∵点Q关于O的对称点为M,∴OM=OQ,设PM=x,则AM=2x,∴AP=x=4t,∴x=,∴AM=2PM=,∵AM=AO+OM,∴=10+10﹣2t,t=;答:当t为秒时,点P、M、N在一直线上;(3)存在,如图3,∵直线PN平分四边形APMN的面积,∴S△APN=S△PMN,过M作MG⊥PN于G,∴,∴MG=AP,易得△APH≌△MGH,∴AH=HM=t,∵AM=AO+OM,同理可知:OM=OQ=10﹣2t,t=10=10﹣2t,t=.答:当t为秒时,使得直线PN平分四边形APMN的面积.【点睛】考查了全等三角形的判定与性质,对称的性质,三角形和四边形的面积,二次根式的化简等知识点,计算量大,解答本题的关键是熟练掌握动点运动时所构成的三角形各边的关系.21、(1).;(2)点坐标为;.(3).【解析】分析:(1)根据已知列出方程组求解即可;(2)作AM⊥x轴,BN⊥x轴,垂足分别为M,N,求出直线l的解析式,再分两种情况分别求出G点坐标即可;(3)根据题意分析得出以AB为直径的圆与x轴只有一个交点,且P为切点,P为MN的中点,运用三角形相似建立等量关系列出方程求解即可.详解:(1)由题可得:解得,,.二次函数解析式为:.(2)作轴,轴,垂足分别为,则.,
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