(新教材)高中数学A版选择性必修第三册知识点

高中数学 选择性必修第三册计数原理1）.分类加法计数原理与分步乘法计数原理1．分类加法计数原理完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情，共有N＝______________种不同的方法．2．分步乘法计数原理完成一件事情需要n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……，完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有N＝________________种不同的方法．3．两个计数原理的区别分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事情的不同方法的种数．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．2）、排列1定义(1)从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一排列。(2)从n个不同元素中取出m个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记为Amn.2排列数的公式与性质(1)排列数的公式：Amn=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)特例：当m=n时，Amn=n!=n(n-1)(n-2)…×3×2×1规定：0!=13）、组合1定义(1)从n个不同元素中取出m个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(2)从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示。2比较与鉴别由排列与组合的定义知，获得一个排列需要“取出元素”和“对取出元素按一定顺序排成一列”两个过程，而获得一个组合只需要“取出元素”，不管怎样的顺序并成一组这一个步骤。排列与组合的区别在于组合仅与选取的元素有关，而排列不仅与选取的元素有关，而且还与取出元素的顺序有关。因此，所给问题是否与取出元素的顺序有关，是判断这一问题是排列问题还是组合问题的理论依据。4）.排列组合与二项式定理知识点1.计数原理知识点①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM(分步)②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM(分类)2.排列(有序)与组合(无序)Anm=n(n-1)(n-2)(n-3)…(n-m+1)=n!/(n-m)!Ann=n!Cnm=n!/(n-m)!m!Cnm=Cnn-mCnm+Cnm+1=Cn+1m+1k•k!=(k+1)!-k!3.排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.捆绑法(集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑)插空法(解决相间问题)间接法和去杂法等等在求解排列与组合应用问题时，应注意：(1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题;(2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理;(3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏;(4)列出式子计算和作答.经常运用的数学思想是：①分类讨论思想;②转化思想;③对称思想.4.二项式定理知识点：①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an-1b1+Cn2an-2b2+Cn3an-3b3+…+Cnran-rbr+…+Cnn-1abn-1+Cnnbn特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn②主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn-m最大二项式系数在中间。(要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项)所有二项式系数的和：Cn0+Cn1+Cn2+Cn3+Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n奇数项二项式系数的和=偶数项而是系数的和Cn0+Cn2+Cn4+Cn6+Cn8+…=Cn1+Cn3+Cn5+Cn7+Cn9+…=2n-1③通项为第r+1项：Tr+1=Cnran-rbr作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。5.二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。6.注意二项式系数与项的系数(字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数)的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。5）.二项式定理知识点定理内容基本概念①二项式展开式：等式右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式②二项式系数：展开式中各项的系数中的③项数：展开式第r+1项，是关于a,b的齐次多项式.④通项：展开式的第r+1项，记作几个提醒①项数：展开式共有n+1项.②顺序：注意正确选择a与b，其顺序不能更改，即：(a+b)n和(b+a)n是不同的.③指数：a的指数从n到0,

降幂排列；b的指数从0到n,升幂排列。各项中a，b的指数之和始终为n.④系数：正确区分二项式系数与项的系数：二项式系数指各项前面的组合数；项的系数指各项中除去变量的部分（含二项式系数）。⑤通项：通项是指展开式的第r+1项.常用结论几个性质①二项式系数对称性：展开式中，与首末两项等距的任意两项二项式系数相等。②二项式系数最大值：展开式的二项式系数中，最中间那一项（或最中间两项）的二项式系数最大。即：③二项式系数和：二项展开式中，所有二项式系数和等于，即：奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，即：（注：凡系数和问题均用赋值法处理）④杨辉三角中的二项式系数：随机变量及其分布随机变量：随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量随机变量常用字母X，Y，ξ，η等字母表示随机变量跟函数之间的关系：随机变量跟函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数，函数把实数映射为实数。试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域。把随机变量的取值范围叫做随机变量的值域。离散性随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散性的随机变量。某人射击一次命中的环数X是一个离散型随机变量，它的所有可能取值为0，1，2……，10，这就是一个离散型随机变量的例子。分布列：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为：x1，x2，……，xi，……xnX取每一个值xi(i=1，2，……，n)的概率P(X=xi)=pi，以表格的形式表示如下：上表称为离散性随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列。有时候为了表达简单，也用如下等式：P(X=xi)=pi，(i=1，2，……，n)，表示X的分布列离散型随机变量分布列性质：①pi≥0，i=1，2，……，n；②p1+p2+……+pn=1.两点分布：如果随机变量X的分布列是如下形式：称为X的分布列为两点分布列，则随机变量X服从两点分布，而称p=P(X=1)为成功概率。练习：一个袋中有形状大小完全相同的3个白球和4个红球，从中任意摸出一球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，求X的分布列。超几何分布：一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件{X=k}发生的概率为：其中m=min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布。如果随机变量X的分布列为超几何分布，则称随机变量X服从超几何分布。备注：①超几何分布为不放回的抽取②随机变量X服从超几何分布，一般表示为：X~H(n，M，N)，其中M表示次品总数，N表示产品总数，n表示抽取数量。例题：在某年级的联欢会上涉及一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除了颜色外完全相同。一次从中摸出5个球，至少摸到三个红球就中奖。求中奖的概率。解：设摸出红球的个数位X，则X服从超几何分布，其中N=30，M=10，n=5，于是中奖的概率：变式：在10件产品中有2件次品，连续抽3次，每次抽1件，如果是不放回取样，求抽到次品数X的分布列。二二项分布条件概率：一般地，设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率。P(B￨A)读作A发生的条件下B发生的概率。其中P(A)代表事件A发生的概率，P(AB)代表A，B两个事情同时发生的概率。条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即：0≤P(B￨A)≤1如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C￨A)=P(B￨A)+P(C￨A)例题：在10个形状大小均相同的球中有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次也摸到红球的概率为多少？解：设事件A为第1次摸出红球，事件B为第2次摸到红球变式1：某地区气象台统计，该地区下雨概率4/15，刮风的概率为2/5，即刮风又下雨的概率为1/10，则在下雨天里，刮风的概率为多少？变式2：某人提出一个问题，甲先答，答对的概率为0.4，如果甲答错，由乙答，乙答对的概率为0.5，则问题由乙答对的概率为多少？变式3:100件产品中有5件次品，不放回的抽取2次，每次抽取1件，已知第1次抽取的是次品，求第2次抽取正品的概率。相互独立事件：设A，B两个事件，如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，则称事件A与事件B相互独立。即A，B两个事件相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)P(B)一般地，如果事件A1，A2，……，An两两相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率之积，即P(A1A2……An)=P(A1)P(A2)……P(An)备注：①互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生；②相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响。练习：天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：(1)甲、乙两地都降雨的概率(2)甲、乙两地都不降雨的概率(3)其中至少一个地方降雨的概率。n次独立重复试验：一般地，在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验.“相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响备注:独立重复试验模型满足以下三方面特征第一：每次试验是在同样条件下进行；第二：各次试验中的事件是相互独立的；第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.n次独立重复试验的公式：一般地，在n次独立重复试验中，假设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件恰好发生k次的概率为：其中p被称为成功概率二项分布：一般地，在n次独立重复试验中，假设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件恰好发生k次的概率为此时称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p)，并称p为成功概率。例题：某人射击一次击中目标的概率是0.6，经过3次射击，求此人击中目标次数的分布列。解：设X为击中目标的次数，则X~B(3，0.6)且X的可能取值为0，1，2，3变式1：甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束。设甲每次投篮投中的概率为1/3，乙每次投篮投中的概率为1/2，且每次投篮互不影响。求投篮结束时甲的投篮次数X的分布列。变式2：已知一个口袋中装有3个红球和两个白球，从中有放回地连续摸三次，每次摸出两个球，若两个球颜色不同为中奖，否则不中奖，设三次摸球中中奖的次数为X，求X的分布列。三数学期望和方差数学期望：一般地，若离散型随机变量X的分布列为：则称EX=x1p1+x2p2+……+xipi+……xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平。结论：①若η=aX+b，则Eη=aEX+b②若X服从两点分布，则EX=p③若X服从二项分布，即X~B(n，p)，则EX=np④若X服从超几何分布，即X～H(n，M，N)，则例题：在一场娱乐晚会上，有5位民间歌手(1至5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎的歌手，各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手，其中观众甲是1号歌手的歌迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名，观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱，因此在1至5号中随机选3名歌手。(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望。解：(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”变式：已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止，若检测一台机器的费用是1000元，则需要检测费的期望为多少？方差：设离散性随机变量X的分布列为：则(xi-EX)2描述了xi(i=1，2，……，n)相对于均值EX的偏离程度。而DX=(x1-EX)2+(x2-EX)2+……+(xn-EX)2为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值EX的平均偏离程度。则称为DX为随机变量X的方差，其算数平方根为随机变量的标准差，记σX随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度。方差或者标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小。结论：①若η=aX+b，则Dη=a2DX②若X服从两点分布，则DX=p(1-p)③若X服从二项分布，即X~B(n，p)，则DX=np(1-p)例题：已知X~B(n，p)，EX=8，DX=1.6，则n与p的值分别是多少？解：∵随机变量X服从二项分布∴EX=np=8，DX=np(1-p)=1.6解得：n=10，p=0.8变式：如图所示，是某城市通过抽样得到的居民某年月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图。(1)求直方图中x的值；(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位均为(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列，数学期望与方差。第八章成对数据的统计分析1．两个变量的线性相关(1)正相关在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．(2)负相关在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．(3)线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．2．回归方程(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．(2)回归方程：方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)的回归方程，其中eq\o(a,\s\up8(^))，eq\o(b,\s\up8(^))是待定参数．eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(b,\s\up8(^))＝\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))（xi－\x\to(x)）2)＝\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－nx2),\o(a,\s\up8(^))＝\x\to(y)－\o(b,\s\up8(^))\x\to(x)．))3．回归分析(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．(2)样本点的中心对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(eq\o(x,\s\up8(－))，eq\o(y,\s\up8(－)))称为样本点的中心．(3)相关系数当r＞0时，表明两个变量正相关；当r＜0时，表明两个变量负相关．r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．4．独立性检验(1)分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．(2)列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2×2列联表y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d构造一个随机变量K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．eq\a\vs4\al([常用结论])1．回归直线必过样本点的中心(eq\x\to(x)，eq\x\to(y)).2．当两个变量的相关系数|r|＝1时，两个变量呈函数关系．考点1相关关系的判断判定两个变量正、负相关的方法(1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．(2)相关系数：r＞0时，正相关；r＜0时，负相关．(3)线性回归直线方程中：eq\o(b,\s\up8(^))>0时，正相关；eq\o(b,\s\up8(^))<0时，负相关．考点2回归分析线性回归分析求线性回归直线方程的步骤(1)用散点图或进行相关性检验判断两个变量是否具有线性相关关系；(2)利用公式eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))（xi－\x\to(x)）2)＝eq\f(\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))xiyi－n\a\vs4\al(\x\to(x))\a\vs4\al(\x\to(y)),\o(∑,\s\up8(n),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－nx2)，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up8(^))eq\x\to(x)求得回归系数；(3)写出回归直线方程．如图是某企业2012年至2018年的污水净化量(单位：吨)的折线图．注：年份代码1～7分别对应年份2012～2018.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立y关于t的回归方程，预测2021年该企业的污水净化量；(3)请用数据说明回归方程预报的效果．参考数据：eq\x\to(y)＝54，eq\o(∑,\s\up8(7),\s\do6(i＝1))(ti－eq\x\to(t